河南省鹤壁第一中学2024-2025学年高三下学期4月二模 数学试卷【含答案】

高三数学(120分钟150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|y=lnx,y≤1},B={x||x|>e},则A∩∁RB=A.(-e,e) B.(0,e]C.(0,e2] D.(e,e2]2.已知复数z=1+i,|zz+a|2=1A.-4 B.2C.3 D.-4或23.某同学忘记单词“succeed”的字母顺序,但是记得前两个字母为“su”,后两个字母为“ed”,则该同学能写对的概率为A.15 B.14 C.13 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,btanB+btanA=-2ctanB,则A=A.π3 B.23π C.π65.已知函数f(x)的定义域为R,若f(2x-1)为奇函数,且f(x+1)为偶函数,则A.f(2023)=0 B.f(2024)=0C.f(2021)=0 D.f(2022)=06.已知向量a,b的夹角为锐角,且满足|a|=|b|=1,c=a+2b,则向量c的模长可以为A.322 B.2 C.22 D7.已知过抛物线C:y2=4x的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为22,则θ的值为A.π4 B.C.π4或3π4 D.π8.如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC和△BCD均为边长为3的等边三角形,若二面角A-BC-D的大小为90°,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为A.5π B.8πC.6π D.9π二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.设a=log0.22,b=log152,c=33A.ab<c B.a+bab<ab C.c<a+b10.我国新能源发展势头强劲,产业前景广阔,特别是新能源汽车产销已经连续8年位居世界第一,如图,这是某国产新能源汽车公司的100家销售商在2023年4月份的销售数据频率分布直方图,则A.a的值为0.004B.估计这100家销售商新能源汽车销量(每组的销量按中点值计算)的平均数为135C.估计这100家销售商新能源汽车销售量的中位数为158.3D.若用分层随机抽样法从这100家销售商中抽取20家,则应从销量在[200,300]内的销售商中抽取5家11.已知函数g(x)=ax+lnx,xA.当a≤0时,g(x)有最大值B.当0<a<e时,g(x)可以取得最小值-1C.当0<a<e时,g(x)可以取得最小值2D.当a≥e时,g(x)可以取得最小值3三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若X~N(6,1),则P(5<X<8)=.(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<σ)≈0.683,P(|X-μ|<2σ)≈0.954.)

13.若干水倒入底面半径为2的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥(圆锥顶点朝下)形器皿中,则水面的高度是.

14.已知圆O1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆O2:(x-1)2+(y-1)2=2,A,B分别是圆O1和圆O2上的动点,则由坐标原点O和点A,B构成的三角形的面积的最大值为.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知向量m=(a+cosx,1),n=(a+sinx,1)(a≥0),f(x)=m·n.(1)当a=0时,求f(π12(2)若函数f(x)的最大值为112,求a的值16.(15分)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且a4=a3+6a2,S2=2a1+2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若等差数列{bn}的前n项和为Tn,且b1=8,当n=4或5时,Tn取最大值,求数列{anbn}的前n项和.17.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PC,PB=PD,BC=CD=BD=23,AB=AD=2.(1)若PB=3EB,CB=3FB,求证:平面AEF∥平面PCD.(2)若PC=5,求直线AC与平面PBC所成角的正弦值.18.(17分)已知函数f(x)=tx+lnx(t∈R).(1)当t=-1时,证明:f(x)≤-1.(2)若对于定义域内的任意x,f(x)≤x·e2x-1恒成立,求t的取值范围.19.(17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C的离心率为22,点P是椭圆C上一动点,且(1)求椭圆C的方程.(2)过点M(63,0)的直线交椭圆C于E,F两点,判断1|ME|参考答案题序1234567891011答案BDCBACCAACACDABD1.答案B解题分析∵A=(0,e],∁RB=[-e,e],∴A∩∁RB=(0,e],故选B.2.答案D解题分析∵|zz+a|2=|z|2|z+a|23.答案C解题分析∵单词succeed中间三个字母cce的排列有3种排法,∴该同学能写对的概率为13.故选C4.答案B解题分析根据正弦定理,原等式可化为sinB·sinBcosB+sinB·sinAcosA=-2sinC·sinBcosB,进一步化为cosAsinB+sinAcosB=-2sinCcosA,则sin(A+B)=-2sinCcosA,即cos5.答案A解题分析∵f(2x-1)为奇函数,∴f(-2x-1)=-f(2x-1),且f(-1)=0,即f(-x-1)=-f(x-1),∵f(x+1)为偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴可得f(-1+4n)=f(-1)=0,n∈Z.∴f(2023)=f(2023-2024)=f(-1)=0,故选A.6.答案C解题分析设向量a,b的夹角为θ,∵向量a,b的夹角为锐角,∴0<cosθ<1,∴c2=(a+2b)2=5+4cosθ∈(5,9),∴|c|∈(5,3),故选C.7.答案C解题分析|AB|=2psin2θ=4sin2θ,圆心O到直线AB∴S△OAB=12×4sin2θ×sinθ=22,∴sinθ=22,∴θ=π8.答案A解题分析易知△ABC和△BCD的外接圆的半径均为1,不妨记它们的圆心分别为O1和O2,三棱锥A-BCD外接球的球心为O,则OO1⊥平面ABC,OO2⊥平面BCD.易知OO1=OO2=12,所以OA=(12)2+12=59.答案AC解题分析因为a<0,b>0,所以ab<0,因为a+bab=1a+1b=log20.2+log215=log23>1,0<c=3310.答案ACD解题分析由(0.001+0.002+0.003+2a+0.006)×50=1,得a=0.004,A正确;平均数约为(25×0.002+75×0.003+125×0.004+175×0.006+225×0.004+275×0.001)×50=150,B错误;设中位数为x,易知x∈[150,200),则(0.002+0.003+0.004)×50+(x-150)×0.006=0.5,得x≈158.3,C正确;应从销量在[200,300]内的销售商中抽20×(0.004+0.001)×50=5家,D正确.故选ACD.11.答案ABD解题分析当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递增,此时g(x)有最大值,A项正确.g'(x)=-ax2+1x当0<a<e时,若0<x<a,则g'(x)<0,故g(x)在(0,a)上单调递减;若a<x≤e,则g'(x)>0,故g(x)在(a,e]上单调递增.令g(x)min=g(a)=aa+lna=-1,得a=1e令g(x)min=g(a)=aa+lna=2,得a=e,不满足条件,C项不正确当a≥e时,若0<x≤e,则g'(x)≤0,∴g(x)在(0,e]上单调递减,令g(x)min=g(e)=ae+lne=3,得a=2e,∴此时g(x)有最小值3,D项正确12.答案0.8185解题分析P(5<X<8)=P(5<X<7)+12[P(4<X<8)-P(5<X<7)]=0.683+12×(0.954-0.683)=0.13.答案6解题分析水的体积为π×22×6=24π,设圆锥中水的底面半径为r,将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,水的体积为13πr2·3r=24π,r=23,水面的高度是3×23=614.答案2+2解题分析由题知当O,O1,A共线时,OA取最大值2+1,当O,O2,B共线时,OB取最大值22,并且当OA和OB均取最大值时,OA⊥OB,此时△OAB的面积最大,其最大值为12×22×(2+1)=2+215.解题分析(1)当a=0时,f(x)=sinxcosx+1=12sin2x+1,3分∴f(π12)=12sinπ6+1=54(2)f(x)=(a+cosx)(a+sinx)+1=a(sinx+cosx)+sinxcosx+a2+1.设sinx+cosx=t(-2≤t≤2),则sinxcosx=t2-12.设g(t)=f所以g(t)=at+t2-12+a2+1=12(t+a)2+a22+12.因为a≥0,所以当t=2时,g(t)取得最大值,即g(2)=12(2+a)2+a22+116.解题分析(1)设{an}的公比为q,则有a1q3∴a1=1q∴an=3n-1.5分(2)设{bn}的公差为d,由题知b5=8+4d=0,∴d=-2,7分∴bn=8-2(n-1)=10-2n.10分设数列{anbn}的前n项和为Qn,则Qn=8×30+6×31+4×32+…+(12-2n)×3n-2+(10-2n)×3n-1,3Qn=8×31+6×32+4×33+…+(12-2n)×3n-1+(10-2n)×3n,12分两式相减得-2Qn=8-2×3-2×32-2×33-…-2×3n-1-(10-2n)·3n=8-6(1−3n-1)1−3-(10-2n)·3n=11-(11-∴Qn=(11-2n)3n-1117.解题分析(1)∵PB=3BE,CB=3FB,∴EF∥PC,∵EF⊄平面PCD,PC⊂平面PCD,∴EF∥平面PCD.2分∵AB=AD=2,BC=CD=BD=23,∴∠ABC=90°,3分∵BC=CD=BD,∴∠BCD=60°,∵tan∠AFB=ABBF=2233=3,∴∠AFB=60°,∴AF∥∵AF⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AF∥平面PCD.∵AF∩EF=F,AF,EF⊂平面AEF,∴平面AEF∥平面PCD.7分(2)连接AC,交BD于点O,∵BC=CD=BD,AB=AD,∴O为BD的中点,且AC⊥BD,∵PB=PD,∴PO⊥BD,∴BD⊥平面PAC,∴以点O为坐标原点,分别以OD,OA所在的直线为x,y轴,过点O且垂直于平面xOy的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则C(0,-3,0),A(0,1,0),P(0,-1,21),B(-3,0,0),∴BC=(3,-3,0),BP=(3,-1,21).10分设m=(x,y,-1)为平面BPC的一个法向量,则m·BC=0可得m=(372,212,-1).又AC=(0,-4,0),∴直线AC与平面PBC所成角的正弦值为|cos<m,AC>|=221422=46244.18.解题分析(1)当t=-1时,f(x)=-x+lnx,即证明lnx-x≤-1,设g(x)=lnx-x+1,g'(x)=1−x当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减.所以g(x)在x=1处取到最大值,即g(x)≤g(1)=0,所以lnx-x≤-1得证.8分(2)由f(x)≤x·e2x-1恒成立,得t≤e2x-lnx+1x由(1)可以得到x≥lnx+1,所以x·e2x≥ln(x·e2x)+1=lnx+2x+1.所以e2x≥lnx+2x+1x=lnx+1x+2,所以e2x-于是t的取值范围是(-∞,2].17分19.解题分析(1)由题知1-b2