创新点3　数列中的“三新”问题 高三数学

板块三数列创新点3数列中的“三新”问题高考定位新高考的命题要求为：创新试题形式，加强情境设计，注意联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题.这些要求反映在数列试题中，就是出现了数列的新情境、新定义和新性质问题，这些“三新”问题逐渐成为热点的压轴题.精准强化练题型一数列的新情境问题题型二数列的新定义问题题型三数列的凹凸性题型突破题型一数列的新情境问题(2024·长沙模拟)南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式.如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n＋1层球数是第n层球数与n＋1的和，设各层球数构成一个数列{an}.(1)求数列{an}的通项公式；例1所以b1＋b2＋b3＋…＋bn<2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，令Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，令2Tn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n＋1)×2n＋1，所以－Tn＝2＋21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)×2n＋11.本题的第(3)问关键是利用第(2)问的结论，恰当地给x赋值后，转化为数列的求和问题.2.解决数列的新情境问题要首先理解题意，从新情境中抽象出等差数列、等比数列等特殊的数列、转化为数列的通项、性质或求和问题.规律方法(2024·佛山模拟)佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.训练1由题意可知a1＝33.6，注意到33.6－24＝9.6，24－19.2＝4.8，取等差数列的公差d＝－2.4，则an＝33.6－2.4(n－1)＝36－2.4n，令an＝36－2.4n＝24，解得n＝5，即24为第5项；令an＝36－2.4n＝19.2，解得n＝7，即19.2为第7项；故an＝36－2.4n符合题意.(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列{an}的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；

可以，理由如下：由(1)可知m≤7，a1＝33.6，a2＝31.2，a3＝28.8，a4＝26.4，a5＝24，a6＝21.6，a7＝19.2，设数列{(n＋1)an}的前n项和为Sn，∵S7＝2a1＋3a2＋4a3＋…＋8a7＝856.8>310，故新堆叠坊塔的高茺可以超过310米.(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m(m∈N*)项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2a1、3a2、4a3、……、(m＋1)am((m＋1)am表示高度为am的方体连续堆叠m＋1层的总高度)，请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.题型二数列的新定义问题例2因为a1＝1，a2＝1，a3＝－3，a4＝5，a5＝－7，所以数列{an}的“min点”为3，5.(3)若an≥an－1－1(2≤n≤m)，数列{an}的“min点”的个数为p，证明：a1－am≤p.①若an≥a1(n≥2)，则数列{an}不存在“min点”，即p＝0.由am－a1≥0，得a1－am≤0，所以a1－am≤p.②若存在an，使得an<a1.下证数列{an}有“min点”.证明：若a2<a1，则2是数列{an}的“min点”；若a2≥a1，因为存在an，使得an<a1，所以设数列{an}中第1个小于a1的项为an1，则an1<a1≤ai(2≤i≤n1－1)，所以n1是数列{an}的第1个“min点”.综上，数列{an}存在“min点”.不妨设数列{an}的“min点”由小到大依次为n1，n2，n3，…，np，则ani＋1是ani，ani＋1，ani＋2，…，ani＋1－1，ani＋1中第1个小于ani的项，故ani－ani＋1≤ani＋1－1－ani＋1，因为an≥an－1－1(2≤n≤m)，所以an－1－an≤1，所以ani＋1－1－ani＋1≤1，所以ani－ani＋1≤1.所以a1－am≤a1－anp＝(a1－an1)＋(an1－an2)＋(an2－an3)＋…＋(anp－1－anp)≤(an1－1－an1)＋(an2－1－an2)＋(an3－1－an3)＋…＋(anp－1－anp)≤1＋1＋1＋…＋1(p个1).所以a1－am≤p.综上a1－am≤p，得证.数列中的新定义问题，主要是指即时定义新概念、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新定义，这样有助于更透彻地理解新定义.但是，归根结底这些问题考查的还是数列的基本概念、性质和运算，根据条件适时转化是解决此类问题的基本思路与原则.规律方法(2024·盐城模拟)在数列{an}的第k项与第k＋1项之间插入k个1，称为变换Γ.数列{an}通过变换Γ所得数列记为Ω1(an)，数列Ω1(an)通过变换Γ所得数列记为Ω2(an)，…，以此类推，数列Ωn－1(an)通过变换Γ所得数列记为Ωn(an)(其中n≥2).(1)已知等比数列{an}的首项为1，项数为m，其前m项和为Sm，若Sm＝2am－1＝255，求数列Ω1(an)的项数；

训练2(2)若数列{an}的项数为3，Ωn(an)的项数记为bn.①当n≥2时，试用bn－1表示bn；②求证：2×32n－1≤bn≤62n－1.于是lgbn－lg2>2(lgbn－1－lg2)，则有lgbn－lg2>2n－1(lgb1－lg2)，所以lgbn－lg2>2n－1lg3，得lgbn>lg2＋2n－1lg3，即bn>2·32n＋1(n≥2)，所以bn≥2×32n－1.题型三数列的凹凸性例3(2)若函数f(x)＝b1＋b2x＋b3x2＋b4x3有三个零点，其中bi>0(i＝1，2，3，4).证明：数列b1，b2，b3，b4为“对数凹性”数列；

将p，q互换得t＝(q－p)Wr＋(p－r)Wq＋(r－q)Wp＝－t，所以t＝0，令p＝1，q＝2，得－Wr＋(2－r)W1＋(r－1)W2＝0，所以Wr＝(2－r)W1＋(r－1)W2＝W1＋(r－1)(W2－W1)，故数列{Wn}是等差数列，

1.解第(3)问的关键是利用赋值法证明数列{Wn}是等差数列，从而利用等差数列的相关概念及公式证明.2.数列的凹凸性是类比函数的凹凸性得到的，解决此类问题一般要从题目条件中挖掘出一个特殊的数列(例如等差数列、等比数列)，数列的凹凸性给出的不等关系就可以利用这个特殊数列的运算，结合不等式放缩加以证明.规律方法训练3【精准强化练】1.(2024·泰安三模)对于m，t∈N*，s∈N，t不是10的整数倍，则m＝t·10s，则称m为s级十全十美数.已知数列{an}满足：a1＝8，a2＝40，an＋2＝5an＋1－6an. (1)若{an＋1－kan}为等比数列，求k；

设{an＋1－kan}的公比为q，则an＋2－kan＋1＝q(an＋1－kan)，即an＋2＝(q＋k)an＋1－qkan，其中－2＋15(k－1)不是5的倍数，故若原式能被125整除，需k为偶数且能被25整除，即k需是50的倍数，在1，2，3，…，2024中，50的倍数有40个：50，100，150，…，2000，故在a1，a2，…，a2024中，3级十全十美数的个数为40.2.(2024·深圳二模)无穷数列a1，a2，…，an，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是a