2024年人教版数学九年级上册同步课件22.1.6 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的______相同，_____不同.如何变化上加下减左加右减2.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：(1)当a＞0时,开口_____，当a＜0时，开口_____；(2)对称轴是_______；(3)顶点是__________.形状位置向上向下直线x=h(h,k)3.抛物线y=-4(x+2)2-5的开口______，对称轴是直线_______，顶点坐标为_________；它可由抛物线y=-4x2向____(填“左”或“右”)平移____个单位，再向___(填“上”或“下”)平移____个单位得到；当x=___时，y有最___值，其值为___；当______时，y随着x的增大而增大，当______时，y随着x的增大而减小.向下x=-2(-2,-5)左2下5-2大-5x＜-2x＞-24.用配方法把下列二次多项式化为m(x+n)2+p的形式：(1)x2-6x+5；(2)-3x2+5x+1.解：原式=x2-6x+5=x2-6x+9-9+5=(x-3)2-4

1.怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？【点睛】二次函数一般式化为顶点式的步骤：(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方式；(3)“化”：化成顶点式.2.你能说出的对称轴及顶点坐标吗？对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.3.二次函数可以看作是由怎样平移得到的？平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.（6，3）4.直接画二次函数的图象.先利用图形的对称性列表7.553.533.557.5然后描点画图，得到图象如右图.结合图象我们可以得到：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当x＜6时，y随x的增大而减小；当x＞6时，y随x的增大而增大；当x=6时，函数取得最小值，最小值y=3.你能用前面的方法讨论二次函数的图象和性质吗？配方开口向下顶点是(-1，3)对称轴是直线x=-1与y轴交点（0,1）结合图象我们可以得到：在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降.也就是说，当x＜-1时，y随x的增大而增大；当x＞-1时，y随x的增大而减小；当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3.一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)

可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式(顶点式).配方对称轴是直线，顶点是.如果a＞0时，那么当

时，y最小值=；

如果a＜0时，那么当

时，y最大值=.如果a＞0，当

时，y随x的增大而减小，当

时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当

时，y随x的增大而增大，当

时，y随x的增大而减小.例1.已知抛物线y=2x2-12x+13.（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（2）当x为何值时，y随x的增大而减小;（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-2x+9)-5=2(x-3)2-5，∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3.（1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5；（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；（3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点:向上向下向下向上

直线x=-1直线x=2直线x=4

(-1,1)(2,0)(4,-5)x……﹣2013……y……6﹣4﹣6﹣4……例2.如表中列出的一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞﹣1，y的值随x值的增大而增大C已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴

B.直线x=C.直线x=2

D.直线x=则该二次函数图象的对称轴为()D例3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A．b≥－1

B．b≤－1

C．b≥1

D．b≤1解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴，即b≤1，故选择D.D例4.如图，已知OA所在直线解析式为y=x，点P在线段OA上，PQ∥y轴且与抛物线y=x2-3x相交于点Q，则当PQ＝3时，点Q的坐标为（）A．(1，-2)

B．(1，-2)或(2，-2) C．(2，-2)

D．(1，-2)或(3，0)

D例5.已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当-1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1<y2<y3

B．y2<y3<y1

C．y3<y1<y2

D．y2<y1<y3解：∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴对称轴x=1，顶点坐标为(1,-4)，当y=0时，(x-1)2-4=0，解得x=-1或x=3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：(-1,0)，(3,0)，∴当-1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y2<y1<y3.D

BB1.二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,下列正确的是()A.y=(x-1)2+2B.y=(x-1)2+3C.y=(x-2)2+2D.y=(x-2)2+42.二次函数y=x2+2x-5有()A.最大值-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-63.下列对二次函数y=x2+x的图象的描述,正确的是()A.对称轴是y轴B.开口向下C.经过原点D.顶点在y轴右侧BDC4.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大，则x的取值范围是()A.x<1B.x>1C.x<-1D.x>-1A5.抛物线y=2x2+3x-5与y轴的交点坐标是_________.6.若抛物线y=x2+bx+1的对称轴在y轴右侧，则b的取值范围是_______.7.若抛物线y=ax2-12x+3的对称轴是直线x=-3，则a的值为______.8.将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物线是________________.9.当-1≤x≤3时，二次函数y=x2-4x+5有最大值m，则m=_______.10.点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值等于_______.(0,-5)b＜0-2y=(x-5)2+210

配方对称轴是直线，顶点是.如