高中数学北师大版讲义(必修二)第25讲5.2.1复数的加法与减法(3知识点+6题型+强化训练)(学生版+解析)

5.2.1复数的加法与减法课程标准学习目标1、了解复数的加法和减法法则2、掌握复数的减法法则1、学习复数代数形式的加法和减法运算法则2、会利用运算法则进行加、减法运算.知识点01复数的加法1、加法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.2、加法运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，有=1\*GB3①交换律：z1＋z2＝z2＋z1，=2\*GB3②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．【即学即练1】（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）−7+(−3−iA．10−i B．−10−i C．10+i知识点02复数的减法1、相反数已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．2、减法运算法则规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．【即学即练2】（23-24高一下·全国·课堂例题）计算：(1)32(2)35(3).8−知识点03复数加法与减法几何意义1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其对应的向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))＝(x1，y1)，eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(x2，y2)，如图1，且eq\o(OZ1,\s\up15(→))和eq\o(OZ2,\s\up15(→))不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量eq\o(OZ,\s\up15(→))＝eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))，而eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数z1－z2与向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))－eq\o(OZ2,\s\up15(→))(等于eq\o(Z2Z1,\s\up15(→)))对应，这就是复数减法的几何意义．【即学即练3】（20-21高一·全国·课后作业）已知复数z=2+3i(1)z−3i(2)z−3+【题型一：直接法进行加减运算】例1．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）设复数z1=−2+3i,zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式1-1．（2024高一下·全国·专题练习）复数(2+3i)−(1−i变式1-2．（22-23高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知复数z1=3+4i，z2=3−4变式1-3．（22-23高一·全国·课堂例题）已知复数z1=1+2i与z2=4−3【方法技巧与总结】复数的加、减法运算（1）复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；（2）复数的加、减运算结果仍是复数；（3）对应复数的加法（或减法）可以推广到多个复数相加（或相减）的混合运算；（4）实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用【题型二：需要设标准形式】例2．（2023·全国·模拟预测）已知复数z的共轭复数是z，若z−2z=−2−3iA．2+i B．1−2i C．2−变式2-1．（2023·北京·模拟预测）已知复数2z−z=1−3i，其中i是虚数单位，zA．1+i B．1−i C．−1+i变式2-2．（22-23高三上·广东·阶段练习）设z的共轭复数为z，若2z−3z=2−5iA．−2−i B．2−i C．1−2i变式2-3．（21-22高一下·江苏盐城·期中）设2z−z+12=3z+zA．2i B．2 C．−2i 【题型三：复数加减法的几何意义】例3．（21-22高一下·全国·课后作业）若向量AB,AC分别表示复数z1A．5 B．5 C．25 D．变式3-1.（19-20高一·全国·课后作业）如图，设向量OP，PQ，OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0变式3-2.（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z1=a2−3+(a+5)(1)若向量OZ1表示的点在第四象限，求(2)若向量Z1Z2变式3-3.（19-20高二下·上海·课后作业）在复平面上，如果AB，AC对应的复数分别是5+4i，−2+3i，那么BC对应的复数为.【方法技巧与总结】复数加法的几何意义（1）意义：复数z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up15(→))和eq\o(OZ2,\s\up15(→))为邻边的平行四边形的对角线eq\o(OZ,\s\up15(→))所对应的复数；（2）结论：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.复数减法的几何意义意义：z1－z2是从向量eq\o(OZ2,\s\up15(→))的终点指向向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))的终点的向量eq\o(Z2Z1,\s\up15(→))所对应的复数；（2）结论：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.【题型四：模长问题】例4．（2024·陕西·模拟预测）若复数z满足3z+4z=7+iA．1 B．2 C．5 D．4变式4-1．（2024·全国·模拟预测）已知复数z1=4+3i，zA．26 B．52 C．26 变式4-2．（多选）（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知z1，zA．若z1∈R，则z1=C．若z1=z2，则z1=z变式4-3．（2024高一下·全国·专题练习）若向量AB,AC分别表示复数z1=2−i【题型五：复数与三角形相关问题】例5．（19-20高一下·全国·课后作业）A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点.若z1A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形变式5-1.（11-12高二下·浙江嘉兴·期中）ΔABC的三个顶点所对的复数分别为z1,z2,z3A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心变式5-2.(多选)（22-23高一下·湖北荆州·期中）已知复数z1=1−i，z2=2−i，A．z1+B．z2C．OA⊥OCD．以OA,变式5-3.（19-20高一下·全国·课后作业）已知M,N分别是复数z1,z2在复平面内对应的点，O为坐标原点，若z1【题型六：复数加减法与含参问题】例6．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）复数z1=a+3i，z2=−4+bi，其中a，b为实数，若A．−7 B．−6 C．6 D．7变式6-1．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数z满足z+2z−6i=0（i为虚数单位），则z=变式6-2．（21-22高一下·河南安阳·期末）已知z1=m2−3m+m2i，z2=4+5m+6变式6-3．（22-23高一下·江苏南京·期末）若定义一种运算：a,bcd=ac+bd.已知z(1)求复数z；(2)设t,x为实数，若t+cosx,i一、单选题1．（23-24高一下·江苏连云港·期中）复数6+5i与−3+4i分别表示向量OA与OB，则表示向量A．3+9i B．−9−i C．9+i2．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）若z1=13−3i，zA．9−4i B．9−2i C．−9+4i3．（23-24高一下·河北·期中）已知z−3i=4−iA．2 B．4 C．-2 D．24．（22-23高一下·广西·期末）已知a，b∈R，a+3i+A．－4 B．7 C．－8 D．65．（22-23高一下·四川凉山·期末）复数z在复平面内对应的点为2,−1，则复数z−3=（

）A．1+i B．1−i C．−1+i6．（22-23高一下·陕西商洛·期末）若复数z1=2+3i，zA．−1+2i B．1+2i C．−1−2i7．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）实数m>1时，复数m3+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知z1,z2∈C，zA．0 B．1 C．2 D．3二、多选题9．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知复数z满足z+4−iA．z的虚部为−2B．z−2为纯虚数C．若z与复数a2+3a+a2D．z在复平面内对应的点位于第一象限10．（22-23高一下·湖南岳阳·期末）已知复数z=3−4iA．z=5 B．zC．z−3+4i是纯虚数 D．复数z的共轭复数为11．（22-23高一下·广东广州·期中）设复数z1=1−i，zA．z2是纯虚数 B．zC．z1−z三、填空题12．（23-24高一下·广东广州·期中）在复平面内，AB对应的复数是1−i，AD对应的复数是1+i，则点B,D之间的距离是13．（23-24高一下·天津·期中）复数z满足z+1−i=1+3i，其中14．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z1=a2−3+a+5i，z2=a−1+a四、解答题15．（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1x1（2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：①z1②z316．（22-23高一下·辽宁·期末）已知复数z1=a2+(1)若z1+z(2)若z1+z17．（22-23高一下·全国·课后作业）已知复数z1，z2满足z1=z2=18．（20-21高一·全国·课后作业）设z=a+bi(a,b∈R)，且4(a+bi)+2(a−bi19．（22-23高一下·重庆·期中）欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作(1)将复数eπ3i+e(2)求eπ5.2.1复数的加法与减法课程标准学习目标1、了解复数的加法和减法法则2、掌握复数的减法法则1、学习复数代数形式的加法和减法运算法则2、会利用运算法则进行加、减法运算.知识点01复数的加法1、加法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.2、加法运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，有=1\*GB3①交换律：z1＋z2＝z2＋z1，=2\*GB3②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．【即学即练1】（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）−7+(−3−iA．10−i B．−10−i C．10+i【答案】B【分析】直接根据复数加法规则进行计算即可.【详解】由题意可得：−7+(−3−i故选：B知识点02复数的减法1、相反数已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．2、减法运算法则规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．【即学即练2】（23-24高一下·全国·课堂例题）计算：(1)32(2)35(3).8−【答案】(1)8(2)4(3)15+3【分析】根据题意由复数的加减法运算，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）原式=（2）原式=（3）原式=知识点03复数加法与减法几何意义1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其对应的向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))＝(x1，y1)，eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(x2，y2)，如图1，且eq\o(OZ1,\s\up15(→))和eq\o(OZ2,\s\up15(→))不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量eq\o(OZ,\s\up15(→))＝eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))，而eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数z1－z2与向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))－eq\o(OZ2,\s\up15(→))(等于eq\o(Z2Z1,\s\up15(→)))对应，这就是复数减法的几何意义．【即学即练3】（20-21高一·全国·课后作业）已知复数z=2+3i(1)z−3i(2)z−3+【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）在复平面上作出z=2+3i对应的向量OZ，再作出3i对应的向量OZ1（2）再作出3+i对应的向量OZ2，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，OB【详解】（1）设复数z=2+3i对应的向量为OZ图1设复数z1=3i对应的向量为OZ1，则两个复数的差z−3i对应两个向量的差OZ（2）设复数z2=3+i对应的向量为OZ2，则两个复数的差z−3+i对应两个向量的差OZ图2【题型一：直接法进行加减运算】例1．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）设复数z1=−2+3i,zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】讲复数转化为复平面上的点的坐标进行判断即可.【详解】根据复数运算可知：z1−z位于第二象限.故选：B变式1-1．（2024高一下·全国·专题练习）复数(2+3i)−(1−i【答案】8+5【分析】根据复数的加减法法则求解即可.【详解】(2+3=(2−1+7)+(3+1+1)i故答案为：8+5变式1-2．（22-23高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知复数z1=3+4i，z2=3−4【答案】8【分析】利用复数的减法可求得复数z1【详解】因为复数z1=3+4i，z故答案为：8i变式1-3．（22-23高一·全国·课堂例题）已知复数z1=1+2i与z2=4−3【答案】z1+z2【分析】根据复数的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】解：根据复数的运算法则，可得z1z1【方法技巧与总结】复数的加、减法运算（1）复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；（2）复数的加、减运算结果仍是复数；（3）对应复数的加法（或减法）可以推广到多个复数相加（或相减）的混合运算；（4）实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用【题型二：需要设标准形式】例2．（2023·全国·模拟预测）已知复数z的共轭复数是z，若z−2z=−2−3iA．2+i B．1−2i C．2−【答案】C【分析】设z=a+bia,b∈R，然后代入z−2z=−2−3i【详解】设z=a+bia,b∈R，则所以a+bi−2a−b所以−a=−23b=−3，解得a=2因此z=2−i故选：C．变式2-1．（2023·北京·模拟预测）已知复数2z−z=1−3i，其中i是虚数单位，zA．1+i B．1−i C．−1+i【答案】B【分析】设z=a+bia,b∈R，z=a−bi【详解】设z=a+bia,b∈R，z=a−bb=−1，所以z=1−i故选：B变式2-2．（22-23高三上·广东·阶段练习）设z的共轭复数为z，若2z−3z=2−5iA．−2−i B．2−i C．1−2i【答案】A【分析】设z=a+bi，a，b∈R，则由2z−3【详解】设z=a+bi，a，b∈R因为2z−3z=2−5i则−a=25b=−5，解得a=−2，b=−1，则z=−2−故选：A.变式2-3．（21-22高一下·江苏盐城·期中）设2z−z+12=3z+zA．2i B．2 C．−2i 【答案】B【分析】设z=a+bia,b∈R，则z=a−bi【详解】设z=a+bia,b∈R由2z−z+12=3z+z+8i因此，复数z的虚部为2.故选：B.【题型三：复数加减法的几何意义】例3．（21-22高一下·全国·课后作业）若向量AB,AC分别表示复数z1A．5 B．5 C．25 D．【答案】B【分析】根据复数减法的几何意义求得BC，再根据模长公式即可求解.【详解】因为BC=AC−AB，又向量所以BC表示复数z2所以BC=故选：B变式3-1.（19-20高一·全国·课后作业）如图，设向量OP，PQ，OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【答案】D【分析】由向量PQ+QP=【详解】由题图可知，PQ+QP=∴z1＋z2－z3＝0.故选：D【点睛】本题考查复数与复平面的对应关系，向量的线性运算，属于中档题变式3-2.（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z1=a2−3+(a+5)(1)若向量OZ1表示的点在第四象限，求(2)若向量Z1Z2【答案】(1)−(2)a=−1【分析】（1）根据复数的几何意义，结合第四象限的点的特征即可求解，（2）根据复数减法的几何意义，由纯虚数的定义即可求解.【详解】（1）因为复数z1=a所以a2−3>0a+5<0所以a的取值范围是−∞（2）因为Z1Z2=所以向量Z1Z2根据向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，可得−(解得a=−1.变式3-3.（19-20高二下·上海·课后作业）在复平面上，如果AB，AC对应的复数分别是5+4i，−2+3i，那么BC对应的复数为.【答案】−7−i【解析】由BC=AC−AB，得【详解】AB,AC对应的复数分别是∴BC对应的复数为−2+3i−(5+4i)=−7−i故答案为：−7−i.【点睛】本题考查复数和复数减法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.【方法技巧与总结】复数加法的几何意义（1）意义：复数z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up15(→))和eq\o(OZ2,\s\up15(→))为邻边的平行四边形的对角线eq\o(OZ,\s\up15(→))所对应的复数；（2）结论：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.复数减法的几何意义意义：z1－z2是从向量eq\o(OZ2,\s\up15(→))的终点指向向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))的终点的向量eq\o(Z2Z1,\s\up15(→))所对应的复数；（2）结论：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.【题型四：模长问题】例4．（2024·陕西·模拟预测）若复数z满足3z+4z=7+iA．1 B．2 C．5 D．4【答案】B【分析】设z=x+yi【详解】解：设z=x+yi则3z+4z解得x=1,y=−1，故z=1−i，则z+2故选：B．变式4-1．（2024·全国·模拟预测）已知复数z1=4+3i，zA．26 B．52 C．26 【答案】B【分析】由共轭复数和复数的模长公式求解即可.【详解】因为z2=1−2i所以z1则z1故选：B．变式4-2．（多选）（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知z1，zA．若z1∈R，则z1=C．若z1=z2，则z1=z【答案】ABC【分析】根据共轭复数的定义、复数模的运算公式，结合复数减法的运算法则逐一判断即可.【详解】对于A，若z1∈R对于B，设z1=a+bi所以z2=a−bi，所以z即z1对于C，设z1=a+bi，z2=c+di，即a=c，b=d，所以a2+b对于D，取z1=2，z2=1+3i，则z1故选：ABC变式4-3．（2024高一下·全国·专题练习）若向量AB,AC分别表示复数z1=2−i【答案】5【分析】由复数减法的几何意义以及复数模的运算公式即可求解.【详解】因为BC=AC−AB，又向量所以BC表示复数z2所以BC=故答案为：5.【题型五：复数与三角形相关问题】例5．（19-20高一下·全国·课后作业）A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点.若z1A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据复数的向量表示，以及复数加减法的几何意义，可得结果.【详解】根据复数加（减）法的几何意义及z1知以OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形.故选：B【点睛】本题主要考查复数加减的几何意义，属基础题.变式5-1.（11-12高二下·浙江嘉兴·期中）ΔABC的三个顶点所对的复数分别为z1,z2,z3A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】A【分析】利用z到三个顶点的距离相等得到z是三角形的外接圆的圆心.【详解】∵z−∴z到三个顶点的距离相等，∴z是三角形的外接圆的圆心，故选：A.【点睛】本题考查复数差的几何意义，注意z1−z变式5-2.(多选)（22-23高一下·湖北荆州·期中）已知复数z1=1−i，z2=2−i，A．z1+B．z2C．OA⊥OCD．以OA,【答案】BCD【分析】计算，结合复数的概念，即可判断A、B；由已知得出OA,OC，求解数量积即可判断C；由已知求出【详解】对于A项，因为z1+z2=3−2对于B项，因为z2−z对于C项，因为OA=1,−1，所以OA⋅OC=0对于D项，由已知可得OA=z1=2且OA2+OB故选：BCD.变式5-3.（19-20高一下·全国·课后作业）已知M,N分别是复数z1,z2在复平面内对应的点，O为坐标原点，若z1【答案】直角【解析】由题可知z1−z【详解】因为z1所以z1故以OM,ON为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即该平行四边形为矩形,所以△MON是直角三角形故答案为:直角【点睛】本题考查复数的几何意义的应用,考查数形结合思想【题型六：复数加减法与含参问题】例6．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）复数z1=a+3i，z2=−4+bi，其中a，b为实数，若A．−7 B．−6 C．6 D．7【答案】A【分析】由复数运算和分类可解.【详解】由题意z1+z因为z1+z所以3+b=0a+4=0，得b=−3所以a+b=−7.故选：A.变式6-1．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数z满足z+2z−6i=0（i为虚数单位），则z=【答案】−【分析】设z=a+bi【详解】设z=a+bi由z+2z−6i=0所以a2+b2+2a=0所以z=−3故答案为：−3变式6-2．（21-22高一下·河南安阳·期末）已知z1=m2−3m+m2i，z2=4+5m+6【答案】−1【分析】根据复数相等的充要条件列出方程组解出即可.【详解】由题意可得z1−z根据两个复数相等的充要条件可得m2−3m=4m故答案为：−1.变式6-3．（22-23高一下·江苏南京·期末）若定义一种运算：a,bcd=ac+bd.已知z(1)求复数z；(2)设t,x为实数，若t+cosx,i【答案】(1)z=1+2(2)2【分析】（1）设z=a+bi(a,b∈R)，可求z=a−bi，由条件可得6a−2bi（2）由题意可求t+cosx−sin【详解】（1）设复数z=a+bi(a,b∈R，i因为2,z解得a=1，b=2，可得z=1+2i（2）t+cos由题意可得t+cos当sinx−π4=1一、单选题1．（23-24高一下·江苏连云港·期中）复数6+5i与−3+4i分别表示向量OA与OB，则表示向量A．3+9i B．−9−i C．9+i【答案】C【分析】根据BA=【详解】复数6+5i与−3+4i分别表示向量OA与因为BA=OA−OB，所以表示向量故选：C.2．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）若z1=13−3i，zA．9−4i B．9−2i C．−9+4i【答案】A【分析】直接利用复数的减法运算求解.【详解】若z1=13−3i，z故选：A.3．（23-24高一下·河北·期中）已知z−3i=4−iA．2 B．4 C．-2 D．2【答案】A【分析】根据复数的有关概念直接得出结果.【详解】因为z−3i=4−则z的虚部为2.故选：A4．（22-23高一下·广西·期末）已知a，b∈R，a+3i+A．－4 B．7 C．－8 D．6【答案】D【分析】根据复数相等列出方程组，解出a,b再计算即可.【详解】因为a+3i+2−所以a+2=5b=2，解得a=3b=2，所以故选：D5．（22-23高一下·四川凉山·期末）复数z在复平面内对应的点为2,−1，则复数z−3=（

）A．1+i B．1−i C．−1+i【答案】D【分析】根据复数的几何意义表示出z，再根据复数的运算法则计算可得.【详解】复数z在复平面内对应的点为2,−1，则z=2−i，所以z−3=−1−故选：D．6．（22-23高一下·陕西商洛·期末）若复数z1=2+3i，zA．−1+2i B．1+2i C．−1−2i【答案】A【分析】根据复数的减法运算，即可得答案.【详解】因为z1=2+3i，z故选：A7．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）实数m>1时，复数m3+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先将复数化为一般形式，结合m的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案.【详解】∵m又m>1，故3m−2>1>0,m−1>0,故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.8．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知z1,z2∈C，zA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解.【详解】在复平面中，设z1,z由题意可得OZ1=因为OZ即3+OZ1−O故选：B.二、多选题9．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知复数z满足z+4−iA．z的虚部为−2B．z−2为纯虚数C．若z与复数a2+3a+a2D．z在复平面内对应的点位于第一象限【答案】AD【分析】首先化简复数z，再根据复数的概念及复数的几何意义判断即可.【详解】因为z+4−i=8+i所以z=4−2i，则z的虚部为又z−2=2+2i，所以z−2若z与复数a2+3a+a2+5a+6i复数z在复平面内对应的点为4,2，位于第一象限，故D正确.故选：AD10．（22-23高一下·湖南岳阳·期末）已知复数z=3−4iA．z=5 B．zC．z−3+4i是纯虚数 D．复数z的共轭复数为【答案】AD【分析】根据复数的模长、虚部、运算、共轭复数逐项判断即可.【详解】复数z=3−4i，所以zz的虚部为−4，故B不正确；z−3+4i复数z的共轭复数是z=3+4故选：AD.11．（22-23高一下·广东广州·期中）设复数z1=1−i，zA．z2是纯虚数 B．zC．z1−z【答案】AD【分析】根据复数的概念判断A；算出z1−z2判断B；算出【详解】对于A：z2对于B：z1−z对于C：z1−z对于