河南省开封市清华中学2024～2025学年高三下学期高考热点模拟测试数学试题含答案

/2025届河南开封高三高考热点模拟测试卷数学分值：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.已知复数，则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下表为2018—2024年某企业两轮电动车的年产量y（单位：万辆），其中2018—2024年的年份代码x分别为1—7.年份代码x1234567年产量y/万辆31333844abc已知y与x具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则的值为()A.146.5 B.164.8 C.179.5 D.197.84.已知向量a，b满足，，且.若，则()A.2 B. C. D.5.已知为等比数列，且，，记为的前n项和，则()A.127 B.128 C.63 D.646.已知函数是偶函数，则实数()A.e B.1 C.2 D.47.已知抛物线的焦点为F，准线与x轴交于点M，直线l过点F且与C交于A，B两点，若直线AM的斜率为，则()A. B. C.4 D.58.“筝形”是指以一条对角线所在直线为对称轴的四边形.已知“筝形”ABCD以AC所在直线为对称轴，且，若点平面ABCD，且，，则四棱锥的体积为()A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列结论正确的是()A.若，且，则 B.若，且，则C.若，则 D.若，则10.某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立75周年”为主题的知识测试，随机抽取了200名学生的成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.根据图中数据，下列结论正确的是()A.这200名学生成绩的极差介于35至45之间B.这200名学生成绩的平均数小于中位数C.从200名学生中随机抽取一名，其成绩不低于70分的概率估计为0.7D.从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于70分的条件下，恰有一名学生成绩在内的概率估计为11.函数（，）的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是()A.的最小正周期B.C.在上单调递增D.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知第一象限内的点P，Q分别在双曲线的渐近线与双曲线的渐近线上，若O为坐标原点且，则两双曲线的离心率之积为___________.13.若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是___________.14.某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与8的误差不超过4即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为____________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.（1）求；（2）若，求的面积.16.（15分）已知函数，.（1）若函数在区间上单调递增，求a的取值范围；（2）若函数有两个不同的极值点，，证明：.17.（15分）如图，在三棱锥中，，是正三角形，E是PC的中点，F是AC的中点，且.（1）证明：平面PAC；（2）求二面角的正弦值.18.（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆W上，P到W的焦点的最大距离为，.（1）求椭圆W的标准方程；（2）若，判断点P与曲线的位置关系；（3）若椭圆W的右顶点为C，经过点的直线与W交于A，B两点，的面积为，求直线AB的方程.19.（17分）若数列A：，，…，（）中且对任意的，恒成立，则称数列A为“数列”.（1）若数列1，x，y，7为“数列”，写出所有可能的x，y；（2）若“数列”A：，，…，中，，，，求n的最大值；（3）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”A：，，…，，记，其中表示，，…，这s个数中最大的数，求M的最小值.数学（新高考Ⅰ卷）参考答案1.答案：A解析：易知集合，，所以.故选A.2.答案：D解析：，其在复平面内对应的点为，在第四象限.故选D.3.答案：B解析：由表中数据得，因为点在经验回归直线上，所以，所以，故选B.4.答案：A解析：由题意得，且.，，则，解得.故选A.5.答案：C解析：设的公比为q，由，得，又，故.又，所以，从而，所以，，故选C.6.答案：C解析：法一：因为为偶函数，所以，所以，，，，，，，所以，故选C.法二：，令，因为为偶函数，所以为偶函数，所以，故选C.7.答案：D解析：如图，过点A作AE垂直于准线，垂足为E，设.由直线AM的斜率为得，，则.易知，即，化简得，解得.易得直线l的斜率存在且不为0，设为k，则其方程为，由，得，设，，则，，故.当时，，此时.当时，，此时.综上，.故选D.8.答案：C解析：在四棱锥中，连接AC，BD交于点E，过S作平面ABCD于点O，由及直线AC为四边形ABCD的对称轴知点O在直线AC上，连接BO，DO，如图所示.易得，.设，则.在中，.在中，.易得，所以.又，所以，所以，，，，所以.易知平面SAC，所以四棱锥的体积.故选C.9.答案：ACD解析：选项A：由可得，由可得，故，故A正确.选项B：当，时，满足，且，但，，不等式不成立，故B错误.选项C：因为，所以，故，故C正确.选项D：由可得，且，故，即，故D正确.故选ACD.10.答案：BCD解析：选项A：因为，，所以这200名学生成绩的极差介于30至50之间，A错误.选项B：这200名学生成绩的平均数，成绩的中位数为80分，所以这200名学生成绩的平均数小于中位数，B正确.选项C：因为这200名学生中成绩不低于70分的学生所占比例为，（另解：这200名学生中成绩不低于70分的学生所占比例为）所以从200名学生中随机抽取一名，其成绩不低于70分的概率估计为0.7，C正确.选项D：记“从该校学生中随机抽取两名，这两名学生成绩都不低于70分”为事件A，“这两名学生中恰有一名学生成绩在内”为事件B，由选项C可知，，，所以，D正确.故选BCD.11.答案：ABC解析：因为轴，所以图象的一条对称轴为直线，所以，所以，故A正确.易得，则，所以.因为的图象过点，所以，所以，，所以，，因为，所以，故B正确.易得，由，得，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，易知为奇函数，故D错误.故选ABC.12.答案：解析：双曲线的渐近线与双曲线的渐近线关于直线对称，由及，得，所以两双曲线的离心率之积为.13.答案：解析：，则，函数在上存在单调递减区间，只需在区间上有解，即在区间上有解，所以在区间上有解，所以，.令，，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以，所以m的取值范围是.14.答案：4解析：因为X服从正态分布，，所以，所以，所以，所以，即每个零件合格的概率为.因为合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1，且合格零件件数为0或1的概率为，所以，即.令，所以，即，所以在上单调递减，而，，所以不等式的解集为，所以n的最小值为4.15.答案：（1）（2）或12解析：（1）由及正弦定理可得，又，，，………………2分又，，，……………………4分.…………………6分（2）由余弦定理，可得，解得或.………8分当时，的面积为；……10分当时，的面积为.综上可知，的面积为或12.…………13分16.答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）易得，………1分由于在上单调递增，且，所以在上恒成立，即在上恒成立.………………3分因为在上单调递增，所以时，，所以，即a的取值范围为.…………6分（2）由（1）可知，令，可得，由函数有两个不同的极值点，，可得有两个实数根，，则，解得.……………………9分易得，，则，易得，………13分因为，所以，又，所以.……………15分17.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：在正三棱锥中，取BC的中点M，连接PM，AM.是正三角形，，，.又，，平面PAM，平面PAM.平面，.是PC的中点，F是AC的中点，.………………2分，.又，，平面PBC，平面PBC.又平面，.…………………4分同理，在正三棱锥中，有.…………………6分又，，平面PAC，平面PAC.…………………7分（2）由（1）知平面，平面PAC，，则，.…………8分以P为坐标原点，PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系.不妨设，则，，，，，，，.………………9分设平面ABF的法向量为，则即令，则，，.………11分设平面BFE的法向量为，则即令，则，，.……………………13分设二面角的平面角的大小为，则.又，.故二面角的正弦值为.…………15分18.答案：（1）（2）点P在曲线上（3）或解析：（1）因为P到W的焦点的最大距离为，所以，又，所以，………2分即，所以，解得，所以，所以，所以椭圆W的标准方程为.……………4分（2）由（1）知椭圆W的方程为，所以，.因为，设，所以，…………………6分所以解得因为，所以点P在曲线上.………………8分（3）当直线AB斜率不存在时，，则，不符合题意；……………10分当直线AB斜率存在时，设直线AB的斜率为，因为直线AB经过点，所以直线AB的方程为，联立消去y得，………………12分设，，由韦达定理得，，所以.……………14分因为C为椭圆的右顶点，所以，由点到直线的距离公式得点C到直线的距离为，所以的面积为.因为的面积为，所以，……………16分整理得，所以，或（舍去），所以，所以直线AB的方程为或.…………………17分19.答案：（1）或或（2）65（3）解析：（1）依题意，因为数列1，x，y，7为“数列”，所以其中，…………………1分故所有可能的x，y为或或………………2分（2）一方面，注意到：，对任意的，令，则且，………………3分因为，，所以比至少大1，故对任意的恒成立①，…………………4分当，，时，