2022届北京市高考数学一轮复习专题教案 统计与概率 （北京市高考研讨资料）

《概率统计》

专题一：两个原理1课时

专题二：均值、方差的应用2课时

专题三：二项分布与超几何分布1课时

课题两个原理

教学目标正确理解“完成一件事情”的含义，根据实际问题的特征，能运用两个原理，并且

选择合适的方法解决问题。

重占识别原理，选择合适的方法解决计数问题

难点选择合适的方法解决计数问题

教学内容【例题1】（2019丰台二模，13）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一

天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的

安排方法有一种.

过程简析：

方法1：分类

第一类：甲安排在星期一，乙可安排在星期三、四、五，分别有4种、4种、2种

方法；

星期一星期二星期三星期四星期五

甲乙

=2x2=4

星期一星期二星期三星期四星期五

甲乙

电=2x2=4

星期一星期一星期三星期四星期五

甲乙

%=1x2=2

・・・甲安排在星期一共有2=4+4+2=10种不同的方法

第二类：甲安排在星期二，乙可安排在星期四、五，分别有4种、2种方法；

星期一星期二星期三星期四星期五

甲乙

叫=2x2=4

星期一星期二星期三星期四星期五

甲乙

=1x2=2

・•・甲安排在星期二共有惧=4+2=6种不同的方法

第三类：甲安排在星期三，乙可安排在星期一、五,分别有2种、2种方法；

星期一星期二星期三星期四星期五

乙甲

/«1=1x2=2

星期一星期二星期三星期四星期五

甲乙

m2=1x2=2

・•・甲安排在星期三共有乂=2+2甘种不同的方法

第四类：甲安排在星期四，与第二类相同；

星期•星期二星期三星期四星期五

甲

・•・甲安排在星期四共有M=4+2=6种不同的方法

第五类：甲安排在星期五，与第一类相同；

星期一星期二星期三星期四星期"

甲

・・・甲安排在星期五共有M=4+4+2=10种不同的方法

所以，完成这件事，共有％=乂+他+可3+乂1+&=10+6+4+6+1()=36种方法。

【小结】

分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键

元素和关键位置，本题按甲在星期一、星期二、星期三、星期四、星期五分类的

分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不

同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.

方法2：分步

设5个人记为甲乙丙丁戊

第一步，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有“二A；=2种情况

第二步，将这个整体与丁戊全排列，有％=A；=6种安排方法；

第三步，乙丙看成一个元素、丁、戊3个元素排好后有4个空位，由于甲乙安

排在不相邻的2天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有〃3=3种方法；

，不同的安排方案有"=〃］、〃2*%=2乂3、6=36种

【小结】

1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有

先后顺序的，并且分步必须满足；完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个

步骤都完成了，才算完成这件事.

2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连

续，逐步完成.

方法3：排除法

1、乙丙安排在相邻的2天的安排方法：乙丙看成一个整体，有C：=4个位置

可选，乙闪位置调换有&二2种方法，剩余3人随便排，有4；=6种

・•.乙丙安排在相邻的2天有乂二=48种

2、甲乙相邻且乙丙相邻的安排方法：甲乙丙看成一个整体，有C；=3个位置

可选，甲丙位置调换有2种方法，丁戊有2种排法，

・••甲乙相邻且乙丙相邻的安排方法有N2==12种

・・・完成这件事不同的安排方案有N=N「乂=48-12=36

【小结】

对于有附加条件的计数问题，先不考虑附加条件，再减去不合要求的,本题“乙

丙相邻不考虑甲乙”共有48种方法，不合理的是“甲乙相邻且乙丙相邻”有12种

方法，最后，减去不合理的即可。

【变式练习】

变式1.两人进行乒乓球比赛，先赢三局看获胜，决出胜负为止，则所有可能

出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()

A.10种B.15种C.20种D.30种

变式2.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时

要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有()

A.8种B.9种C.10种D.11种

变式3、有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

⑴选5人排成一排；

(2)全体排成一排，女生必须站在一起；

(3)全体排成一排，男生互不相邻；

答案：

变式1、C

变式2、B

变式3、(1)2520(种).

(2)A：・A：=576(种).

(3)A；・A；=1440(种).

【例题2](2021年通州期末5)从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱

我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种

数是

A.20B.25C.30D.55

过程简析：

解法一：先分类，再分步

N=C；C；+C；C；=20+5=25

解法二：排除法

N=C"C；C；=35-1()=25

解法三：列举法

记老师为乂)，;记学生为1,2,3,4,5

(x,y,1)(x,y,2)(x,y,3)(x,y,4)(x,y,5)

(x,1,2)(x,1,3)(x,1,4)(x,1,5)(x,2,3)

(x,2,4)(x,2,5)(x,3,4)(x,3,5)(x,4,5)

(y,1,2)(y,1,3)(y,l,4)(y,1,5)(y,2,3)

(y,2,4)(y,2,5)(y,3,4)(y,3,5)(y,4,5)

总共25种

解法四：画树图

记老师为x,y;记学生为1,2,3,4,5

22

313

144

255

33

x<32<4

244

4

55

5

4[4

3，

55

415

总共25种

【变式练习】

变式1.（2019海淀二模，6）学号分别为1,2,3,4的4位同学排成一排，若学

号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为（）

A.2B.4C.6D.8

变式2：从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要

求入选的3人中至多有一名教师，则不同的选取方案的种数是

变式3：从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要

求入选的3人中至少有一名教师，且学生甲必须参加，则不同的选取方案的种数是

答案：

变式1、A

变式2、30

变式3、9

【小结】

正确理解“完成一件事情”的含义，根据实际问题的特征，正确地区分“分类”

或“分步”，经常采用“列举法”（坐标形式、表格形式、树图形式）“数一数”、

“列一列”。

【作业设计】

1、我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由二二

从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“---”和阴爻

“-------”，右图就是一重卦.如果某重卦中有2个阳爻，则它

可以组成种重卦.(用数字作答)

2、一排九个座位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有种不同

的坐法。

3、用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有

_____个。

4、十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、

猪.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选

择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有()

(A)242种(B)220种(C)200种(D)110种

5、某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、

化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科).根据学生选科情况，该校计划

利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个

学科.语文、数学、英语只排在第二节；物理、政治排在同一天，化学、地理排在

同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为()

(A)36(B)48(C)144(D)288

6、动点"位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可

跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳

动后，M在数轴上可能位置的个数为()

(A)7(B)9(C)11(D)13

答案：

1、15

2、7200

3、14

4、C

5、D

6、D

课题均值、方差的应用（第一课时）

教学目标1、能够根据题目所给信息，在具体问题中有针对性地选择不同的方法。

2、能够理解均值的意义。

3、对均值的大小进行正确计算和推断。

重点领悟利用期望值决策的思想方法，同时了解期望值决策的局限性。

难点不通过计算推断几个均值的大小，对均值意义的理解。

教学内容［例题1］

（2020年东城二模改编）某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超

过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下表记录了A8四

个项目最终的招募情况，

项目计划招募人数报名人数

A50100

B60120

C80160

D160200

甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记J为甲同学最终被招募的项目个数，

假设有十名报了项目A的志愿者（不包含甲）调整到项目〃，试判断E4如何变化（结

论不要求证明）

过程简析：

均值反映了随机变量取值的平均水平，十名报了项目A的志愿者（不包含甲）调

整到项目〃，则甲被项目A招聘的概率增大，被项目D招聘的概率减小，由于项目

A报名人数较少，所以

甲被项目A招聘的概率增大的幅度大，项目）招聘的概率减小的幅度小，所以

变大.

【例题2］（201C北京理科16题）A,B,C三个班共有100名学生，为调查他们的

体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单

位：小时）：

A班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.5

（Ill）再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是

7,9,8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平

均数记为〃，表格中数据的平均数记为玲，试判断人和外的大小.（结论

不要求证明）

过程简析：

本题考查的是对期望这个统计量含义的理解及计算.该题非常容易入手，即

使是初中学生，只要具有足够的耐心便可通过计算公式求解出人和〃。的值，进而

比较二者大小，但是提问中却给出了“结论不要求证明”的提示，那说明有更高

级的计算和理解方法.

通过观察、分析表中的数据我们发现3个新数据7,9,8.25恰好分别是A,B,

C三个班的平均值，我们用这三个数值来分别表示//,和・%如下：

4=----8.25^----9,----7H----8.25+—9,由表达式可以看出〃[和〃（）实际

202020232323

±7,9,8.25的“加权”平均数，因为和2_＞三，所以在从中最大值9的

20232023

权重小而最小值7的权重大，因此从＜外.实际上，在〃。中7的权重上就是概率知

20

识中7出现的频率该题告诉我们，计算样本平均数除了算术平均之外还可以采用

加权平均，即将每个值与其出现的频率相乘再加起来，事实上两种方法是一致的.

【变式练习】

变式1：（2021年朝阳期末17）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A

地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意

程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[2司40）,[40,60）,[60,80）,

[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：

A地区用户满意程度评分频率分布直方B地区用户满意程度评分频率分布直方

图图

（III）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，

估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为必，B地区抽

取的100名用户对该公司产品评分的平均值为出，以及A,B两个地区抽取

的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，

试比较4和竺竺的大小.（结论不要求证明）

变式2：（2020北京18）某校为举办用乙两项不同活动，分别设计了相应的

活动方案：方案一、方案二、为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行

简单随机抽样，获得数据如下表：

男生女生

支持不支持支持小支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250A

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

（III）将该校学生支持方案二的概率估计值记为P。,假设该校一年级有500名男生

和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为历，试比

较P。与义的大小.（结论不要求证明）

答案：

变式1，〃。＞丐上

变式2,P（）＞PI

【小结】

均值描述了取值的平均水平，有时，不需要计算出均值的具体值，可以做出

推断；有的虽然“结论不要求证明“，却需要动笔算算。均值从整体和全局上刻

画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据。

【例题2】

某公司在迎爵年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择.方

4

案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为二第一次抽奖，若未中

o

奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第

二次抽奖.规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二

次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，

则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为。元.

2

方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为？每次中将均可获得奖金400

元.

(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金¥(元)的分布列；

(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？

过程简析：

(D/的可能取值为0,500,1000.

P{X=(S)—~4"~X~X~/>(/V=500)——X-=~,P(X=1000)X-X-=

OODNJOziO

8

25J

所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金才(元)的分布列为

05001000

728

P

25525

2

(2)由⑴可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金¥的期望/O)=500X=十

□

8

1000X—=520,

zb

OOC

若选择方案乙进行抽奖，中奖次数f〜以3,1),则夕(C=3X：=?抽奖

所获奖金1的期望以加=£(400f)=400以0=480,故选择方案甲较划算.

【小结】

1、有时，需要准确计算出随机变量的均值才能进行推断。

2、选择不同的方案，X的分布列是不同的，不能直接进行比较，本题做出决

策的原则是选择期望值E(X)大的方案，期望值E(X)大表示平均水平高。

3、随机变量的期望是一个理论上的均值，如果是大量重复的同样的问题进行

决策，期望值原贝J是一个合理的决策原则。例如保险公司理赔金额的期望值，如

果是一次性决策的话，可以采用期望值原则决策，也可以采用其他决策原则。

【变式练习】

变式1：

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显

示，水库年入流量片(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方

米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份

有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概

率，并假设各年的年入流量相互独立.

(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年

入流量X限制，并有如卜关系：

年入流量/40VXV8080W收1204120

发电机最多

123

可运行台数

若某台发电机运行，则该台发电机年利涧为5000万元；若某台发电机未运行,

则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发

电机多少台？

答案：

变式1、

(1)依题意，得o=P(40V1V80)=普=0.2,

35

R=〃(80WXW120)=^7=0.7,

bU

5

A=120)=777=0.1.

t)U

由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为

p=C；(1—A)4+Cl(1—A)3A=舄)'+4X舄)'X点=0.9477.

(2)记水电站年总利润为H单位：万元).

①安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,

对应的年利润K=5000,£(«=5000X1=5000.

②安装2台发电机的情形.

依题意，当407才〈80时，一台发电机运行，此时)'一5000—800=4200,囚

此户(勺4200)=/(40＜才＜80)=0=0.2；当店80时，两台发电机运行，此时V

=5000X2=10000,因此P(Y=10000)=户(庐80)=R+R=0.8.

由此得y的分布列如下：

Y420010000

P0.20.8

所以，=4200X0.2+10000X0.8=8840.

③安装3台发电机的情形.

依题意，当40VXV80时,一台发电机运行，此时卜=5000—1600=3400,因

此Ar=3400)=A40＜/＜80)=0=0.2；

当80W启120时，两台发电机运行，此时7=5000X2-800=9200,因此〃(V

=9200)=P(80W1W120)=R=0.7；

当尤＞120时，三台发电机运行，此时7=5000X3=15000,因此〃U=15000)

=〃(尤＞120)=R=0.1.

因此得V的分布列如下：

Y3400920015000

P0.20.70.1

所以，^(P)=3400X0.2+9200X0.7+15000X0.1=8620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.

【作业设计】

1、(2021年房山一模18)单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入

决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁

判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高

分作为比赛成绩.

现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下

表：

分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩

第1次第2次第3次第1次第2次第3次

第1站80.2086.2084.0380.1188.400

第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60

第3站79.10087.5089.1075.3687.10

第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01

第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70

假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立.

（III）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛,

根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由.

（注：方差/=■!■]■一，'（马一xj+…+1”一工）[,其中嚏为M，x2,•••,乙的

平均数）

2、（2021北京18）在核酸检测中，“4合1”混采核酸检测是指：先将k个

人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测

结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这k个人中有人

感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的

检测结果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结

果准确.

（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混

采核酸检测.

（i）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；

（ii）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为1/11.设I是检测的总

次数，求X的分布列与数学期望EX.

（II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核

酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望EK与（I）中用的大小.（结

论不要求证明）

答案：

1、方法1:推荐乙.

用“4=1”表示任意1站运动员甲的成绩高于乙的成绩，用“4=0”表示任意1

站运动员甲的成绩低于乙的成绩，则P（〈=I）=|,p（g=0）=1

2323

E（^）=1X-+0X1=0.4,D^=-X|=0.24

用“"=1”表示运动员乙的成绩高于甲的成绩，用“〃=0”表示运动员乙的成绩

低于甲的成绩，则p（"=l）=；P（77=O）=:

55

3232

X

E（z/）=lx-+0x-=0.6,D（；7）=--=0.24

因为£（<J）=0.4<£（77）=0.6,所以乙的成绩好于甲的成绩.

方法2：推荐甲.

-।

甲5站的平均成绩为：=-（86.20+92.80+87.50+89.50+86.00）=88.40

乙5站的平均成绩为：x^=-（88.40+88.60+89.10+88.20+87.70）=88.40

5

甲乙5站的平均成绩虽然相同，但是甲成绩的极大值为92.80,乙成绩的极大值为

89.10,

中成绩的极大值高于乙成绩的极大值，所以甲的成绩会比乙的更好.

2、（1）①共测两轮,第一轮100人分10组,故测了10次,第二轮,对两名患者所在

组每个人都进行检测一次,共10次，故总检测次数为10+10=20次；

②由①知,两名感染患者在同一组时,共需测20次;若两名患者不在一组,需要测

10+10+10=30次.故X可取值为:20,30,则P（X=2O）=A，P（X=3O）=1—A=#,

故¥的分布列为：

12030

P110

HT7

由1”RSon1on1020+300320

所以E(X)=20x—4-30X—=-------------=——.

11111111

(2)E3〈E5.

课题均值、方差的应用：第二课时）

教学目1、能够根据频率分布表、直方图、折线图等各自的特点，在具体问题中有针对性地

标选择不同的手段整理信息.

2、能够理解样本数据的标准差和方差等统计量的意义和作用，进行计算和推断。

3、能够理解随机变量的标准差和方差的意义和作用，进行计算和推断。

重点方差的大小进行正确计算和推断

难点不通过计算推断儿个方差的大小

教学内【例题1】

容（2015高考北京，理16）A,B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间

（单位：天）记录如下：

A组：10,11,12,13,14,15,16

B组：12,13,15,16,17,14,a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A,B两组随机各选1人，A组选出的人记为

甲，B组选出的人记为乙.

（III）当a为何值时，A,B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

过程简析：

把2组数据到大排列

A组：10,11,12,13,14,15,16

B组：12,13,14,15,16,17,a

两组数据个数相等，方差相等，A组相邻2数据相差1,所以B组数据若相邻2数据

相差1,则方差相等，所以々=11或。=18

变式1:

（2021年西城期末18）防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的

防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10

月1日）水库的蓄水量数据如下：

年份2010201120122013201420152016201720182019

蓄水量（亿

立方米）11.2513.2513.5817.412.412.118.326.534.334.1

（III）由表中数据判M所从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证

明）

变式2：（2021年5耳山期末18）2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分

类标准为厨余垃圾、1可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类.生活垃圾中有一部分可以

回收利用，回收1吨万殳纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源

消耗.某环保小组调孑生了北京市房山区某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回

收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图:

61收J®

（单位：U电）--------.-----------也料」乙的1川1|攵；4

------9----------班丝E白勺I川U攵后七

6月7月8月9月1O月11月12月

（III）假设2021年I月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为。吨.当。为何值

时，自2020年6月至2021年I月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最

小.（只需写出结论，不需证明）

答案：

变式1、从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大

变式2、a=4.4

【小结】

样本平均数反映了数据取值的平均水平，而样本方差、标准差描述了一组数据围

绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、

方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.

【例题2】

1、一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽

取100次，X表示拍到的二等品件数，则〃归

过程简析：

由题意X〜5（100,0.02），由二项分布的方差公式可得DX=np（\-p）=

100x0.02x（1-0.02）=1.96.

2、已知随机变量以满足尸（。=1）=R,>（7=0）=1—R,2三1,2.若055<

L则（）

2

A.E&)〈E($),D&)<D(&)B.E&)<E($),D&)>D(4)

C.E&)>E&),D&)<D&)D.E&)〉E(42)，D&)〉D&)

过程简析：由题意可知离散型随机变量。，$的分布列分别为：

E

H二□_dH

那么E6)=PMG)=P2,因为,<P2，所以E&)<E&).D&)=p«-Pl),

D&)=P2(1-P)0(^)-D(^2)=(p,-/A)(1-p,-p2)<0,所以

答案：A.

3、(2018北京理科17题)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到

下表：

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

假设所有电影是否获得好评相互独立.

(HI)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用"&=1〃

表示第k类电影得到人们喜欢，“女=0〃表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=l,2,

3,4,5,6).写出方差Wi，D"%,。曷，。4的大小关系.

过程简析：

好评率“很高”或“很低”，都说明“喜欢的概率”很集中，所以方差小。反之，

好评率越接近0.5,说明方差越小，所以>D当〉=DM>D43>D46

本题也可以用两点分布计算方差。

【变式练习】

变式1：(2021年丰台期末18)全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费.某市为了

解居民外出就餐有剩余时是否打包，进行了一项“舌尖上的浪费”的调查，对该市的

居民进行简单随机抽样，将获得的数据按不同年龄段整理如下表：

男性女性

打包不打包打包不打包

第1段250650450650

第2段300600550550

第3段600400750250

第4段850350650150

假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立.

（川）假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有

剩余时打包的频率相等，用“耳=1”表示第左段居民外出就餐有剩余时打包，“媒=0”

表示第左段居民外出就餐有剩余时不打包（％=123,4）,写出方差。配。金当的大

小关系.（只需写出结论）

答案：D^<D^<D^<D^2

【小结】

随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均

值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，本题虽然不要求说明理由，实际上

有概率统计的定量分析，不能只凭直觉。

均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要

理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.有时，需要自己决定“指

标变量”做出统计推断。

【作业设计】

1、已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的

平均数为方差为鼠贝IJ（）

A.X=4,s<2B.X=4,52>2

C.X>4,S2<2D.X>4,#>2

2、为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行

了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布

直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为4,S3,则

它们的大小关系为.

地般▲频率丝t处’

6^668-^7-------------------------------------------------------------------

3、（2013北京16；下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量

指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随

机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.

空250

气2010

质

量5.0

指

数100

50

（III）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

4、（2021年海淀期末18）某公司在2013〜2021年生产经营某种产品的相关数据如下

表所示:

年份201320142015201620172018201920202021

年生产台数3456691010a

（单位：万台）

年返修台数3238545852718075b

（单位：台）

年利润（单位：3.854.504.205.506.109.6510.0011.50c

百万元）

注：年返修率二*.

（III）记公司在2013~2015年,2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分

别为若S；«max{s；,s；},其中max{s；,s；}表示,这两个数中最大的数.

请写出〃的最大值和最小值.（只需写出结论）

答案：

1、A

2、S3<S2<

3、从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大

4、。的最大值13,〃的最小值8

课题二项分布与超几何分布

教学目标能通过题目中的信息正确识别二项分布与超几何分布

重点识别二项分布与超几何分布，

难点识别二项分布与超几何分布

教学内容【例题】

(教材第84页问题)己知100件产品中有8件次品。

(1)从中任取4件产品，设其中次品数为X,求X的分布列；

(2)取出一个产品后放回，再取一个，从中任取4件产品，设其中次品数为X,求

X的分布列。

过程简析：

解：⑴由题知X=0,1,234；则P(X=0)=噌％P(X=1)=半％

dcoCioo

P(X=2)=-5^;P(X=3)=-^^;P(X=4)=-^^

5oo5ooJoo

所以，X的分布列为

X01234

pC；C；2鸥

CtoG%C；oo|

Q

(2)由题知每件次品被抽取的概率为——=0.8,所以Xb5(4,0.8)

所以，X的分布列为P(X=k)=C：X0.8AX0.24-AJ=0,123,4

【变式练习】

变式1：几万个产品中，其中次品率为0.3,从中任取两个产品，设其中次品个

数为X,求X的分布列；

变式2：(2021西城二模改编)在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展

了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动.为了解某区教师

对ARCD.E五类线上教育软件的使用情况(每位教师都使用这五类教育软件中的

某一类且每位教师只选择一类教育软件)，从该区教师中随机抽取了100人，统计

数据如下表，其中4,力tN.

教育软件类

ABCDE

型

选用教师人

1015a30b

数

假设所有教师选择使用哪类软件相互独立.

(I)若某校共有300名教师，试估计该校教师中使用教育软件C或E的人数;

(II)从该区教师中随机抽取3人,估计这3人中至少有2人使用教育软件。的概率;

(III)设该区有31XX)名教师，从中随机抽取I人，记该教师使用教育软件C或。的

概率估计值为片；该区学校M有600名教师，其中有200人使用教育软件C,

100人使用教育软件从学校M中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或

。的概率值为尸2；从该区其他教师(除学校M外)中随机抽取1人，该教师

使用教育软件C或。的概率估计值为6.试比较片，尸2和尸3之间的大小.(结

论不要求证明)

变式3：某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用

户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该

公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制成评

分频率分布直方图如下：

A地区用户满意程度评分频率分布直方B地区用户满意程度评分频率分布直方

图图

(1)从8地区把取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80

分的个数为X,求X的分布列

(II)从B地区的所有用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的

个数为X,求X的分布列

答案：

变式1、X〜8(2,0.3)

X012

P0.490.420.09

变式2、

(I)样本中教师使用教育软件C或石的人数为45人

(II)记被抽取的3人中使用软件。的人数为X,则乂~8(3,3).

所以尸(X=2)=C；(2)2(1—3)=W,

10101000

?(X=3)=C哈3(—)。=磊,

所以P(B=P(X=2)+P(X=3)=^=K

(Ill)p2<p,<p3.

变式3、

(I)

X012

P8921

110T7110

(II)

X012

P0.810.180.01

【小结】

判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①试验是否为n次独立重复

试验；②随机变量是否为这n次独立重复试验中某事件发生的次数.

对于不放回抽样，当N充分大，且〃远远小于N时，各次抽样结果批次影响很

小，可近似认为是独立的。因此，超几何分布可以用二项分布近似。

M

在确定分布列时，超儿何分布必须同时知道N和M，向二项分布只需知道〃二一