2025年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷

第1页（共1页）2025年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．）1．（3分）下列实数中，是无理数的是（）A．π B． C． D．|﹣2|2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）根据某网站统计数据，截止至2025年1月，DeepSeek的总访问量达到了278000000次（）A．2.7×108 B．2.78×108 C．0.278×109 D．2.78×1074．（3分）下列运算正确的是（）A．x2+x3＝x6 B．x2•x3＝x6 C．（3x）3÷3x＝9x2 D．（﹣xy2）2＝﹣x2y45．（3分）下列所给的事件中，是随机事件的是（）A．抛掷硬币时，正面朝上 B．任意画一个三角形，其内角和为180° C．若a，b互为相反数，则a+b＝0 D．水中捞月6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，连接OB、OC，若∠A＝66°，则∠CBD的度数为（）A．12° B．20° C．24° D．32°7．（3分）将一台带有保护套的平板电脑按图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示．经测量AB＝10cm，BC＝12cm，使△ABC是一个等腰三角形，则△ABC的周长为（）A．32cm B．34cm C．32cm或34cm D．36cm8．（3分）如果点P（1﹣x，x﹣3）在平面直角坐标系的第三象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（）A． B． C． D．9．（3分）我国古代数学问题：现有甲、乙两钱袋，甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多6枚，从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋原有黄金y枚，则可列方程组为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，直线l与x轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点A和点B，则△APB的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是．12．（3分）小明同学将自己前7次数学模拟测试成绩（单位：分）统计如下：次数第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次成绩979810098999998第8次测试成绩为a分，若这8次成绩的众数不止一个，则a的值为．13．（3分）已知扇形半径长为，扇形的弧所对的圆心角度数为120°，则该扇形的面积为．14．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是．15．（3分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，可以通过闸机的物体的最大宽度为cm．16．（3分）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，如图排成两行，排列规则如下：①从左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母e的卡片写有数字．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣y）（x+y）﹣（x+y）2+2y（y﹣x），其中x＝1，y＝3．19．（6分）如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不与点A，D重合），连接CE．用尺规作AF∥CE作法①：以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，则AF∥CE．作法②：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，则AF∥CE．以上两种作法中，一定正确的是作法（填序号），并利用图2写出证明过程．20．（8分）某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，请根据图中的信息解答下列问题：（1）九年级接受调查的同学共有多少名，并补全条形统计图；（2）九年级共有600名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名；（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生，心理老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学都是女生的概率．21．（8分）如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，且D、E、C三点在一条直线上，AB与CD交于点O．（1）求证：△ADB≌△AEC；（2）若，DE＝2CE，求BC的长．22．（9分）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元（1）求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？（2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．据市场销售分析，B种机器售价为购买价的倍时，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大23．（9分）【知识技能】（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，求证：ED∥BC．【场景迁移】（2）如图2，四边形BCGE为平行四边形，BD平分∠ABC交EG于D，CD交于A，若，求的值．24．（10分）已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，恒有点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“双语交互函数”．例如：y＝x﹣1互为“双语交互函数”．（1）判断：①y＝﹣x和y＝x；②y＝﹣x+6和y＝3x﹣6；③y＝3x2+4x+5和y＝﹣3x2﹣2x﹣5，其中互为“双语交互函数”的是（填序号）．（2）已知y＝﹣tx2+（t+1）x+6t﹣1的“双语交互函数”的图象经过两个定点A，B（点A在点B的左侧），试在x轴上求一点P，并求出此时点P的坐标；（3）若M（1，m），N（t，m），P（5，n）三个不同的点都在二次函数y＝﹣ax2+（2﹣b）x﹣c（a，b，c为常数，且a＞0）的“双语交互函数”的图象上，②对任意满足条件的t，h﹣﹣，求h的取值范围．25．（10分）如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，连接DG交AB于点F．（1）若∠BCD＝30°，求∠DGC的度数；（2）若点G为的中点，且，CD＝4；（3）若点G在线段DO的延长线上，连接AC与DG交于点H，连接AD，，求y与x之间的函数关系式．

2025年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ACBCACCDBC一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．）1．（3分）下列实数中，是无理数的是（）A．π B． C． D．|﹣2|【解答】解：A、是无理数；B、不是无理数；C、不是无理数；D、不是无理数；故选：A．2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；C选项中的图形能找到一条直线（竖直穿过身体中心的直线），剪纸图案沿这条直线折叠，所以是轴对称图形；故选：C．3．（3分）根据某网站统计数据，截止至2025年1月，DeepSeek的总访问量达到了278000000次（）A．2.7×108 B．2.78×108 C．0.278×109 D．2.78×107【解答】解：278000000＝2.78×108．故选：B．4．（3分）下列运算正确的是（）A．x2+x3＝x6 B．x2•x3＝x6 C．（3x）3÷3x＝9x2 D．（﹣xy2）2＝﹣x2y4【解答】解：∵x2与x3不是同类项不能合并，∴选项A不符合题意；∵x7•x3＝x5，∴选项B不符合题意；∵（3x）3÷3x＝5x2，∴选项C符合题意；∵（﹣xy2）4＝x2y4，∴选项D不符合题意．故选：C．5．（3分）下列所给的事件中，是随机事件的是（）A．抛掷硬币时，正面朝上 B．任意画一个三角形，其内角和为180° C．若a，b互为相反数，则a+b＝0 D．水中捞月【解答】解：A、抛掷硬币时，符合题意；B、任意画一个三角形，不符合题意；C、若a，则a+b＝0是必然事件；D、水中捞月是不可能事件，故选：A．6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，连接OB、OC，若∠A＝66°，则∠CBD的度数为（）A．12° B．20° C．24° D．32°【解答】解：∵∠BOC＝2∠A，∠A＝66°，∴∠BOC＝132°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝×（180°﹣132°）＝24°，∵BD∥OC，∴∠CBD＝∠OCB＝24°，故选：C．7．（3分）将一台带有保护套的平板电脑按图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示．经测量AB＝10cm，BC＝12cm，使△ABC是一个等腰三角形，则△ABC的周长为（）A．32cm B．34cm C．32cm或34cm D．36cm【解答】解：AB＝10cm，BC＝12cm，使△ABC是一个等腰三角形当AC＝10cm时，△ABC的周长为：10+10+12＝32（cm）．当AC＝12cm时，△ABC的周长为：10+12+12＝34（cm），∴△ABC的周长为32cm或34cm，故选：C．8．（3分）如果点P（1﹣x，x﹣3）在平面直角坐标系的第三象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（）A． B． C． D．【解答】解：∵P（1﹣x，x﹣3）在平面直角坐标系的第三象限内，∴，解得：1＜x＜3，在数轴上表示为：故选：D．9．（3分）我国古代数学问题：现有甲、乙两钱袋，甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多6枚，从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋原有黄金y枚，则可列方程组为（）A． B． C． D．【解答】解：根据“从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的三倍”可列方程：3（x﹣4）＝y+8，可得方程组：．故选：B．10．（3分）如图，直线l与x轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点A和点B，则△APB的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．3【解答】解：如图所示，连接AO，∵AB∥x轴，∴S△APB＝1+3＝5，故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是x≠﹣1．【解答】解：∵函数，∴x+6≠0，则x≠﹣1，故答案为：x≠﹣4．12．（3分）小明同学将自己前7次数学模拟测试成绩（单位：分）统计如下：次数第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次成绩979810098999998第8次测试成绩为a分，若这8次成绩的众数不止一个，则a的值为99．【解答】解：∵前7次体育模拟测试成绩97和100出现了1次，98出现了2次，这8次成绩的众数不止一个，∴第8次测试的成绩为99分，∴a＝99．故答案为：99．13．（3分）已知扇形半径长为，扇形的弧所对的圆心角度数为120°，则该扇形的面积为4π．【解答】解：∵r＝，n＝120°，∴扇形的面积公式S＝＝5π．故答案为：4π．14．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是1．【解答】解：∵x2﹣4x+4＝0，∴x2﹣5x＝﹣3，∴x2﹣8x+4＝﹣3+8，∴（x﹣2）2＝5，∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）8＝k，∴k＝1，故答案为：1．15．（3分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，可以通过闸机的物体的最大宽度为64cm．【解答】解：如图，连接AB，过点A作AE⊥CD于E．∵AB∥EF，AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵∠AEF＝90°，∴四边形AEFB是矩形，∴EF＝AB＝10（cm），∵AE∥PC，∴∠PCA＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），同法可得DF＝27（cm），∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），故答案为64．16．（3分）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，如图排成两行，排列规则如下：①从左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母e的卡片写有数字4．【解答】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，∴白卡片数字3摆在了标注字母B的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白8，b只能是黑1，而A为黑1，∴第一行中C为白7；第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，E只能是黑8，此时黑2在白2右边，∴第二行中c为白3，∴第二行中a为黑2，b为黑3；第一行中F与第二行中e肯定有一张为白3，若第一行中F为白4，E只能是黑3，与b为黑7矛盾，∴第二行中e为白4．故答案为：4．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：．【解答】解：原式＝4+2×﹣（＝4+﹣+5﹣2＝3．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣y）（x+y）﹣（x+y）2+2y（y﹣x），其中x＝1，y＝3．【解答】解：（x﹣y）（x+y）﹣（x+y）2+2y（y﹣x）＝x3﹣y2﹣（x2+3xy+y2）+（2y3﹣2xy）＝x2﹣y4﹣x2﹣2xy﹣y5+2y2﹣7xy＝﹣4xy，当x＝1，y＝5时．19．（6分）如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不与点A，D重合），连接CE．用尺规作AF∥CE作法①：以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，则AF∥CE．作法②：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，则AF∥CE．以上两种作法中，一定正确的是作法①（填序号），并利用图2写出证明过程．【解答】解：作法①正确，方法二点F有两个位置如图2；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．故答案为：①．20．（8分）某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，请根据图中的信息解答下列问题：（1）九年级接受调查的同学共有多少名，并补全条形统计图；（2）九年级共有600名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名；（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生，心理老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学都是女生的概率．【解答】解：（1）九年级接受调查的同学总数为10÷20%＝50（名），则“听音乐”的人数为50﹣（10+5+15+8）＝12（名），补全图形如下：（2）估计该校九年级听音乐减压的学生约有600×＝144（名）；（3）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，选出同学是都是女生的有6种情况，∴选取的两名同学都是女生的概率为＝．21．（8分）如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，且D、E、C三点在一条直线上，AB与CD交于点O．（1）求证：△ADB≌△AEC；（2）若，DE＝2CE，求BC的长．【解答】（1）证明：由题意可得：∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，在△ADB和△AEC中．，∴△ADB≌△AEC（SAS）．（2）解：设AB交CD于O．∵，∠DAE＝90°，∴，∵DE＝2EC，∴EC＝1，DC＝DE+EC＝5，∵△ADB≌△AEC，∴BD＝EC＝1，∠ABD＝∠ACE，∵∠DOB＝∠AOC，∴∠BDO＝∠OAC＝90°，∴．22．（9分）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元（1）求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？（2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．据市场销售分析，B种机器售价为购买价的倍时，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大【解答】解：（1）设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需（x+5）万元，由题意得：＝×2，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，∴x+5＝65，答：购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元；（2）设购进A种机器人m个，则购进B种机器人（100﹣m）个，由题意得：，解得：60≤m≤75，设利润为w元，由题意得：w＝60×15%m+65×（﹣1）（100﹣m）＝﹣5m+1300，∵﹣4＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝60时，w有最大值＝﹣3×60+1300＝1060，此时，100﹣m＝40，答：最大利润为1060元，对应的购进方案为购进A种机器人60个．23．（9分）【知识技能】（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，求证：ED∥BC．【场景迁移】（2）如图2，四边形BCGE为平行四边形，BD平分∠ABC交EG于D，CD交于A，若，求的值．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵ED＝EB，∴∠ABD＝∠EDB，∴∠EDB＝∠CBD，∴ED∥BC；（2）解：∵四边形BCGE为平行四边形，∴BE∥CG，EG∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE．∵BE∥CG，∴△AED∽△CGD，∴，设ED＝a，则DG＝4a，∵，∴．∵EG∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，∴AE＝AB＝，∴AE＝a．∴．24．（10分）已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，恒有点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“双语交互函数”．例如：y＝x﹣1互为“双语交互函数”．（1）判断：①y＝﹣x和y＝x；②y＝﹣x+6和y＝3x﹣6；③y＝3x2+4x+5和y＝﹣3x2﹣2x﹣5，其中互为“双语交互函数”的是②③（填序号）．（2）已知y＝﹣tx2+（t+1）x+6t﹣1的“双语交互函数”的图象经过两个定点A，B（点A在点B的左侧），试在x轴上求一点P，并求出此时点P的坐标；（3）若M（1，m），N（t，m），P（5，n）三个不同的点都在二次函数y＝﹣ax2+（2﹣b）x﹣c（a，b，c为常数，且a＞0）的“双语交互函数”的图象上，②对任意满足条件的t，h﹣﹣，求h的取值范围．【解答】解：（1）①由y＝﹣x和y＝x，则y1+y2＝﹣x+x＝3≠2x，不符合“双语交互函数”；②由y＝﹣x+6和y＝4x﹣6，则y1+y8＝﹣x+6+3x﹣8＝2x，符合“双语交互函数”；③由y＝3x8+4x+5和y＝﹣4x2﹣2x﹣8，则，符合“双语交互函数”；故答案为：②③；（2）∵5x﹣[﹣tx2+（t+1）x+5t﹣1]＝tx2﹣tx+x﹣6t+1＝tx2+（4﹣t）x﹣6t+1，∴该函数