2024-2025学年福建省泉州市晋江市毓英中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省泉州市晋江市毓英中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(z+2)i=1−2i，则|z|=(

)A.5 B.23 C.2.已知向量a，b满足|a|=1，b=(1,2)，|a−b|=A.(110,15) B.(3.已知cos(α+β)=12，tanαtanβ=−15A.−13 B.13 C.−4.如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB=50米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和30°，∠ADB=30°，则灵运塔的高度CD是(

)A.45米 B.50米 C.55米 D.60米5.在△ABC中，若非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|ACA.三边均不相等的三角形 B.等腰直角三角形

C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2acos(C−π3)，则sin2AA.23 B.2 C.7.在△ABC中，点P是AB上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又CM=tCP，则t=(

)A.12

B.23

C.34

8.已知函数f(x)=12sin(2x+π6)，记方程f(x)=16在x∈[π6,19π8A.29π3 B.32π3 C.34π3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(

)A.若sinA>sinB，则A>B

B.若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形

C.若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形

D.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列结论中正确的是(

)A.ω=2

B.函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称

C.函数f(x)在[−5π12,π12]上单调递增11.如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=2，DE=λDC(0<λ<1)，则下列结论正确的是(

)A.当λ=12时，AD=12AE+12BE

B.当λ=12时，cos<三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若a=(λ,4)，b=(3,5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是______．13.复数z满足|z|=1，则|z−2−i|的最大值为______．14.在三角形ABC中，已知AB=1，BC=2，∠ABC=π3，D为三角形ABC外接圆上一点(A,B,C,D按逆时针方向排列)，则四边形ABCD面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设复数z1=1−ai(a∈R)，z2=2+i．

(1)在复平面内，复数z1+z2对应的点在实轴上，求z116.(本小题15分)

在△ABC中，a=ccosB+12b，若c=4．

(1)求△ABC面积的最大值；

(2)求17.(本小题15分)

已知向量m=(3cosx+sinx,1),n=(sinx,12)，函数f(x)=n⋅m．

(1)求f(x)的最小正周期T；

(2)求函数f(x)18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且ca=sinA+2sinBcosA2sinA．

(1)求角B的大小；

(2)若b=23，D为AC边上的一点，BD=3，且_____，求△ABC的面积．

(从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)．

①BD是∠B的平分线；

②D为线段AC的中点．

(3)若△ABC为锐角三角形，19.(本小题17分)

设平面内两个非零向量m,n的夹角为θ，定义一种运算“⊗”：m⊗n=|m||n|sinθ，试求解下列问题．

(1)已知向量a,b满足a=(1,2),|b|=2,a⋅b=4，求a⊗b的值；

(2)在平面直角坐标系中，已知点A(0,−1)参考答案1.D

2.C

3.B

4.B

5.B

6.D

7.C

8.C

9.AD

10.ABC

11.AD

12.(−2013.514.315.解：(1)复数z1=1−ai(a∈R)，z2=2+i，

则z1+z2=3+(1−a)i，

复数z1+z2对应的点在实轴上，

则1−a=0，解得a=1，

故z1z2=(1−i)(2+i)=3−i；

(2)z1z2=1−ai2+i=(1−ai)(2−i)(2+i)(2−i)=2−a5−2a+15i为纯虚数，

则2−a5=0−2a+15≠0，解得a=2．

16.解：(1)因为a=ccosB+12b，利用正弦定理，可得：

sinA=sinC⋅cosB+12sinB⇒sin(B+C)=sinC⋅cosB+12sinB，

所以sinBcosC+cosBsinC=cosBsinC+12sinB⇒sinBcosC=12sinB，

因为B为△ABC的内角，所以sinB≠0，所以cosC=12，

又C∈(0,π)，所以17.解：(1)依题意，m=(3cosx+sinx,1),n=(sinx,12)，

则f(x)=n⋅m=sinx(3cosx+sinx)+12=3sinxcosx+sin2x+12

=32sin2x−12cos2x+1=sin(2x−π6)+1，

故最小正周期T=2π2=π；

18.解：(1)因为在△ABC中，ca=sinA+2sinBcosA2sinA，

所以由正弦定理可得：sinCsinA=sinA+2sinBcosA2sinA，

因为A∈(0,π)，所以sinA>0，所以2sinC=sinA+2sinBcosA，

所以2sin(A+B)=sinA+2sinBcosA，

所以2sinAcosB+2cosAsinB=sinA+2sinBcosA，

所以2sinAcosB=sinA，所以sinA(2cosB−1)=0(sinA>0)，

所以cosB=12，又因为B∈(0,π)，所以B=π3；

(2)选①：由BD平分∠ABC得：S△ABC=S△ABD+S△BCD，

所以12acsinπ3=12×3asinπ6+12×3csinπ6，即ac=3(a+c)，

在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosπ3，即a2+c2−ac=12，

联立ac=3(a+c)a2+c2−ac=12，得(ac)2−9ac=36，解得ac=12，

所以S△ABC=12acsinB=12×12×32=33；

选②：因为D为线段AC的中点，所以BD=12(BA+BC)，

所以19.解：设平面内两个非零向量m, n的夹角为θ，定义一种运算“⊗”：m⊗n=|m| |n|sinθ，

(1)已知向量a, b满足a=(1, 2), |b|=2, a⋅b=4，

由已知a=(1, 2)，得|a|=5，

设a, b的夹角为θ，根据平面向量数量积公