广东省揭阳市2023−2024学年高一下学期教学质量测试数学试卷含答案

/广东省揭阳市2023−2024学年高一下学期教学质量测试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知，则的虚部为（

）A． B． C． D．72．已知由小到大排列的4个数据的极差是它们中位数的2倍，则（

）A．5 B．6 C．7 D．83．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在平行四边形中，点满足，则（

）A． B．C． D．5．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（

）A．24 B． C． D．7．已知，则（

）A． B．C． D．8．在中，内角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（

）A．4 B．6 C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，则（

）A． B．C．在上的投影向量的模为 D．与的夹角为钝角10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．的图象关于点成中心对称C．在区间上单调递增D．若的图象关于直线对称，则11．已知函数的定义域为，且，若，则（

）A． B．C．有最大值 D．函数是奇函数三、填空题（本大题共3小题）12．已知集合，则的所有元素之和为.13．若函数的值域为，则实数的取值范围为.14．一个三棱锥形木料，其中底面是的等腰直角三角形，底面，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为.四、解答题（本大题共5小题）15．记的内角所对的边分别为，已知.(1)求；(2)若，求.16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面.(1)设分别为的中点，证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正切值.17．某校举办“奋进新征程，建功新时代”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)用分层随机抽样的方法从这两个区间共抽取5名学生，则每个区间分别应抽取多少人？(2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率；(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前70%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）18．已知是定义域上的奇函数，且.(1)求的解析式；(2)判断并用定义证明在区间上的单调性；(3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值.19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且.(1)求；(2)设点为的费马点，若，求的最小值；(3)设点为的费马点，，求实数的取值范围.

参考答案1．【答案】B【详解】，则其虚部为，故选：B.2．【答案】D【详解】由小到大排列的4个数据1，3，4，，则，这4个数据的极差为，中位数为，因为这4个数据的极差是它们中位数的2倍，所以，解得．故选：D.3．【答案】A【详解】由，则，故充分性成立，由，则，无法推出，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A4．【答案】C【详解】因为为平行四边形，则有，∴.故选：C.5．【答案】A【详解】由于二次函数的二次项系数为正数，对称轴为直线，其对称轴左侧的图象是下降的，∴，故，因此，实数的取值范围是.故选：A.6．【答案】D【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，设该正六棱台的上下底面积分别为，高为，则，，，故.故选：D7．【答案】C【详解】构造函数，，所以，，因为均为上增函数，则函数，为增函数.函数，与函数的图象，如下图所示：由图可知，.又，，所以.综上，.故选：C8．【答案】D【详解】，由正弦定理得，因为，所以，故，如图所示，则的面积为，即，因为，．．当且仅当，结合得时等号成立，所以，的最小值为．故选：D．9．【答案】AC【详解】A：由题意可得，故A正确；B：因为，所以，故B错误；C：在上的投影向量的模为，故C正确；D：与的夹角的余弦值为，所以夹角不是钝角，故D错误；故选：AC.10．【答案】BCD【详解】对A，由，最小正周期，A错；对B，由，即是对称中心，B对；对C，由，则，显然在区间上单调递增，C对；对D，由题意，故，D对.故选：BCD.11．【答案】ABD【详解】对于A：因为且，令，则，解得，令，则，令，，则，解得，故A正确；对于B：令，可得，即，所以，故B正确；对于C：令，且，则，可得，若时，时，，此时函数为单调递增函数；若时，时，，此时函数为单调递减函数，所以函数不一定有最大值，故C错误；对于D：令，可得，可得，即，所以函数是奇函数，故D正确；故选：ABD.12．【答案】【详解】由题知，，所以，所以的所有元素之和为.故答案为：.13．【答案】【详解】当时，，此时，因为函数的值域为，所以当时，有恒成立，即在时恒成立，所以，解得.故答案为：.14．【答案】【详解】由是的等腰直角三角形，取的中点为，则，又因为底面，底面，所以，，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，即就是二面角的平面角，因为二面角的大小为，所以，又因为，，所以，由于这个四面体是直角四面体，它可以补形为一个长方体，从而可得它的外接球半径满足：则三棱锥的外接球表面积为：故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由余弦定理，因为，所以.（2）因为，由正弦定理可得，所以，所以，所以.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接，因为底面为平行四边形，为的中点，所以，且为的中点，由为的中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）取的中点，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，连接，所以为直线与平面所成角，因为为等边三角形，，所以，又平面，故，在中，因为，所以，所以，所以直线与平面所成角的正切值为.17．【答案】(1)依次抽取人、人(2)(3)【详解】（1）依题意，设区间中应抽人，区间中应抽人，得成绩在区间样本中的学生人数为：；成绩在区间样本中的学生人数为：；所以，解得，所以区间中应抽人，区间中应抽人.（2）由（1）得，不妨记区间中人为，区间中人为，则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件，其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共12件，故，即第二个交流分享的学生成绩在区间的概率为.（3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为，所以成绩良好的最低分数线落在区间中，不妨记为，故，解得，所以成绩良好的最低分数线为.18．【答案】(1)(2)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析(3)【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，且，所以，所以，解得，即．经检验，是奇函数，满足题意，所以.（2）函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：任取，且，则，当，且，则，，∴，∴，即，所以函数在上单调递减．当，且，则，，∴，∴，即，所以函数在上单调递增．（3）由题意知，令，则，由（2）可知函数在上单调递减，∴，因为函数的对称轴方程为，∴函数在上单调递增，当时，取得最小值，；当时，取得最大值，．所以，，又因为对任意的，都有恒成立，∴，即，解得，又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为．19．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为，又，所以，