2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题111 与三角形有关的线段【八大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023.2024学年八年级数学上册举一反三系列专题11.1与三角形有关

的线段【八大题型】

【人教版】

【题型।三角形的分类】.......................................................................................I

【题型2判断三角形的个数】.................................................................................2

【题型3三角形三边关系的应用】............................................................................3

【题型4三角形的稳定性】....................................................................................4

【题型5三角形的角平分线、中线和高线概念辨析】........................................................6

【题型6三角形的中线与面积何题】.........................................................................6

【题型7三角形的中线与周长何题】.........................................................................7

【题型8证明三角形中线段不等关系】........................................................................8

洋一叉三

【知识点1三角形的概念】

由不在同一条直线上的三条线段直属顺次相接所组成的图形叫做三角形.

【知识点2三角形的分类】

三边都不相等的三角形

按边分类：三角形|底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形［等边三角形

直角三角形

按角分类：三角形锐角三角形

斜三角形

钝角三角形

【题型1三角形的分类】

［例1］（2021秋•漳平市期中）下列说法正确的有（）

①等腰三角形是等边三角形；

②三角形按边分可分为等腰三带形、等边三角形和不等边三角形;

③等腰三角形至少有两边相等；

④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.

A.①②B.①@④C.③④D.①@④

【变式1-1]（2021秋•威县期末）下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（）

甲乙

A.甲、乙两种分法均正确

B.甲分法正确，乙分法错误

C.甲分法错误，乙分法正确

D.甲、乙两种分法均错误

【变式1-2]（2021秋•阳新县期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）

A.M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形

B.M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，。表示等腰三角形

C.M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形

D.M表示等边三角形，N表示等腰三角形，。表示三边均不相等的三角形

【变式1-3]（2021秋•静安区期末）下列说法错误的是（）

A.任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形

B.任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形

C.任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形

D.任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形

【题型2判断三角形的个数】

【例2】（2021•蒙阴县校级开学）如图中三角形的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

【变式2-1]（2022春•建邺区校级期中）如图，以/W为边的三角形的个数是（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2-2]（2U21秋•安徽期中）现有若干个二角形，在所右的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐

角，则在这些三角形中锐角三足形的个数是（）

A.3B.4或5C.6或7D.8

【变式2-3]（2022秋•饶平县校级期末）观察图形规律:

①②③

（1）图①中一共有个三角形，图②中共有个三角形，图③中共有个三角形.

（2）由以上规律进行猜想，第〃个图形共有个三角形.

【知识点3三角形的三边关系】

三角形两边的和珏第三边，两边的差小壬第三边.

在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段

长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

【题型3三角形三边关系的应用】

[例3]（2022•平桂区二模）老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三

根小木棍的长度分别为：5c川、九〃人要求只能对的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）.你

认为同学们最多能做出（）个不同的三角形木架.

A.1B.2C.6D.10

【变式3-1]（2022春•秦淮区期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，

其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8,且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时

不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（）

3

8

4

A.7B.10C.11D.14

【变式3-2]（2022•襄州区模拟）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9,则满足上述条件

的三角形个数为（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

【变式3-3]（2021秋•祁阳县期末）已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4,但它不是最

短边，这样的三角形的个数为（）

A.6个B.8个C.1（）个D.12个

【知识点4三角形的稳定性】

当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性.这一特性主

要应用在实际生活中.

【题型4三角形的稳定性】

【例4】（2021春•左权县月考）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长

的跨海大桥.如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理

是_________

【变式4-1]（2021秋•云梦县月考）下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是（）

愉

【变式4-3]（2021秋•岚皋县校级月考）要使如图所示的六边形木架不变形，则至少需要钉上木条的根数

C.3D.4

【知识点5三角形的角平分线、中线和高】

（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.

（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三

角形的角平分线.

（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的空线.

（4）三角形有三条中线，有三条高线,有三条角平分线，它们都是线段.

（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点,直角三角形有两条高与直角边重合，另一

条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，

三条高所在直线相交于三角形处二点.

【题型5三角形的角平分线、中线和高线概念辨析】

【例5】（2022春•泗县期中）如图，在△A8C中，Zl=Z2,G为人。的中点，延长交八。于£F为

上的一点，于〃.下列判断正确的有（）

A.A。是△ABE的角平分线B.BE是边4。上的中线

C.C”为△AC。边4。上的高D.4"为△ABC的角平分线

【变式5-1]（2021春•镇江期中）如图，△4BC的角平分线人。与中线BE相交于点O,有下列两个结论:

①AO是△A8E的角平分线：②。石是△/1£＞（7的中线，其中（）

C.①和②都正确D.①和②都不正确

【变式5-2]（2022春•静安区期中）下列判断错误的是（）

A.三角形的三条高的交点在三角形内

B.三角形的三条中线交于三角形内一点

C.直角三角形的三条高的交点在直角顶点

D.三角形的三条角平分线交于三角形内一点

【变式5-3]（2021秋•茶陵县期末）下列说法中，正确的个数是（）

①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内

部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点.

A.IB.2C.3D.4

【题型6三角形的中线与面积问题】

【例6】（2022春•广州期中）如务，△A8C的面积是24,点。、E、RG分别是灰?、A。、BE、CE的中

点，则AAFG的面积是（）

A

【变式6-1］（2022春•祁江区校级期中）如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AD的中点，点尸在BE

上，J.EF=2BF,若S"b=2c"『，则S"8C=（）

【变式6-2］（2021秋•潮安区期末）如图，4。是△ABC的中线，点E是A。的中点，连接BE、CE,关X

ABC的面积是8,则阴影部分的面积为（）

【变式6-3］（2022春•泰兴市校级月考）如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、尸分别是4G、

BD、CE的中点，S~18C=48,贝US八。"'的值为.

【题型7三角形的中线与周长问题】

【例7】（2021秋•乳山市校级月考）在△人BC中，/B</C,AD为边的中线，△八8。的周长与△八OC

的周长相差3,A8=8,则4C=.

【变式7-1]（2021秋•涧西区校级期中）如图,在△A4C中，AO是边上的中线，△AQC的周长比4

A3。的周长多2,A8+AC=8,则AC的长为.

【变式7-2]（2021春•芙蓉区校级月考）ZVIBC中，AC=2BC,8C边上的中线A。把△ABC的周长分成

40和60两部分，求BC的长.

【变式7-3]（2022秋•重庆期末）如图，在三角形A8C中，AB=Kkw,AC=6cm,。是5C的中点，E点、

在边A8上，三角形笈。£与四边形ACO£的周长相等.

（1）求线段的长.

（2）若图中所有线段长度的和是53c7〃，求8c的值.

【题型8证明三角形中线段不等关系】

[pi]8]（2022春•鼓楼区期末）如图，尸为△A8C内任意一点，求证：AB+AOPB+PC.

【变式8-1]（2021春•嵩县期末）如图所示，。是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BO,请

判断A3+4C+AC与23。的大小关系，并说明理由.

【变式8-2]（2022春♦台江区校级期末）如图，在△A4C中，己知/BAC=70°,N4BC和NACB的平分

线相交于点D.

（1）求N3OC的度数；

1

（2）试比较OA+O8+。。与-（AB+8C+4C）的大小，写出推理过程.

2

【变式8-3]（2021秋•饶平县校级期中）在锐角三角形A3C中，AB>AC,AM为中线，尸为△AA/C内一

点，证明：PB>PC（如图）.

B.W

专题1L1与三角形有关的线段【八大题型】

【人教版】

【题型1三角形的分类】...............................................................................1

【题型2判断三角形的个数】..........................................................................2

【题型3三角形三边关系的应用】.....................................................................3

【题型4三角形的稳定性】............................................................................4

【题型5三角形的角平分线、中线和高线概念辨析】...................................................6

【题型6三角形的中线与面积同题】...................................................................6

【题型7三角形的中线与周长何题】...................................................................7

【题型8证明三角形中线段不等关系】.................................................................8

【知识点1三角形的概念】

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

【知识点2三角形的分类】

三边都不相等的三角形

按边分类：三角形底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

（直角三角形

按角分类：三角“斜三角形

锐角三角形

钝角三角形

【题型1三角形的分类】

【例1】（2021秋•漳平市期中）下列说法正确的有（）

①等腰三角形是等边三角形；

②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；

③等腰三角形至少有两边相等；

④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.

A.①②B.①@④C.③④D.①©④

【分析】①根据等腰三角形及等边三角形的定义进行解答即可;

②由三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形

和等边三角形，可得结论：

③根据等腰三角形的定义进行解答；

④根据三角形按角分类情况可得答案.

【解答】解：①•・•有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，

・•・等腰三角形不一定是等边三角形，

工①错误；

②•・,三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形

和等边三角形，

・••②错误；

③•・•两边相等的三角形称为等腰三角形，

・••③正确；

④•・•三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，

・••④正确.

故选：C.

【变式1-1]（2021秋•威县期末）下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（）

甲乙

A.甲、乙两种分法均正确

B.甲分法正确，乙分法错误

C.甲分法错误，乙分法正确

D.甲、乙两种分法均错误

【分析】给出知识树，分析其中的错误，这就要求平时学习扎实认真，概念掌握的准确.

【解答】解：甲正确的分类应该为乙分法正确;

故选：c.

【变式1-2]（2021秋•阳新县期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（)

A.M表示二边均不相等的二角形，N表示等腰二角形，尸表示等边二角形

B.M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形

C.M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形

D.M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形

【分析】根据三角形按边的分类可直接选出答案.

【解答】解：三角形根据边分类如下：

不等边三角形

三角形'底和腰不相等的等腰三角形;

等腰三角形

、等边三角形

故选：B.

【变式1-3]（2021秋•静安区期末）下列说法错误的是（：

A.任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形

B.任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形

C.任意•个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形

D.任意一个等腰三角形都可以被分割成两个宜角三角形

【分析】根据等腰三角形的判定和直角三角形的性质判断即可.

【解答】解：A、任意一个直角三角形被斜边的中线分割成两个等腰三角形，说法正确;

B、有的等腰三角形不能分割成两个等腰三角形，说法错误；

C、任意一个直角三角形可以被斜边的高分割成两个直角三角形，说法正确；

D、任意一个等腰三角形可以被底边上的高分割成两个直角三角形，说法正确；

故选:B.

【题型2判断三角形的个数】

【例2】（2021•蒙阴县校级开学）如图中三角形的个数是（）

【分析】结合图形写出所有的三角形，得到答案.

【解答】解：图中有△A8E、△ABC、MCE、△BC。、△CEO共5个，

故选：C.

【变式2-1]（2022春•建邺区校级期中）如图，以为边的三角形的个数是（）

【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形.

【解答】解：△ABC、△ABE、AABF、ZSAB。四个三角形是以48为边的三角形，

故选：D.

【变式2-2]（2021秋•安徽期中）现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐

角，则在这些三角形中锐角三带形的个数是（）

A.3B.4或5C.6或7D.8

【分析】根据三角形的定义，先得出三角形的个数.再根据三角形的分类，得出锐角三角形的个数.

【解答】解：由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角时，

・,・共有33+3=11个三角形；

又三角形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然11个三角形中，有5个直角三角形和3个钝角三

角形；

故还有II-5-3=3个锐角三角形.

故选：A.

①③

（I）图①中一共有个三角形，图②中共有个三隹形，图③中共有个三角形.

（2）由以上规律进行猜想，第〃个图形共有个三角形.

【分析】（1）根据图形直接数出三角形个数即可；

（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可.

【解答】解：（1）如图所示：图①中一共有3个三角形，图②中共有6个三角形，图③中共有10个三

角形.

故答案为：3,6>10；

（2）V1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,

・••第〃个图形共有：1+2+3+…+=（,+1”+2）.

将凭安心5+1）5+2）

故答案为：-----；-----•

【知识点3三角形的三边关系】

三角形两边的和大王第三边，两边的差小壬第三边.

在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段

长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

【题型3三角形三边关系的应用】

[例3]（2022•平桂区二模）老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三

根小木棍的长度分别为：5cm.9cm.10cw,要求只能对10c机的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）.你

认为同学们最多能做出（）个不同的三角形木架.

A.IB.2C.6D.10

【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组，判断即可.

【解答】解：设从10a〃的小木棍上裁剪的线段长度为xc•小，

则9-5<x<9+5,即4<x<14,

工整数％的值为5c/n、6cm>7cm、84?小9cm、IOcm,

・•・同学们最多能做出6个不同的三角形木架，

故选：C.

【变式3・1】（2022春•秦淮区期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，

其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8,且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时

不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（）

3

8

4

A.7B.10C.11D.14

【分析】分四种情况、根据三用形的三边关系解答即可.

【解答】解：①选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；7-6<8<7+6,能构成三角形，此时

两个螺丝间的最长距离为8；

②选6+4、3、8作为三角形，则三边长为1（）、3、8；8-3<10<8+3,能构成三角形，此时两个螺丝间

的最大距离为10：

③选3+8、4、6作为三角形，则三边长为111、4、6；4+6<11,不能构成三角形，此种情况不成立：

④选6+8、3、4作为二角形，则二边长为14、3、4；而3+4V14,不能构成二角形，此种情况不成立；

综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10,

故选：B.

【变式3-2］（2022•襄州区模拟）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9,则满足上述条件

的三角形个数为（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

【分析】首先设三角形第三边长为此根据三角形的三边关系可得9-5VXV5+9,解不等式可得x的取

值范围，再根据周长是偶数确定工的值，进而可得答案.

【解答】解：设三角形第三边长为x,由题意得：

9-5VxV5+9,

解得：4<x<14,

•・•周长是偶数，

・・・x=6,8,10,12,共4个.

故选：B.

【变式3・3】（2021秋•祁阳县期末）已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4,但它不是最

短边，这样的三角形的个数为（）

A.6个B.8个C.10个D.12个

【分析［根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，用穷举法即可得出答案.

【解答】解：•・•三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4,但它不是最短边，

列举法：当4是最大边时，有(1,4,4),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,4),(3,4,4).

当4是中间的边时，有(2,4,5),(3,4,5),(3,4,6).共8个，

故选：B.

【知识点4三角形的稳定性】

当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性.这一特性主

要应用在实际生活中.

【题型4三角形的稳定性】

【例4】(2021春•左权县月考)我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长

的跨海大桥.如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理

是.

【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性.

【解答】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性.

故答案为：三角形的稳定性.

【变式4-1](2021秋•云梦县月考)下列生活中的一些事实运用了“三角形植定性”的是()

a*•

理

【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会

改变.

【解答】解：儿童座架利用三角形的稳定性，座架形成三角形不变形，结实，故。符合题意;

A、B、O不是三角形，故选项不符合题意.

故选：C.

【变式4-2]（2021秋•龙岩期末）下列图形中，不具有稳定性的是（）

【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可.

【解答】解：A、不具有稳定性，故此选项符合题意；

B、具有稳定性，故此选项不符合题意；

C、具有稳定性，故此选项不合题意；

D、具有稳定性，故此选项不符合题意；

故选：4.

【变式4-3]（2021秋•岚泉县校级月考）要使如图所示的六边形木架不变形，则至少需要钉上木条的根数

为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作

对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条.

【解答】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6-3=3条对角线，

所以至少要钉.上3根木条.

故选：C.

【知识点5三角形的角平分线、中线和高】

（2）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.

（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三

角形的角平分线.

（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的里线.

（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.

（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点,直角三角形有两条高与直角边重合，另一

条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，

三条高所在直线相交于三角形处二点.

【题型5三角形的角平分线、中线和高线概念辨析】

【例5】（2022春•泗县期中）如图，在△48C中，Z1=Z2,G为AD的中点，延长8G交AC于£尸为

AB上的一点，CF_LA。于〃.下列判断正确的有（）

A.A。是△ABE的角平分线B.8E是边AO」二的中线

C.CH为△ACO边A。上的高D.AH为aABC的角平分线

【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断.

连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；

三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；

从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高.

【解答】解：A、根据三角形的角平分线的概念，知4G是△A8E的角平分线，故本选项错误;

B、根据三角形的中线的概念，知4G是△A3。的边4。上的中线，故本选项错误；

C、根据三角形的高的概念，知。”为△ACO的边AO上的高，故本选项正确；

D、根据三角形的角平分线的概念，知AO是aABC的角平分线，故本选项错误.

故选：C.

【变式5-1］（2021春•镇江期中）如图，AABC的角平分线AZ）与中线8E相交于点O,有下列两个结论:

①A。是△人8E的角平分线：②。七是△AQC的中线，其中（）

A.只有①正确B.只有②正确

C.①和②都正确D.①和②都不正确

【分析】易得NBAD=NCAD,AE=CE,根据这两个条件判断所给选项是否正确即可.

【解答】解：的角平分线与中线BE相交于点0,

：.ZBAD=ZCADtAE=CE,

①在△A8E中，N/MQ=NCAO,••.A0是△48E的角平分线，故①正确：

②在△ADC中，AE=CE,・・・0E是△ADC的中线，故②正确；

故选：C.

【变式5-2]（2022春•静安区期中）下列判断错误的是（）

A.三角形的三条高的交点在三角形内

B.三角形的三条中线交于三角形内一点

C.直角三角形的三条高的交点在直角顶点

D.三角形的三条角平分线交于三角形内一点

【分析】根据三角形的角平分线，中线，高的定义一一判断即可.

【解答】解：A、锐角三角形的三条高的交点在三角形内，故本选项说法错误，符合题意；

B、三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意；

C、直角三角形的三条高的交点在直角顶点，故木选项说法正确，不符合题意；

D、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，故木选项说法正确，不符合题意.

故选：A.

【变式5-3]（2021秋•茶陵县期末）下列说法中，正确的个数是（）

①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内

部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点.

A.IB.2C.3D.4

【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；

三角形的三条角平分线都在三希形内部;

三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上.

【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确：

②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；

③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；

④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线

指的是线段，故错误.

所以正确的有1个.

故选：4.

【题型6三角形的中线与面积问题】

【例6】（2022春•广州期中）如绍，△A8C的面积是24,点。、E、F、G分别是BC、AD.BE、CE的中

点，则/G的面积是（）

【分析】根据中线的性质，可得：尸的面积=果44班的面积另'△A3。的面积=黑八48。的

乙aO

面积=3,AAEG的面积=3,做据三角形中位线的性质可得△ER7的面积的面积=3,进而

得到/G的面积.

【解答】解：•••点。是的中点，

・・・4。是△/WC的中线，

/.AABD的面积=Z\AOC的面积=1xXABC的面枳，

同理得：XAEF的面积=1xAABE的面积=1x^ABD的面积=jxAABC的面积=看x24=3,

Z4^oo

△A£G的面积=3,

XBCE的面积=1x/\ABC的面积=12,

又•・•尸G是△BCE的中位线,

・•・AEFG的面积=义丛BCE的面积=ix12=3,

:.XAEG的面积是3X3=9,

故选：A.

【变式6-1]（2022春•祁江区校级期中）如图，在△ABC中，D,E分别是8C,A。的中点，点尸在8E

上，J.EF=2BF,若ShBCF=Zc〃，,则S.MBC=（）

A.3B.6C.8D.12

【分析】根据EF=28F,S^BCF=2cm2,求得Swc=3S&8C7=6oR根据三角形中线把三角形分成两个

22

面积相等的三角形可得S/.BDE=S.\CDE=^S.\BEC=3（7?7,从而求出S,\AHI）=S1\ACD=2S^BDE=6（7??,再根

据SMBC=2S/ABD计算即可得解.

2

【解答】解：如图，•:EF=2BF,S„BCF=2cmf

:.S^BEC=3sABCF=3X2=6（v/r,

•・•/）是4。的中点，

12

S&BDE=S^CDE=2s△3ET=3c"?，

是A。的中点，

SA48，）=S“CO=2SZ\3DE=6C7，广，

••S^ABC=2s△AE）=12cur>

•♦•△ABC的面积为12cm2,

故选：D.

【变式6-2]（2021秋•潮安区期末）如图，4。是△/18C的中线，点石是AD的中点，连接BE、CE,若4

4BC的面积是8,则阴影部分的面积为（）

A.4B.2C.6D.8

【分析】根据A。是△ABC的中线，点E是A。的中点，得出三角形EQC的面积+三角形4EB的面积与

三角形ABC的面积的关系即可.

【解答】解：:人。是△/1BC的中线，

SMBD=S^ACD=±SaA8C，

丁点E是AO的中点，

S.\ABE=S/\BDE=2s△人80,

1

S^EDC=S^CAE=2^/^CD,

，SAA8E=1S/vABC,S&CDE=iSdABC,

SMBE+S^CDE=,S“BC+,S44BC=Ix8=4,

故选：A.

【变式6-3］（2022春•泰兴市校级月考）如图，在△ABC中，G是边8C上任意一点，/）、E、尸分别是AG、

BD、CE的中点，SA4BC=48,则SaOE尸的值为.

【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答.

【解答】解：连接CQ,如图所示：

•・•点。是AG的中点，

••S^ABD—2sZiABG，SPAC'D—2sAi4GC,

SMBL)+S^ACD=2s8c=24,

S^BCD=|sMfiC=24,

•・•点E是8。的中点，

1

.・SACDE=2s△BCD=12,

•・•点尸是CE的中点，

S&DEF=2s△，£)£?=6.

故答案为：6.

【题型7三角形的中线与周长问题】

【例7】（2021秋•乳山市校级月考）在△ABC中，N8VNC,AD为BC边的中线，△A3。的周长与△ADC

的周长相差3,AB=8,则AC=.

【分析】根据三角形的中线的定义可得BO=CO,然后求出AABO与△A/X7的周长差，然后代入数据计

算即可得解.

【解答】解：如图：

•「AD为8c边的中线,

:.BD=CD,

•••△A3。与△AQC的周长差为3,A4=8,ZB<ZC,

**•C^ABD-C^ADC=(48+AD+BQ)-(AC+AD+CZ))=AB-AC—8-AC=3,

解得AC=5.

故答案为：5.

【变式7-1](2021秋•涧西区校级期中)如图，在△ABC中，4D是8c边上的中线，△ADC的周长比4

ABD的周长多2,AB+AC=S,则AC的长为.

【分析】根据三角形的中线的定义得到8。=。。，根据三角形的周长公式得到AC・AB=2,根据题意列

出方程组，解方程组得到答案.

【解答】解：・・・47)是BC边上的中线，

：.BD=DC,

由题意得，(AC+CO+人。)-(.AB+BD+AD)=2,

整理得，AC-AB=2,

崎腰科

解得，„，

故答案为：5.

【变式7-2](2021春•芙蓉区校级月考)△ABC中，AC=2BC,8c边上的中线4。把△A8C的周长分成

40和60两部分，求BC的长.

【分析】先根据A。是BC边上的中线得出8O=CD,设BO=CQ=x,AB=y,AC=4x,再分△ACO

的周长是60与AABD的周长是60两种情况进行讨论即可.

【解答】解：:人。是边上的中线，AC=2BC,

:・BD=CD,

设4Q=CQ=x,AB=y,则AC=4x,

分为两种情况：①4C+CQ=60,48+80=40,

则4x+x=60,x+y=40,

解得：X=12,y=28,

却4c=2x=24,A3=28,AC=4x=48,

•；4C+A4=24+28=52>AC,

・•・此时符合三角形三边关系定理；

@AC+CD=40,AB+BQ=60,

则4x+x=40,x+v=60,

解得：x=8,y=52,

即AC=4x=32,A8=52,BC=2x=l6,

•・・AC+8C=32+16=48VA/3,

・•・此时不符合三角形三边关系定理：

综合上述：BC=24.

【变式7-3］（2022秋•重庆期末）如图，在二角形A8C中，AB=10cm,AC=6cm,。是。。的中点，£点

在边48上，三角形BOE与四边形ACQE的周长相等.

（1）求线段4E的长.

（2）若图中所有线段长度的和是53c加，求的值.

【分析】（1）设AE=w,根据三角形8DE与四边形ACOE的周长相等列方程，解方程即可;

（2）找出图中所有的线段，再根据所有线段长度的和是53刖，求出28C+OE,得到答案.

【解答】解：（1）•・•三角形6QE与四边形ACOE的周长相等，

；・BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE,

*/BD=DC,

：J3E=AE+AC,

设AE=xcm,则BE=（1（）-x）ent,

由题意得，10-x=x+6.

解得,x=2,

.\AE=2c/th

(2)图中共有8条线段,

它们的和为：AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC=2AB+AC+2BC+DE,

由题意得，2A8+AC+28C+OE=53,

：.2BC+DE=53-(2A8+AC)=53-(2X10+6)=27,

i27

；・BC+沙£二号(cm).

【题型8证明三角形中线段不等关系】

【例8】(2022春•鼓楼区期末)如图，。为△A3C内任意一点，求证：AB+AOPB+PC.

【分析】首先延长BP交AC于点。，再在△48。中可得PB^PD<AB+AD,在中，PCVPD+CD

然后把两个不等式相加整理后可得结论.

【解答】证明：延长BP交AC于点D,

在中，PB+PD<AB+AD®

在△PCO中，PCVPD+CD②

①+②得PR+PD+PC<AR+AD-¥PD+CD,

即PB+PC<AB+AC,

即：AB+AOPB+PC.

【变式8-1](2021春•嵩县期末)如图所示，。是△4BC的边AC上任意一点(不含端点),连结4Q,请

判断A8+8C+4C与28。的大小关系，并说明理由.

D

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【分析】根据三角形两边之和大于第三边即可求解.

【解答】解：AB+BC+AO2BD.理由如下：

在△人8。中，AB+AD>BD,

在△4CO中，BC+CD>BD,

：.AB+AD+BC+CD>2BD,

即AB+BC+AO2BD.

【变式8-2］（2022春•台江区校级期末）如图，在△ABC中，已知NBAC=70°,/ABC和/AC8的平分

线相交于点D.

（1）求/BDC的度数；

（2）试比较D4+DB+DC与三（AB+8C+4C）的大小，写出推理过程.

【分析】（1）先由三角形内角和定理求出/A8C+NACB=110°,再由角平分线的定义求出NCBD+N

BCO=55°,然后由三角形内用和定理即可得出答案；

（2）由三角形的三边关系得：QA+QB>A8,OB+OC>BC,O/UQC>AC,则2（DA+DB+DC）>AB+BC+AC,

却可得出结论.

【解答】解：（1）•・・/BAC=70°,

AZABC+ZACB=180°-70°=110°,

：NA8C和ZACB的平分线相交于点D,

・•・ZABD=ZCBD=|ZABC,ZACD=ZBCD=^ZACB,

：./CBD+/BCD=|（/ABC-/ACB）=1xll0°=55。.

AZBDC=1800-QCBD+NBCD)=180°-55°=125°；

(2)DA+DB+DC>^(AB+BC+AC),理由如下：

在△A8。中，由三角形的三边关系得：D4+Q8>AB①，

同理：DB+DOBC®,DA+DOAC®,

①+②+③得：2(DA+DB+DC)>AB+BC+AC,

：.DA+DB+DC>^(48+8C+4C).

【变式8-3](2021秋•饶平县校级期中)在锐角三角形ABC中，AB>AC,/1M为中线，P为△八MC内一

点，证明：PB>PC(如图).

【分析】在AAMB与△4MC中，AM是公共边，BM=M。，且4B>AC,根据在两边对应相等的两个三

角形中，第三边大的，所对的角也大，得出/AM8>NAMC.而/4M8+NAMC=180°,则NAMCV

90°.由于夕为锐角△AMC内一点，过点P作P"_LBC,垂足为“，则〃必定在线段AM的延长线上.

【解答】证明：在△4W8与△AMC中，AM是公共边，且48>AC,

/.ZAMB->ZAMC,

AZAA/C<90°.

过点。作尸H_L8C,垂足为H,则，必定在线段8M的延长线上.

如果H在线段MC内部，则BH>BM=MC>HC.

所以P8>PC.

BMH

专题11.2三角形内角和定理