山东省菏泽市单县第一中学2024−2025学年高一下学期第一次调研考试数学试题含答案

/山东省菏泽市单县第一中学2024−2025学年高一下学期第一次调研考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．复数的虚部为（

）A．i B． C．1 D．－12．已知向量，向量．若向量与向量垂直，则（

）A． B． C．3 D．53．已知复数满足，复数（为虚数单位），则的最大值为（

）A． B． C． D．4．在中，的面积为，若，则的面积为（

）A． B． C． D．5．普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单．如图，某测量小组为测量该塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的高度AB约为（取）（

）A．32.75米 B．33.68米 C．33.94米 D．34.12米6．我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”把以上文字写成公式，即（其中S为面积，a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边）.若，且，则利用“三斜求积”公式可得的面积（

）A． B． C． D．7．已知三条边上的高分别为3，4，6，则最小内角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．如图，设，是平面内夹角为的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序数对叫做点在坐标系中的坐标.在该坐标系下，，，为不共线的三点，下列结论错误的是（

）

A．线段中点的坐标为 B．重心的坐标为C．，两点的距离为 D．若，则，，三点共线二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数，，为共轭复数，则下列结论中一定成立的是（

）A．为实数 B． C． D．10．已知平面向量，，则（

）A．，不可能垂直 B．，不可能共线C．不可能为5 D．若，则在方向上的投影向量为11．下列说法正确的是（

）A．已知内有一点满足，则向量与的夹角为直角B．已知分别为内角的对边，且，，则使得有两组解的的取值范围是C．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为D．若虚数是关于的实系数方程的一个根，则-2三、填空题（本大题共3小题）12．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为13．若，则复数的虚部为14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知单位向量满足(1)求的值；(2)设与的夹角为，求的值；16．已知的内角的对边分别为，满足(1)求角；(2)是的角平分线，若的面积为，求的值．17．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集．(1)若复数，求；(2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数．18．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)为边上一点，，，求的面积.19．在中，，，对应的边分别为，，，(1)求；(2)若为线段内一点，且，求线段的长；(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值；

参考答案1．【答案】C【详解】解：，故复数的虚部为；故选C.2．【答案】A【详解】因为，向量与垂直，所以，所以，即，∴.故选A.3．【答案】D【详解】由已知，由复数模的三角不等式可得.故选D.4．【答案】D【详解】因为，所以，即所以所以故选D.5．【答案】C【详解】设米，则，由，，得，在中由正弦定理，即，所以（米）.故选C.6．【答案】B【详解】因为，由余弦定理可得，解得，又因为，由正弦定理可得，且，即，解得，所以.故选B.7．【答案】D【详解】由题意，不妨设的三边上对应的高的长度分别为3，4，6，由三角形的面积公式可得：，解得：，设，则，可得c为三角形最小边，C为三角形的最小内角，由余弦定理得：故选D.8．【答案】C【详解】根据题意，，，，对于A，设的中点为，则，故线段中点的坐标为，故A正确．

对于B，设重心为，则，故重心的坐标为，故B正确；对于C，，所以=即该坐标系中，两点间的距离为：，故C错误；对于D，，，若，易得，则、、三点共线，若，变形可得，所以，所以，所以、、三点共线，综合可得：若，则，，三点共线，故D正确．故选C．9．【答案】AC【详解】设，对于A，，所以A正确，对于B，因为，，所以，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误，故选AC10．【答案】ACD【详解】，A选项正确；若向量，共线，则，解得，所以向量，可能共线，B选项错误；因为，所以，C选项正确；若，则，，所以在方向上的投影向量为，D选项正确；故选ACD．11．【答案】ABC【详解】A.，则，则，，，即，即，故A正确；B.在内正弦定理得，则，有两组解，则且，则，故B正确；C.，则由正弦定理可得，，因，则，即，得，因，故，故，，故，则，则，当且仅当，即时等号成立，因，则，故C正确；D.是的一个根，则也是其根，则，则，故D错误.故选ABC.12．【答案】16【详解】由题意得：，，则合力对该质点所做的功为.13．【答案】【详解】设，由，则，即，即，解得或，所以或.则复数的虚部为.14．【答案】/【详解】由，则，因为，故，则，即，即，，则，故，故的三内角都小于，则P点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为；又，则，则，解得，故，因为，即，所以，则.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为为单位向量，所以，所以，得到，则，则（2）因为，所以，而

所以，即16．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，即，整理得，化简得，由余弦定理得，又，则；（2）由面积公式得，解得；即，所以．17．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题可知，，，所以，所以．（2）因为，所以．18．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，由正弦定理得：，∴，即，则.（2）由题可知为等边三角形，则，，∵，在中，由余弦定理可得：，即，解得，∴的面积为.19．【答案】(1)(2)(3)48【详解】（1）因为所以，由正弦定理，

所以即：，又，所以；（2）（方法一）