数学 《一元二次方程》导学案

导学引领，树梁中学对标检测”尝试教学导学案八年级下第二十五章《一元二次方程》授课教师：主备教师：燕桂凤审核校对：初四数学组【学习目标】掌握一元二次方程及其解法；根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．【知识梳理】Ⅰ、本章知识结构框图：Ⅱ、本章知识点：１、一元二次方程的定义及一般形式：只含有一个未知数、并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是：ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０），其中ａｘ²叫做二次项，ａ叫做二次项系数，ｂ叫做一次项系数，ｃ叫做常数项。注意：（１）一般形式中，ｂ、ｃ可以是任何实数；二次项系数ａ是不等于0的实数，这是因为ａ等于0，方程就不是二次方程了；（２）要确认一元二次方程的各项系数，必须先将此方程化简整理成一般形式，然后再确定ａ、ｂ、ｃ，同时不要漏掉符号。２、一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）。３、一元二次方程的四种解法：解一元二次方程常用的方法有：开平方法，配方法，公式法和因式分解法。其中开平方法和因式分解法是特殊解法，而配方法和由配方法推导出来的求根公式是一般方法，一般方法对任何一元二次方程都可以使用。直接开平方法：把方程变为形如（ｘ+ａ）²＝ｂ（ｂ≥０）的方程可用直接开平方法求解。两边直接开平方得：ｘ+ａ＝ｂ或ｘ+ａ＝－ｂ。∴ｘ１＝-ａ+ｂ，ｘ２＝－ａ－ｂ。注意：（１）直接开平方的理论根据是平方根的定义，故只有在ｂ≥０条件下，方程才有实数根。若ｂ＜０，则方程（ｘ+ａ）²＝ｂ无实数根；（２）在实际问题中，要联系实际情况确定方程的解。（２）因式分解法：如果一元二次方程经过因式分解能化成ａ·ｂ＝０的形式，且ａ与ｂ都是含有未知数的一次式那么它就可以化为两个一元一次方程ａ＝０或ｂ＝０，根据这种思想解一元二次方程的方法，就是因式分解法。因式分解法体现了将一元二次方程“降次”转化为一元一次方程来解的思想，运用这种方法的步骤是：①将已知方程化为一般形式，使方程右端为０；②将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积；③分别令方程左边的两个因式为０，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解。注意：因式分解法是解一元二次方程常用的方法，务必熟练掌握。（２）配方法：通过配方把一元二次方程ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０变形为（ｘ+）²＝的形式，再利用直接开平方法解之，这就是配方法。用配方法解一元二次方程的一般步骤：①移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②化二项系数为１：在方程两边都除以二次项系数；③配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为（ｘ＋ｍ）²＝ｎ（ｎ≥０）的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。注意（１）“将二项系数化为１”是配方的前提条件，配方是关键也是难点；（２）配方法是一种重要的数学方法，应予以重视。（４）公式法：应用配方法可导出一元二次方程ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的求根公式ｘ＝（ｂ²－４ａｃ≥０）。用公式法解一元二次方程的一般步骤：①化方程为一般形式，即ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）；②确定ａ、ｂ、ｃ的值，并计算ｂ²－４ａｃ的值（注意符号）；③当ｂ²－４ａｃ≥０时，将ａ、ｂ、ｃ及ｂ²－４ａｃ的值代入球根公式，得出方程的根：ｘ＝；当ｂ²－４ａｃ＜０时，原方程无实数解。注意：（１）在运用公式法解一元二次方程时，一定要先把方程化为一般形式，再确定ａ、ｂ、ｃ的值，否则，易出现符号错误；（２）用公式法解一元二次方程时，套入公式要运算准确。４、怎样选择恰当的方法解一元二次方程：解一元二次方程常用的方法有四种。使用时关键是选择适当的方法，一般按照先特殊后一般的程序选择，考虑的顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法。没有特殊要求，配方法一般不用，因为配方法解方程比较麻烦，但配方的方法要熟练掌握。５、一元二次方程根的判别式及应用：（１）一元二次方程根的判别式概念及定理内容：概念：一元二次方程ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）是否有实数根，完全取决于ｂ²－４ａｃ的符号，因此，把ｂ²－４ａｃ叫一元二次方程的根的判别式。用“Δ”表示，即Δ＝ｂ²－４ａｃ。内容：对于一元二次方程ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０），Δ＝ｂ²－４ａｃ＞０，方程有两个不相等实数根；Δ＝ｂ²－４ａｃ＝０，方程有两个相等的实数根；Δ＝ｂ²－４ａｃ＜０，方程无实数根。注意：（１）Δ＝ｂ²－４ａｃ只适用于一元二次方程；（２）使用时，要先将一元二次方程化为一般形式后，才能确定ａ、ｂ、ｃ，求出Δ；（３）当Δ＝ｂ²－４ａｃ≥０时，方程有实数根。（２）一元二次方程根的判别式主要有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况；②证明字母系数方程有实数根或无实数根；③根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。６、一元二次方程根与系数的关系及应用：（１）内容：①如果ｘ１，ｘ２是一元二次方程ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的两根，那么ｘ１+ｘ２＝－，ｘ１·ｘ２＝；②如果方程ｘ²+ｐｘ+ｑ＝０的两个根是ｘ１，ｘ２，那么ｘ１+ｘ２＝－ｐ，ｘ１·ｘ２＝ｑ（韦达定理）；③以两个数ｘ１，ｘ２为根的一元二次方程（二次项系数为１）是ｘ²－（ｘ１+ｘ２）ｘ+ｘ１·ｘ２＝０.（２）应用：①已知方程的一个跟，求另一根及未知系数；②不解方程，求与已知方程两根有关的代数式的值；③已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值。7、列一元二次方程解应用题的方法步骤：列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的拓展，解题方法是相同的，但由于一元二次方程有两个解，要注意检验方程的解是否符合实际意义。其步骤为：①设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；②列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；③解：解所列方程，求出解来；④验：一是检验是否为方程的解；二是检验是否为应用题的解；⑤答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。8、主要题型：列一元二次方程解应用题的类型很多，在日常生活、生产、科技等方面有广泛的应用，如面积问题、平均增长率（降低率）问题、利润问题、数字问题、刹车问题等。Ⅲ、本章数学思想方法：配方法转化思想：主要体现在解一元二次方程通过开平方法或因式分解法转化为一元一次方程；把一般形式的一元二次方程转化为特殊形式的方程（ｘ+ａ）²＝ｂ（ｂ≥０）分类讨论思想化归思想：化归思想就是把所要解决的问题转化归结为另一个较容易的问题或已经解决的问题方程思想数学建模思想【对标检测】一选择题（每小题3分，共24分）：1．方程（m2－1）x2＋mx－5＝0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是…（）（A）m≠1（B）m≠0（C）|m|≠1（D）m＝±12．方程（3x＋1）（x－1）＝（4x－1）（x－1）的解是………（）（A）x1＝1，x2＝0（B）x1＝1，x2＝2（C）x1＝2，x2＝－1（D）无解3．方程的解是……………（）（A）x1＝6，x2＝－1（B）x＝－6（C）x＝－1（D）x1＝2，x2＝34．若关于x的方程2x2－ax＋a－2＝0有两个相等的实根，则a的值是………………（）（A）－4（B）4（C）4或－4（D）25．如果关于x的方程x2－2x－＝0没有实数根，那么k的最大整数值是…………（）（A）－3（B）－2（C）－1（D）06．以和为根的一个一元二次方程是………………（）（A）（B）（C）（D）7．4x2－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是……（）（A）（2x＋5）（2x－5）（B）（4x＋5）（4x－5）（C）（D）8．已知关于x的方程x2－（a2－2a－15）x＋a－1＝0的两个根互为相反数，则a的值是………………………（）（A）5（B）－3（C）5或－3（D）1答案：Ｃ；２．Ｂ；３．Ｃ；４．Ｂ；５．Ｂ；６．Ａ；７．Ｄ；８．Ｂ．二填空题（每空2分，共12分）：1．方程x2－2＝0的解是x＝；2．若分式的值是零，则x＝；3．已知方程3x2－5x－＝0的两个根是x1，x2，则x1＋x2＝，x1·x2＝；4．关于x方程（k－1）x2－4x＋5＝0有两个不相等的实数根，则k；5．一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数的积是24，则这个两位数是．答案：１．±；２．3；３．，；４．k＜且k≠1；５．46．三解下列方程或方程组（第１、２小题８分，第３小题９分，共25分）：1．；解：用公式法．因为，，，所以，所以，；2．；解：用换元法．设，原方程可化为，也就是，解这个方程，有，，．由＝5得方程，解得，；由＝2得方程，解得，．经检验，，，，都是原方程的解．３．解：由得，代入方程，得，，，，．把代入，得；把代入，得．所以方程组的解为，．四列方程解应题（本题每小题8分，共16分）：１．某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？略解：设甲、乙两管单独开放注满油罐时各需x小时和y小时，依题意，有，解得所以，甲管单独开放注满油罐需12小时，乙管单独开放注满油罐需16小时．２．甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米．略解：用图形分析：A地相遇地B地依题意，相遇地为中点，设乙的速度为v千米／时，根据“甲、乙走10千米所用时间的差为半小时”列式，有，解得＝4（千米∕时）．五（本题11分）已知关于x的方程（m＋2）x2－.（1）求证方程有实数根；（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m的值．略解：（1）当m＝－2时，是一元一次方程，有一个实根；当m≠－2时，⊿＝（m＋2）2＋20＞0，方程有两个不等实根；综合上述，m为任意实数时，方程均有实数根；（2）设两根为p，q.依题意，有p2＋q2＝3，也就是（p＋q）2－2pq＝3，有因为p＋q＝，pq＝，所以，，，，．六（本题12分）已知关于x的方程式x2＝（2m＋2）x－（m2＋4m－3）中的m为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m的值，并解方程．提示：由m≥0和⊿＞0，解出m的整数值是0或1，当m＝0时，求出方程的两根，x1＝3，x2＝－1，符合题意；当m＝1时，方程的两根积x1x2＝m2＋4m－3＝2＞0，两根同号，不符合题意，所以，舍去；所以m＝0时，解为x1＝3，x2＝－1．★本章专题归纳专题一、一元二次方程的概念：例1、下列方程中，关于的一元二次方程是（）

Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．专题二、一元二次方程的解的应用例1、已知是一元二次方程的一个解，且，求的值.解：因为是一元二次方程的一个解，所以，可知.所以例2（09荆门）关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a的值为()(A)a=0．(B)a=2．(C)a=1．(D)a=0或a=2．解：（1）当，方程为一元一次方程此时有实数根；（2）当，方程为二次方程.由相同解算一解得：，解得此时方程有实数根综合（1）、（2），选D例3（09年烟台市）设是方程的两个实数根，则的值为（）A．2006 B．2007 C．2008 D．2009解因为是方程的两个实数根，所以，，所以专题三、一元二次方程解法的选择例2、对于方程把最适宜解法的序号填在下面的横线上。（1）直接开平方法___________；（2）因式分解法_______；（3）配方法_______；（4）求根公式法_________。解：（1）（1）（5）（6）；（2）（1）（2）（4）（7）；（3）（3）（8）；（4）（3）（8）.规律总结：一元二次方程的常用解法有（1）开平方法，（2）配方法，（3）求根公式法，（4）因式分解法，。通常可以这样选择合适的解法：（1）当方程一边为含有未知数的完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法。（2）当方程的一边为0，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解。（3）当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法。（4）当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。例4（09新疆）解方程：．解法一： 或解法二：专题三、一元二次方程的应用例3、某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．解：设南瓜亩产量的增长率为，则种植面积的增长率为．根据题意，得．解这个方程，得，（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为．例4、某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？解：⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）.⑵依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160,即x2－10x+16=0,解得：x1=2,x2=8.经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.专题四、一元二次方程根的判别式与根与系数的关系引例．已知关于的方程有解，那么的取值范围是（）Ａ． Ｂ． Ｃ．且 Ｄ．且专题五、创新型试题在中考中除考查基础知识与基本能力外，还考查同学们的创新能力，这样在中考中出现了一些创新型试题，如“新定义”型试题、阅读理解题、规律探究题等.例7、将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则．思维点击：本题中给出了2阶行列式定义，让考生根据定义规定的运算法则，从中，提炼出一元二次方程，化简、整理，得.答案：温馨提示：“新定义”型中考题在前几年的数学竞赛中经常出现．近年在中考试卷中也频频出现．所谓“新定义”试题，是在试题中给出一个学生从未接触过的概念，要求学生现学现用，充分发挥阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力解答试题，这对于培养学生自主学习、主动探究的学习方式有积极的促进作用、例8、探究下表中的奥秘，并完成填空：思维点击：本考题从一元二次方程根的角度来研究相对应的二次三项式的因式分解问题.可直接利用求根公式，求出的根为仔细观察图表中数字的变化规律，不难发现一般结论为：若一元二次方程的两个根为，则.解后反思：本例从教材要求的基础知识出发，不仅探索揭示了一元二次方程与二次三项式因式分解之间的内在变化规律，而且注重了对观察类比及联想等数学思想方法的考查.★规律方法总结本章是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位，因此本章在解题过程中用到的数学思想方法较多，主要运用了方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及整体思想。方程思想是弄清题意，将题目中的已知量与未知量的关系转换成方程，再求出未知量的一种数学思想方法，这种思想在本章主要体现在列方程解应用题、利用根的判别式和根与系数的关系确定一元二次方程中的字母系数等。转化思想是解决数学问题的基本思想，通常可把复杂的问题转化为简单问题，把实际问题转化为数学问题，以便从中寻求解题的最佳途径。这种思想在本章中主要体现在将一元二次方程转化为一元一次方程来解等。数形结合思想中数与形是对立统一的，因而在研究数学问题时，有许多问题可以把数与形有机地结合起来，从而寻求解题的最佳方法。分类讨论思想可以培养思维的周密性，分类讨论一般分为三步：第一，根据题目需要确定分类讨论对象；第二，针对讨论对象进行合理的分类讨论；第三，对讨论结果归纳合并，综合得出结论。整体思想即从问题的整体出发，根据问题的整体结构特征，把大问题转化成为一个或几个很容易求解的“小整体性”问题来解决。经常运用整体思想解题，可提高我们观察分析和解决问题的能力，巧用这种思想解题，可使解题过程简捷快速，且不易出错。总之，数学思想方法是数学的生命和灵魂，是把知识转化为能力的桥梁，掌握了数学思想方法，就如同掌握了生活工作的“万能钥匙”。★本章知识脉络★本章专题归纳专题一、一元二次方程的概念：例1、下列方程中，关于的一元二次方程是（）

Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．专题二、一元二次方程的解的应用例1、已知是一元二次方程的一个解，且，求的值.解：因为是一元二次方程的一个解，所以，可知.所以例2关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a的值为()(A)a=0．(B)a=2．(C)a=1．(D)a=0或a=2．解：（1）当，方程为一元一次方程此时有实数根；（2）当，方程为二次方程.由相同解算一解得：，解得此时方程有实数根综合（1）、（2），选D例3设是方程的两个实数根，则的值为（）A．2006 B．2007 C．2008 D．2009解因为是方程的两个实数根，所以，，所以专题三、一元二次方程解法的选择例2、对于方程把最适宜解法的序号填在下面的横线上。（1）直接开平方法___________；（2）因式分解法_______；（3）配方法_______；（4）求根公式法_________。解：（1）（1）（5）（6）；（2）（1）（2）（4）（7）；（3）（3）（8）；（4）（3）（8）.规律总结：一元二次方程的常用解法有（1）开平方法，（2）配方法，（3）求根公式法，（4）因式分解法，。通常可以这样选择合适的解法：（1）当方程一边为含有未知数的完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法。（2）当方程的一边为0，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解。（3）当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法。（4）当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。例4（09新疆）解方程：．解法一： 或解法二：专题三、一元二次方程的应用例3、某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．解：设南瓜亩产量的增长率为，则种植面积的增长率为．根据题意，得．解这个方程，得，（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为．例4、某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？解：⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）.⑵依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160,即x2－10x+16=0,解得：x1=2,x2=8.经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.专题四、一元二次方程根的判别式与根与系数的关系引例．已知关于的方程有解，那么的取值范围是（）Ａ． Ｂ． Ｃ．且 Ｄ．且专题五、创新型试题在中考中除考查基础知识与基本能力外，还考查同学们的创新能力，这样在中考中出现了一些创新型试题，如“新定义”型试题、阅读理解题、规律探究题等.例7、将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，