安徽省宿州市省、市示范高中皖北2024～2025学年高二下学期期中考试教学质量检测数学试题含答案

/安徽省宿州市省、市示范高中皖北2024−2025学年高二下学期期中考试教学质量检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．下列选项正确的是（）A． B．C． D．2．已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（）A． B． C． D．3．已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（）A．或 B． C． D．4．记为等比数列的前项和．若，，则（）A． B． C． D．5．已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（）A． B．C． D．6．2025年1月16日在灵璧县钟灵文化广场举办了灵璧县第四届青年音乐节，节目均由青年人自导自演，展现了灵璧青年的独特风采和灵璧城市的魅力.若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏，要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，现确定节目顺序，则不同的排法种数为（）A．280 B．336 C．360 D．4087．已知函数有两个不同的零点，则实数的最大值为（）A．0 B． C． D．2e8．已知各项非零的递增数列满足：，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知的展开式共有7项，则（）A．展开式的所有项的系数和为1 B．二项式系数和为128C．展开式中的系数与的系数和为128 D．所有项的系数绝对值之和为72910．已知点是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是（

）A． B．直线的斜率是C． D．设原点为，则的面积为11．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（）A．数列为等差数列B．数列为等比数列C．D．若，则数列的前项和三、填空题（本大题共3小题）12．直线与直线的距离为．13．记为等差数列的前n项和．已知，则的最小值为．14．设函数，若在上的最大值不小于4，则实数的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数在处取得极值.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在区间的最大值与最小值.16．如图，在四棱锥中，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

(1)若，证明：平面平面；(2)若底面为正方形，当平面与平面夹角为时，求的值.17．已知数列的首项，且满足.(1)求，；(2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(3)记数列的前项和为，证明：.18．已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）．①若的面积为，求直线的方程；②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．19．对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数.(1)定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数；(2)在（1）的条件下，求数列的前项和.(3)已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：.（参考数据：）

参考答案1．【答案】D【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选D.2．【答案】B【详解】因为为平面的法向量，所以且.因为：；；.所以ACD都不是.因为，，所以B正确.故选B.3．【答案】C【详解】圆的圆心为，圆可化为，所以圆心为，圆心所在直线的斜率为，所以两圆圆心所在直线的方程为.故选C.4．【答案】C【详解】设等比数列的公比为，由得，可得，所以，，所以，.故选C.5．【答案】C【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为，直线与直线交于点，交双曲线于点，由M是线段的中点，得，则，，所以C的渐近线方程为.故选C6．【答案】D【详解】间接法：第一个节目不排大合唱，共有（种）不同的排法，第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目相邻共（种），所以第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目不相邻共有（种）排法，故选D.7．【答案】C【详解】令，即得，即方程有两个不同的解，即直线与曲线有两个不同的交点，可得，所以当或时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，有极小值为，当时，有极大值为，当时，，且当时，，所以作出函数的图象如图所示，所以实数的最大值为.故选C.8．【答案】A【详解】因为，，所以，设，则，所以，若，则，，矛盾，所以，故，所以数列为以为首项，公比为2的等比数列，所以，故，若，则，数列为递增数列，且，所以数列为递减数列，与已知矛盾；若，则，所以数列为递减数列，且，所以数列为递增数列，满足条件；当时，，故，所以数列为递减数列，令，可得，所以当，且时，，当，且时，，与条件矛盾，所以的取值范围是，故选A.9．【答案】AD【详解】因为的展开式共有7项，所以，对于A，令，得的展开式中所有项的系数和为，所以A正确；对于B选项，二项式系数和为，B错误；对于C，因为展开式的通项公式为，令，得，即的系数为，又令，得，系数为，所以这两项的系数和为，所以C错误；对于D选项，由二项式的通项公式可知的系数正负交错排列，所以令，得，所以D正确.故选AD.10．【答案】ABC【详解】设，，，由向准线作垂线，垂足为，由向准线作垂线，垂足为，连接,，由题知，直线的斜率一定存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为：，联立得，，，，对于A，为中点，∽，，，，，，故A正确；对于B，，，，，，，，，解得，，故B正确；对于C，，，故C正确；对于D，，故D错误.故选ABC.11．【答案】BCD【详解】对于A选项，由条件可得，，且，所以，则数列是首项和公比均为2的等比数列，故，故A错误；对于B选项，由已知等式变形得，且，所以，则数列是首项和公比均为1的等比数列，则，故B正确；对于C选项，由，可得，所以，故C正确；对于D选项，若，则数列的前项和为，故D正确.故选BCD.12．【答案】/1.1【详解】设直线即与直线的距离为，则.13．【答案】【详解】设等差数列的公差为，根据，可得，解得，则，因为，所以当或时，有最小值为.14．【答案】【详解】的定义域为，，，，，在上单调递增，故在上的最大值为，即.15．【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为.(2)最大值为2，最小值为.【详解】（1）由题意得，由题意得，即，解得，故，定义域为R，，令得或，令得，故在，上单调递增，在上单调递减，易知为极小值点，符合题意，所以单调递增区间为，，单调递减区间为.（2）由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，1+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，.又，，故的最大值为2，最小值为.16．【答案】(1)证明见解析(2).【详解】（1）证明：平面，平面，，又，而，平面，平面，平面，，，为的中点，，而，且平面，平面，平面，平面平面.（2）由底面为正方形及底面，，AD，AP两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系

不妨设，则，，，，，，设，设平面的一个法向量为，，则，取，则，，得，设平面的一个法向量为，，则，取，则得，因为平面与平面的夹角为，所以，解得，所以.17．【答案】(1)，.(2)证明见解析，(3)证明见解析.【详解】（1），.（2）由得，且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以，所以数列的通项公式为.（3）由（2）可知，，所以，又因为，所以.18．【答案】(1)(2)①；②证明见解析【详解】（1）由题意可知，，所以．又，所以椭圆的方程为；（2）①设过点的直线方程为，点，联立，得，则，则．又因为点到直线的距离．令，解得，所以直线的方程为．②由①知，则直线，直线，由，整理得．由①知，