北师大版2024-2025学年六年级数学下册培优精练-第二单元比例思维素养篇(课堂与奥数)(学生版+解析)

2024-2025学年六年级数学下册培优精练「北师大版」第二单元比例·思维素养篇【从课内到奥数】【课内精选一】比例的意义和基本性质（一）。判断下面哪组中的两个比可以组成比例，在能组成比例的括号里画“√”。（1）2.1∶3和1.4∶2()

（2）∶和∶()（3）10∶5和6.5∶325()（4）72∶9和8∶1()【专项训练】1．下面哪组中的两个比能组成比例？如果能，把组成的比例写出来；如果不能，在括号里打“×”。（1）14∶7和12∶4()（2）∶和∶()（3）3.2∶0.4和∶()（4）∶和∶2.5()2．给5、、0.8再配上一个数，使这四个数组成比例，这个数最大是()。3．写出比值是0.8的两个比：()和()，把它们组成比例是()。【课内精选二】比例的意义和基本性质（二）。如果5a＝3b（a、b均不为0），那么a∶b＝()∶()。【专项训练】1．如果（、均不等于0），那么()，比少()%。2．如果5甲＝4乙，那么，甲∶乙＝()，甲比乙少。3．已知A×＝B×（A、B不为0），A∶B最简单的整数比是()，比值是()。【课内精选三】比例的意义和基本性质（三）。在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是2，另一个内项是()。【专项训练】1．在一个比例中，两个内项的积是10，一个外项是4，另一个外项是()。2．把5∶3＝20∶12的内项3增加6，要使比例仍然成立，外项12应该增加()。3．在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项增加30，第二个比的后项应该加上()才能使比例成立。【奥数拓展一】比例的应用（一）。六(1)班有44人，男生人数的与女生人数的相等，六(1)班男生与女生各有多少人?【专项训练】1.甲、乙两堆煤共重102吨，甲堆的与乙堆的相等，甲、乙两堆煤各有多少吨?2.甲、乙两个学生，甲比乙多走的路程，而乙比甲走的时间少，甲、乙两人的速度比是多少?3.某裁缝做一件童装、一条裤子、一件上衣所用时间之比为1:2:3，他一天共能做2件童装、3条裤子、4件上衣，那么他做2件上衣、10条裤子、14件童装需多少天?【奥数拓展二】比例的应用（二）。新光村2020年旱田与水田的比是5:3，去年将2800公顷旱田改成水田后，旱田与水田的比是1:2，新光村共有水、旱田多少公顷?【专项训练】1.甲、乙两个仓库存放货物的吨数比为4:3，如果由甲库中取出8吨放到乙库中，那么甲、乙两个仓库存放货物吨数比为4:5，两个仓库原来存放货物共有多少吨?2.甲、乙两个建筑队原有水泥的质量比为4:3，当甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队水泥的质量比变为3:4，原来甲队有多少水泥?3.学校数学社团有两个小组，第一小组与第二小组人数比是5:3，如果第一小组的14人转到第二小组，那么第一小组与第二小组的人数比就是1:2，原来两个小组各有多少人?【奥数拓展三】比例的应用（三）。大学生小张与小李这个月的零花钱之比为8:5，本月开支的钱数之比为8:3，月底小张节余720元，小李节余810元，那么本月每人零花钱各有多少元?【专项训练】1.有两袋大米共重220千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲袋米的质量与乙袋米的质量之比为8:5，甲袋米原来重多少千克?乙袋米原来重多少千克?2.小明和小强原有书的数量之比为5:4，小明又买来24本，小强丢了6本，现在两人的书之比为2:1，那么，小明原来有书多少本?3.水果店运来西瓜个数与白兰瓜个数的比是7:5，如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个，水果店运来西瓜多少个?【奥数拓展四】比例的应用（四）。如图1所示，ABCD是一个梯形，上底与下底的比为4:7，E是AD边上的中点，求三角形CDE与四边形ABCE的面积比。【专项训练】1.如图所示，ABCD是一个梯形，上底与下底的比为6:11，E是AD边上的中点，求四边形ABCE与三角形CDE的面积比。2.如图所示，梯形ABCD的上底与下底的比为2:3，AE=2ED，三角形CDE的面积是四边形ABCE的面积的几分之几?3.如图所示，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，则三角形BEF和四边形AEFC的面积之比为多少?【奥数拓展五】比例的应用（五）。如图所示，甲圆和乙圆的面积之和是丙圆面积的，甲圆内阴影部分面积占甲圆面积的，乙圆内阴影部分面积占乙圆面积的，丙圆内阴影部分面积占丙圆面积的，那么甲、乙两圆面积之比是多少?【专项训练】1.有三个梯形甲、乙、丙，它们的高之比依次为1:2:3，上底之比依次为6:9:4，下底之比依次为12:15:10，已知梯形甲的面积是30平方厘米，那么，乙与丙两个梯形的面积之和为多少平方厘米?2.如图所示，已知直角三角形ABC中，BDEF是一个正方形，AD长4厘米，FC长9厘米，则直角三角形ABC的面积是多少平方厘米?3.平行四边形ABCD中E、F分别为AD、BC上的点，DE=14，CF=12，△DEF比△CDF的面积大13，梯形ABFE面积为143，则△BEF的面积为多少?【奥数拓展六】比例的应用（六）。某工厂学徒中男工占80%，师傅中男工占90%，师徒加起来男工占82%，那么师与徒的人数之比为多少?【专项训练】1.某班在一次数学考试中，平均成绩是88分，男、女生各自的平均成绩分别是85.5分、91分，问这个班男、女生的人数比是多少?2.有两组数，第一组的平均数是13.06，第二组的平均数是10.2，这两组数总的平均数是12.02，那么，第一组数的个数与第二组数的个数的比是多少?3.硬糖每千克51元，软糖每千克89元，要求混合后的糖价为每千克54元，硬、软两种糖应取怎样的质量比才合适?【奥数拓展七】比例的应用（七）。某团体有100名会员，男会员与女会员的人数比为14:11，现在将会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，甲、乙、丙各组男、女会员的人数比分别为12:13、5:3、2:1，求丙组中有多少名男会员。【专项训练】1.一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1:2:3，某人走各段路程所用的时间之比是3:4:5，已知他走平路的速度是每小时5千米，那么他走完全程花了多少时间?2.幼儿园大班和中班共有32个男生，18个女生.已知大班中男生数与女生数的比为5:3，中班中男生数与女生数的比为2:1，那么，大班的女生有多少人?3.某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组的人数之比是10:8:7，如果甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3，那么丙组中男、女会员的人数之比是多少?

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2024-2025学年六年级数学下册培优精练「北师大版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！101数学创作社2025年1月9日目录TOC\o"1-1"\h\u【课内精选一】比例的意义和基本性质（一） 3【课内精选二】比例的意义和基本性质（二） 6【课内精选三】比例的意义和基本性质（三） 8【奥数拓展一】比例的应用（一） 10【奥数拓展二】比例的应用（二） 10【奥数拓展三】比例的应用（三） 11【奥数拓展四】比例的应用（四） 11【奥数拓展五】比例的应用（五） 13【奥数拓展六】比例的应用（六） 14【奥数拓展七】比例的应用（七） 142024-2025学年六年级数学下册培优精练「北师大版」第二单元比例·思维素养篇【从课内到奥数】【课内精选一】比例的意义和基本性质（一）。判断下面哪组中的两个比可以组成比例，在能组成比例的括号里画“√”。（1）2.1∶3和1.4∶2()

（2）∶和∶()（3）10∶5和6.5∶325()（4）72∶9和8∶1()【答案】（1）（√）（2）（

）（3）（

）（4）（√）【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组成比例。【详解】（1）2.1∶3＝2.1÷3＝0.71.4÷2＝0.70.7＝0.7，比值相等，所以2.1∶3和1.4∶2能组成比例；（2）∶＝÷＝×3＝∶＝÷＝×＝≠，比值不相等，所以∶和∶不能组成比例；（3）10∶5＝10÷5＝26.5∶325＝6.5÷325＝0.022≠0.02，比值不相等，所以10∶5和6.5∶325不能组成比例；（4）72∶9＝72÷9＝88∶1＝8÷1＝88＝8，比值相等，所以72∶9和8∶1能组成比例。综上所述，能组成比例的两个比如下：（1）2.1∶3和1.4∶2（√）

（2）∶和∶（

）（3）10∶5和6.5∶325（

）（4）72∶9和8∶1（√）【专项训练】1．下面哪组中的两个比能组成比例？如果能，把组成的比例写出来；如果不能，在括号里打“×”。（1）14∶7和12∶4()（2）∶和∶()（3）3.2∶0.4和∶()（4）∶和∶2.5()【答案】×∶＝∶3.2∶0.4＝∶×【分析】判断两个比能否组成比例，可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例；也可以根据比例的性质：两外项的积等于两内项的积，据此逐个分析即可。【详解】（1）14∶7＝14÷7＝212∶4＝12÷4＝314∶7和12∶4，比值不相等，不能组成比例；（2）∶＝÷＝×＝∶＝÷＝×2＝∶和∶比值相等，可以组成比例；（3）3.2∶0.4＝3.2÷0.4＝8∶＝÷＝×24＝83.2∶0.4和∶比值相等，可以组成比例；（4）∶＝÷＝×＝10.4∶2.5＝÷＝×＝∶和∶2.5比值不相等，不能组成比例。【点睛】此题考查比例性质的运用：验证两个比能否组成比例，就看两内项的积是否等于两外项的积。2．给5、、0.8再配上一个数，使这四个数组成比例，这个数最大是()。【答案】【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积；要使这个数最大，这个数应该和相乘，则内外项之积应是5×0.8＝4，再除以，即可解答。【详解】5×0.8÷＝4÷＝4×＝给5、、0.8再配上一个数，使这四个数组成比例，这个数最大是。3．写出比值是0.8的两个比：()和()，把它们组成比例是()。【答案】4∶58∶104∶5＝8∶10【分析】求比值用比的前项除以后项即可；表示两个比相等的式子叫做比例，据此解答。【详解】4∶5＝4÷5＝0.88∶10＝8÷10＝0.84∶5＝8∶10写出比值是0.8的两个比：4∶5和8∶10，把它们组成比例是4∶5＝8∶10（答案不唯一）。【课内精选二】比例的意义和基本性质（二）。如果5a＝3b（a、b均不为0），那么a∶b＝()∶()。【答案】35【分析】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。【详解】根据比例的基本性质：如果5a＝3b（a、b均不为0），则a∶b＝3∶5。【专项训练】1．如果（、均不等于0），那么()，比少()%。【答案】5∶260【分析】把看作0.4x＝1×y，根据比例的性质求出x与y的比，再化简；根据求一个数比另一个数少百分之几，用两数之差除以另一个数，求出比少百分之几。【详解】把看作0.4x＝1×y所以，x∶y＝1∶0.4＝5∶2假设x＝5，y＝2（5－2）÷5＝3÷5＝0.6＝60%如果（、均不等于0），那么5∶2，比少60%。2．如果5甲＝4乙，那么，甲∶乙＝()，甲比乙少。【答案】4∶5；【分析】比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，根据比例的基本性质的逆运算，求出甲与乙的比；再用甲与乙的差，除以乙，即可解答。【详解】5甲＝4乙甲∶乙＝4∶5（5－4）÷5＝1÷5＝如果5甲＝4乙，那么，甲∶乙＝4∶5，甲比乙少。3．已知A×＝B×（A、B不为0），A∶B最简单的整数比是()，比值是()。【答案】14∶11【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此利用比例的基本性质的逆运算，求出A∶B的整数比；再根据求比值的方法：用比的前项÷比的后项，即可解答。【详解】A×＝B×A∶B＝∶A∶B＝（×77）∶（×77）A∶B＝42∶33A∶B＝（42÷3）∶（33÷3）A∶B＝14∶1114∶11＝14÷11＝已知A×＝B×（A、B不为0），A∶B最简单的整数比是14∶11，比值是。【课内精选三】比例的意义和基本性质（三）。在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是2，另一个内项是()。【答案】0.5【分析】根据比例的基本性质可知，两个内项之积等于两个外项之积。因为两个外项互为倒数，所以乘积为1。则两个内项之积也是1，其中一个内项是2，用1除以2即可求出另一个内项，据此解答。【详解】1÷2＝0.5或者写成分数为，所以，另一个内项是0.5或。【专项训练】1．在一个比例中，两个内项的积是10，一个外项是4，另一个外项是()。【答案】2.5【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，两个内项的积÷一个外项＝另一个外项，据此列式计算。【详解】10÷4＝2.5在一个比例中，两个内项的积是10，一个外项是4，另一个外项是2.5。2．把5∶3＝20∶12的内项3增加6，要使比例仍然成立，外项12应该增加()。【答案】24【分析】根据比例的基本性质，内项3增加6，扩大到原来的3倍；要使比例仍然成立，外项12应该扩大到原来的3倍，再减去12，即可解答。【详解】（3＋6）÷3＝9÷3＝312×3－12＝36－12＝24把5∶3＝20∶12的内项3增加6，要使比例仍然成立，外项12应该增加24。3．在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项增加30，第二个比的后项应该加上()才能使比例成立。【答案】18【分析】先算出第一个比的后项增加30后两内项的积，即（10＋30）×21＝840；根据比例的基本性质可知，两外项的积也是840，用840除以35求出第二个比的后项是24；最后用24减去6求出第二个比的后项应该加几。【详解】（10＋30）×21÷35－6＝40×21÷35－6＝840÷35－6＝24－6＝18所以第二个比的后项应该加上18才能使比例成立。【点睛】明确比例的基本性质是解决此题的关键。【奥数拓展一】比例的应用（一）。六(1)班有44人，男生人数的与女生人数的相等，六(1)班男生与女生各有多少人?解析：六(1)班有男生20人、女生24人。【专项训练】1.甲、乙两堆煤共重102吨，甲堆的与乙堆的相等，甲、乙两堆煤各有多少吨?解析：甲堆煤48吨，乙堆煤54吨。2.甲、乙两个学生，甲比乙多走的路程，而乙比甲走的时间少，甲、乙两人的速度比是多少?解析：甲、乙两人的速度比为21:20。3.某裁缝做一件童装、一条裤子、一件上衣所用时间之比为1:2:3，他一天共能做2件童装、3条裤子、4件上衣，那么他做2件上衣、10条裤子、14件童装需多少天?解析：以做一件童装的时间为单位，裁缝一天干1×2+2×3+3×4=20(时间单位)，做2件上衣、10条裤子、14件童装需3×2+2×10+1×14=40(时间单位)，即需40÷20=2(天)。【奥数拓展二】比例的应用（二）。新光村2020年旱田与水田的比是5:3，去年将2800公顷旱田改成水田后，旱田与水田的比是1:2，新光村共有水、旱田多少公顷?解析：新光村共有水田和旱田9600公顷。【专项训练】1.甲、乙两个仓库存放货物的吨数比为4:3，如果由甲库中取出8吨放到乙库中，那么甲、乙两个仓库存放货物吨数比为4:5，两个仓库原来存放货物共有多少吨?解析：63吨。2.甲、乙两个建筑队原有水泥的质量比为4:3，当甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队水泥的质量比变为3:4，原来甲队有多少水泥?解析：216吨。3.学校数学社团有两个小组，第一小组与第二小组人数比是5:3，如果第一小组的14人转到第二小组，那么第一小组与第二小组的人数比就是1:2，原来两个小组各有多少人?解析：30人；18人。【奥数拓展三】比例的应用（三）。大学生小张与小李这个月的零花钱之比为8:5，本月开支的钱数之比为8:3，月底小张节余720元，小李节余810元，那么本月每人零花钱各有多少元?解析：本月小张的零花钱有2160元，小李有1350元。【专项训练】1.有两袋大米共重220千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲袋米的质量与乙袋米的质量之比为8:5，甲袋米原来重多少千克?乙袋米原来重多少千克?解析：120千克；100千克。2.小明和小强原有书的数量之比为5:4，小明又买来24本，小强丢了6本，现在两人的书之比为2:1，那么，小明原来有书多少本?解析：60本。3.水果店运来西瓜个数与白兰瓜个数的比是7:5，如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个，水果店运来西瓜多少个?解析：336个。【奥数拓展四】比例的应用（四）。如图1所示，ABCD是一个梯形，上底与下底的比为4:7，E是AD边上的中点，求三角形CDE与四边形ABCE的面积比。解析：(7÷2):(4+7÷2)=7:15答：三角形CDE与四边形ABCE的面积比为7:15。【专项训练】1.如图所示，ABCD是一个梯形，上底与下底的比为6:11，E是AD边上的中点，求四边形ABCE与三角形CDE的面积比。解析：23:112.如图所示，梯形ABCD的上底与下底的比为2:3，AE=2ED，三角形CDE的面积是四边形ABCE的面积的几分之几?解析：3.如图所示，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，则三角形BEF和四边形AEFC的面积之比为多少?解析：4:23【奥数拓展五】比例的应用（五）。如图所示，甲圆和乙圆的面积之和是丙圆面积的，甲圆内阴影部分面积占甲圆面积的，乙圆内阴影部分面积占乙圆面积的，丙圆内阴影部分面积占丙圆面积的，那么甲、乙两圆面积之比是多少?解析：1:1【专项训练】1.有三个梯形甲、乙、丙，它们的高之比依次为1:2:3，上底之比依次为6:9:4，下底之比依次为12:15:10，已知梯形甲的面积是30平方厘米，那么，乙与丙两个梯形的面积之和为多少平方厘米?解析：150平方厘米。2.如图所示，已知直角三角形A