浙江省诸暨市2025年5月高三适应性考试-数学+答案

诸暨市2025年5月高三适应性考试试题注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全1.已知集合A={i²,i⁴}(i为虚数单位),B={-1,0,1},则A∩B=(▲)A.{-1}B.{1}C.{-1,0}D.{-1,1}2.(x-2y)⁷的展开式中第三项的系数是(▲)A.√3B.3表面积之比为μ,则(▲)A.λ=μB.λ<μA.0B.-2P的轨迹长度是(▲)9.在△ABC中，内角A,B,C的对边的长分别为a,b,c,则下列结论中正确的是(▲)A.c=a·sinB+b·sinAB.c=a·cosB+b·coC若a>b,则sin2A>sin2BD.若a>b,则cos2A<cos2B10.正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2,侧棱长是3,AB,BC的中点为M,N,过点D₁,M,N的平面记为α,则下列说法中正确的是(▲)足λm+(1-λ)n∈I,则称集合I为“一字集”,记Ω={X|X为“一字集”},则下列说法正确的是(▲)13.从编号1,2,3的三张卡片中随机抽取一张，放回后再15.(本题13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD.(1)证明：BD⊥PC;所成角的正弦值.16.(本题15分)为了研究DeepSeek(AI学习助手)对学生数学成绩的影响，将20名学生均分为两组，分别为使用组(使用DeepSeek)和非使用组.一段时间后，测得20名学生的数学成绩变化如下(单位：分):11223334非使用组001123(1)从使用组中随机抽取两名学生，设其中成绩进步的人数为X,求X的分布列和数学(2)求20名学生数学成绩变化的中位数m,并分别统计两组中低于m与不低于总计非使用组总计(3)根据(2)中的列联表，能否有90%的把握认为使用DeepSeek与数学成绩变化有显著α高三数学试题第3页(共4页)17.(本题15分)已知抛物线C:y²=4x,点T(3,0),A(1,t),直线1交抛物线C于P,Q两点，满足AP⊥AQ,点A在直线PQ上的投影点记为点H.(1)当t=1,PQ⊥x轴时，求|TH|的值；(2)当t=0时，求点H的轨迹方程.18.(本题17分)已知函数有两个极值点x₁,x₂,满(2)判断并证明函数f(x)的对称性；19.(本题17分)设矩形ABCD的周长为24cm,记∠ACD=θ,把△ABC沿过A的对角线AC作(如图2).若多次折叠，则每次都为新得到的矩形沿着过A的对角线向点D折叠.若存在n∈N*,使得DSₙ≤DTn(n∈N)成立.记满足条件的θ的取值集合为Ω.定义集合Ω的“长度”记为|2|,例：{x|1≤x≤2}|=2-1=1,{x|1≤x<2或2<x≤3}=2-1+3-2=2,|{x|x=1}|=0.诸暨市2025年5月高三适应性考试数学参考答案一、单项选择题(每小题5分，共40分)12345678DCABCACD二、多项选择题(每小题6分，共18分；部分选对的得部分分，有选错的得0分)三、填空题(每小题5分；共15分)四、解答题(共77分；13分+15分+15分+17分+17分)15.(6分+7分)(1)证明：连接AC,BD,………2分………4分………5分………6分(2)取BC中点M,连接AM,以AM为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立如图空间直角坐标系，………7分令AB=2,则A(0,0,0),C(√3,1,0),P(0,0,2),D(0,2,0),B(√3,-1,0),E(0,1,1),设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),1………9分2………13分16.(7分+4分+4分)解：(1)由题意知：X的可能取值为0,1,2,X012P(2)由题意知：20名学生成绩变化的中位数为1,∴m=1总计2864总计8∴有90%的把握认为使用DeepSeek与数学成绩变化有显著关联.17.(6分+9分)解：设lp:x=m(m>0),P(x,Y),Q(x₂,y₂),联立得y₁=2√m,y₂=-2√m,∴P(m,2√m),Q(m,-由AP⊥AQ,得AP·AQ=0,即(m-1)²+(2√m-1)(-2√m-1)=0,化简得m²-6m=-2;2分5分………2分5分7分9分………7分9分11分13分………11分13分………15分………2分又∵|TH|=√(m-3)²+(1-0²=√m²-6m+10=2√23设lp:x=my+c,,P(x,Y1),Q(x₂,y2), 联立,得y²-4my-4c=0,由韦达定理得y+y₂=4m,Yy₂=-4c,………8分代入可得c²-6c+1=4m²;………10分联立可得………11分设直线PD:A(x-1)+By=1,联立抛物线y²=4(x-1)+4;配齐次得y²=4(x-1)[A(x-1)+By]+4[A(x-1)+B联立直线AH:B(x-1)-Ay=0与直线PD:A(x-1)+By=1,代入至4A²+4A+4B²=1,解得H的轨迹方程为：x²-6x+1+y²=0.18.(4分+4分+9分)解：令,在(0,1)上递减，(1,2)上递增；令………14分………15分………10分………15分………2分………4分4(2)∵x∈(0,2),则对称故f(x)有对称中心(1,a),无对称轴；(3)法一：有x₁+x₂=2,故下证充分性：故存在,使得φ(x₀)=0,故h(x)在上递增，在(x₀,1)上递减.若k<2,由h(x)>h(1)=0,故存在x₁<1,使得f(x₁)+kx₂<0,故k<2不合题意.综上，若f(x)+kx₂>0恒成立，则实数k≥2.参变分离………11分………13分………15分………16分………17分………11分5令其中x⁴-6x³+12x²-8x=x(x³-6x²+12x-8),令h(x)=x³-6x²+12x-8,有h'(x)=3x²-12x+12>0在上成立，故h(x)在上递增，又h(1)<0,故h(x)<0,x⁴-6x³+12x²-8x<0,………12分………13分又g(1)=2,故k≥2.*19.(4分+4分+9分)解：解在Rt△ADP中，(12-x)²+(x-a)²=a²,解(当且仅当x=6√2(2)此时矩形ABCD为正方形，故………15分………16分………17分………1分时取等号),………3分………4分………5分………8分6(3)由题意得(3)由题意得要使DSₙ≤DTn,即∠ASnD≤∠ATD,