巩固培优讲义第二单元分数乘法解决问题（知识精讲+典题精练）-2023-2024学年六年级上册数学尖子生培优（苏教版）

第二单元分数乘法解决问题板块一：知识精讲1．部分占总数的几分之几【知识点归纳】1、求一个部分占总数的几分之几用除法，部分÷总数＝部分占总数的几分之几。【方法总结】已知一个部分量占总量的几分之几，求另一个部分量的解题方法：1、单位“1”的量﹣单位“1”的量×一个量占单位“1”的几分之几＝另一个量2、单位“1”的量×（1﹣一个量占单位“1”的几分之几）＝另一个量3、通过对关键句的分析，熟悉不同类型解决问题的题目特征。可借用线段图的方式直观呈现不同之处，加深对题目的理解。2．分数大小的比较【知识点归纳】分数比较大小的方法：（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．3．分数乘整数【知识点归纳】分子乘整数，可以求出一共有多少个这样的分数单位，而分数单位的个数其实就是分子乘整数的积，因此整数乘分子作分子。求几个分数单位的和，分数单位不变，也就是分母不变。【方法总结】1、分数乘整数的意义。分数乘整数，也是表示几个相同加数相加，与整数乘法的意义相同。2、分数乘整数的计算方法。分数乘整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变。其实就是计算分数单位的个数。4．分数乘分数【知识点归纳】分数乘法的计算法则1、整数和分数相乘：整数和分子相乘的积作分子，分母不变。2、分数和分数相乘：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。3、注意：能约分的先约分，然后再乘，得数必须是最简分数。当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。【方法总结】分数大小的比较：1、一个数（0除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。一个数（0除外）乘以一个带分数，所得的积大于它本身。2、如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等，那么与大分数相乘的因数反而小，与小分数相乘的因数反而大。5．分数乘法【知识点归纳】分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算．乘积是1的两个数叫做互为倒数．分数乘法法则：（1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便．（2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分．（3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数．分数乘法的运算定律：（1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变．（2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变．（3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和．板块二：典例好题1．冬思羽绒服厂计划九月份生产2700件羽绒服，结果上半月完成了计划的，下半月完成的跟上半月的同样多。这个厂九月份超额生产了多少件羽绒服？2．六年级去年有125人参加科技小组活动，今年参加的人数比去年增加，今年增加了多少人？（先画图再计算）3．涟水到上海路程是440千米，一辆汽车行1千米要耗汽油升，这辆汽车将油箱（50升）加满汽油后，从涟水到上海，中途是否要加油？试计算说明．4．小东和小芹去秋游，小东带了27元，小芹带的钱比小东少。小东的钱比小芹多多少元？5．学校器乐小组有48人，舞蹈小组的人数是器乐小组的，合唱小组的人数是舞蹈小组的。学校合唱小组有多少人？6．王叔叔按1.2元/千克购进苹果500千克,按2.5元/千克的零售价卖出后,发现苹果不够新鲜,降价处理,按1.8元/千克销售剩余的苹果．王叔叔这次共赚多少元?7．“复兴号”和“和谐号”两列高铁同时从相距800千米的甲乙两地相对开出。两小时后“复兴号”行了全程的，“和谐号”行了全程的，这时两车相多少千米？8．人体中的血液约占体重的，爸爸体重91千克，体内有血液多少千克？9．一个街心花园占地公顷，其中草坪占地公顷，其余的是花圃。花圃的面积是多少公顷？10．取得好成绩的女运动员有多少人?11．一本故事书有120页，小明第一天读了全书的，第二天读了第一天的，第二天读了多少页？12．一台收割机每小时收小麦公顷,8台这样的收割机小时可收割多少公顷小麦?13．甲、乙、丙三位同学合租一辆车去办事，车费由三人合理分摊。甲在行到3千米的地方下车，乙在行到6千米的地方下车，丙在行到9千米的地方才下车，并付了36元的车费，请问他们三人各应承担多少车费比较合理？14．东港小学买了24个排球．⑴买的足球比排球多，买的足球比排球多多少个？⑵买的足球是排球的，买了多少个足球？15．甲乙两个仓库，甲仓库存粮30吨，如果从甲仓库中取出放入乙仓库，则两仓库存粮数相等。两仓库一共存粮多少吨？16．请你认真观察下面例题，学习例题中介绍的大小比较方法。例：比较20个连乘的积与0.001的大小。因为：2个的积是，20个的积＝10个的积＜10个的积，，所以：20个连乘的积小于0.001。利用你学到的方法，比较20个连乘的积与的大小。（简要写出比较过程）17．平平看一本300页小说，第一周看了，第二周看了，第一周和第二周平平共看了多少页？18．按要求完成下列问题。（1）根据“排球的个数是篮球的”，画出表示排球个数的线段图。（2）把数量关系式补充完整：_______的个数______________的个数。（3）如果篮球有12个，排球有_______个。19．一个长方体货柜，宽是长的，高是宽的。现在知道这个货柜的长是48分米，这个货柜的高是多少分米？20．一批玩具，甲组单独加工需要8天完成，乙组单独加工需要12天完成，甲乙两组合作，多少天能完成这批玩具的？21．《三国演义》是中国文学史上第一部章回小说，是历史演义小说的开山之作。小明买了一本300页的《三国演义》，第一周看的页数是整本书的，又是第二周看的，他第二周看了多少页？22．某修路队修一条公路，第一周修了全长的，第二周修了960米，这时，还剩下2080米没修。这条公路全长多少米？23．有两根同样长2米的绳子，第一根用去米，第二根用去它的，用你喜欢的方式说明哪一根用去的多。24．甲、乙两地之间的距离是90千米。如果一辆汽车从甲地开往乙地，行驶时后还剩全长的没有走完，那么，这辆汽车的速度是每小时多少千米？参考答案：1．300件【分析】把计划产量2700件看作单位“1”，上半月完成，下半月完成的跟上半月的同样多，那么超额生产的件数占计划的（×2－1），根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。【详解】2700×（×2－1）＝2700×＝300（件）答：这个厂九月份超额生产了300件羽绒服。【点睛】此题属于稍复杂的分数乘法应用题，关键是确定单位“1”，根据基本数量关系解答即可。2．作图见详解；25人【分析】将去年参加人数看作单位“1”，画一条线段表示去年参加人数，今年参加的人数比去年增加，去年参加人数是5份，今年增加了1份，据此作图，去年参加人数×今年增加的对应分率＝今年增加的人数，据此列式解答。【详解】125×＝25（人）答：今年增加了25人。【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数乘法的意义。3．不需要【详解】440×==36（升）36＜50答：中途不需要加油．4．3元【分析】把小东带的钱数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用27×即可求出小东的钱比小芹多多少元。【详解】27×＝3（元）答：小东的钱比小芹多3元。【点睛】本题主要考查了分数乘法的应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。5．30人【分析】器乐小组人数×舞蹈小组占器乐小组人数的几分之几×合唱小组的人数占舞蹈小组人数的几分之几＝合唱小组人数。【详解】48××＝40×＝30（人）答：学校合唱小组有30人。【点睛】明确求一个数的几分之几是多少用乘法，先求出中间量舞蹈小组人数是解题关键。6．510元【详解】500××2.5=750(元)500××1.8=360(元)360+750-500×1.2=510(元)7．400千米【分析】甲乙两地相距800千米，“复兴号”行了全程的，行了800×＝700千米；“和谐号”行了全程的，行了800×＝500千米。这时两车已经相遇过并且背向而行，所以此时两车相距800×＋800×－800千米；据此解答。【详解】800×（＋－1）＝800×＝400（千米）答：这时两车相400千米。【点睛】解答本题的关键是理解：“复兴号”行了全程的，“和谐号”行了全程的时，两车已经相遇过并且背向而行。8．7千克【分析】本题是把体重看作单位“1”，爸爸体内有血液多少千克也就是求91的是多少，列式为：91×＝7千克【详解】由分析可知：91×＝7（千克）答：体内有血液7千克。9．公顷【分析】先计算去掉草坪之后剩下部分的面积，再利用分数乘法即可求得花圃的面积。【详解】（－）×＝×＝（公顷）答：花圃的面积是公顷。【点睛】已知一个数，求这个数的几分之几是多少用分数乘法计算。10．64××=16(人)【详解】略11．15页【分析】根据题意，用故事书的总页数×，求出第一天读的页数，再乘，就是第二天读的页数，据此解答。【详解】120××＝20×＝15（页）答：第二天读了15页。【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少。12．×8×=(公顷)【详解】略13．甲6元，乙12元，丙18元【分析】先根据题意，把全程看成单位“1”，先求出甲、乙、丙三个人的路程比：3千米∶6千米∶9千米＝1∶2∶3，因为按路程远近付款，路程比即付款的比，然后运用按比例分配知识进行依次解答即可。【详解】甲、乙、丙的路程的比为：3千米∶6千米∶9千米＝1∶2∶3，总份数就是1＋2＋3＝6（份）甲应付的车费：36×＝6（元）乙应付的车费：36×＝12（元）丙应付的车费：36×＝18（元）答：甲、乙、丙三人各应承担6元，12元、18元车费比较合理。【点睛】此题先把车费分摊的比例写出来即是甲、乙、丙三个人的路程比，然后按照比例分配的方法解决。14．（1）6个；（2）30个【详解】（1）24×=6（个）（2）24×=30（个）15．54吨【分析】从甲仓库中取出放入乙仓库后，甲仓库还剩下原来的1－＝，此时则两仓库存粮数相等，即此时乙仓库中存粮是甲原来的，则乙原来存粮是甲的－＝，则乙仓库原来存粮30×吨，再加上甲仓库30吨即可解答。【详解】30×（1－－）＝30×＝24（吨）24＋30＝54（吨）答：两仓库一共存粮54吨。【点睛】此题考查的是分数乘法的应用，首先根据分数减法的意义求出乙仓库存粮占甲仓库存粮的分率是完成本题的关键。16．20个连乘的积大于；过程见解析。【分析】根据例题中的大小比较的方法，先求出2个的积是：；把它与进行比较：，所以20个的积＝10个的积＞10个的积，10个的积是，由此只要比较与的大小即可。。【详解】×＝2个的积是，；所以20个的积＝10个的积＞10个的积；10个的积是，即20个连乘的积；又因为＞；所以20个连乘的积大于。17．170页【分析】由于第一周看了，第二周看了，这两个单位“1”都是这本小说，单位“1”已知，用乘法，求出两周看的页数再相加即可。【详解】300×＋300×＝120＋50＝170（页）答：第一周和第二周平平共看了170页。【点睛】本题主要考查求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几即可。18．（1）见详解（2）篮球；×；排球（3）9【分析】（1）根据“排球的个数是篮球的”，把表示篮球个数的线段平均分成4份，取其中的3份，画出表示排球个数的线段图即可；（2）根据“排球的个数是篮球的”，可得：篮球的个数×＝排球的个数；（3）篮球有12个，根据分数乘法的意义，用篮球的个数乘，求出排球有多少个。【详解】（1）画图如下：（2）篮球的个数×＝排球的个数（3）12×＝9（个）【点睛】此题主要考查了分数的意义和分数乘法意义的应用。19．40分米【分析】通过题目可知，宽是长的，这里单位“1”是长，单位“1”已知，用乘法，即48×＝32分米，因为高是宽的，这里单位“1”是宽，单位“1”已知，用乘法，即32×求出高即可。【详解】48××＝32×＝40（分米）答：这个货柜的高是40分米。【点睛】本题主要考查分数乘法的应用，找准单位“1”，求一个数的几分之几，用这个数×几分之几即可20．4天【分析】将这批玩具看成单位“1”，则甲组每天完成这批玩具的1÷8＝，乙组每天完成这批玩具的1÷12＝；由此得出效率和为（＋），最后根据工作总量÷工作效率＝工作时间，代入数据求出多少天能完成这批玩具的；据此解答。【详解】÷（1÷8＋1÷12）＝÷（＋）＝÷＝×＝4（天）答：4天能完成这批玩具的。【点睛】本题考查简单的工程问题，求出两组的效率和是解题的关键。21．144页【分析】将总页数看作单位“1”，总页数×第