2024-2025学年广东省东莞市长安实验中学上学期九年级数学期末试卷

2024—2025学年广东省东莞市长安实验中学上学期九年级数学期末试卷

一、单选题(★★)1.“致中和，天地位焉，万物育焉”．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．(★)2.下列函数中，属于反比例函数的是（）

A．B．C．D．(★)3.若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（）

A．3B．C．4D．(★★)4.二次函数的图象的对称轴是（）

A．直线B．直线C．直线D．直线(★★)5.如图，是的弦，且，若，则的度数为（）

A．B．C．D．(★)6.年月日早上，广州马拉松在天河体育中心鸣枪开跑！名跑者展开公里全程马拉松赛事的争夺．参赛选手们激情开跑的同时，场外一群默默奉献的志愿者为赛事保驾护航．数学老师郑老师报名了本次志愿活动，现有“赛道指引”“物资发放”“集结检录”“人群疏散”四项志愿工作，那么郑老师被随机安排参加“赛道指引”这项志愿工作的概率为（）

A．B．C．D．(★)7.如图，，若，，，则的长为（）

A．8B．6C．4D．9(★★)8.剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（）

A．B．C．D．(★★★)9.物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（）

A．B．C．D．(★★)10.根据所学知识，你推测函数的函数图象最可能是（）

A．B．C．D．二、填空题(★★)11.若方程是一元二次方程，则a的取值范围是_______．(★)12.如图，四边形和相似，已知，，，则____________．(★)13.如图，点O为正五边形的中心，连接，，则的度数为__________．(★★)14.若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是__________（用“”连接）(★★)15.已知：如图，在中，，，．将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段的长度为______．三、解答题(★★)16.解方程：．(★★)17.在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，以原点O为位似中心，在位似中心的异侧画出的一个位似图形，使它与的相似比为．(★★)18.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：．(★)19.如图，在中，为边上一点，，，，求证：．(★★)20.东东的爸爸是蔬菜种植能手，他计划在今年建设连栋大棚种植蔬菜，大棚顶端部分可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为3米，支撑杆米，棚宽米．(1)求抛物线的函数表达式；(2)为了加固棚顶，现需在上方至顶端部分加装2根关于y轴对称的立柱，若两根立柱间的距离为6米，则需要的立柱总长度是多少米？(★★★)21.如图，已知射线垂直于射线，点N在射线上，点P在经过点N且平行于的直线上运动，的平分线交直线于点Q，过点Q作，交于点B，连接交于点C．以点Q为圆心，为半径作圆．(1)判断与的位置关系并证明；(2)若的半径为3，当与相切时，求的长．(★★★★)22.（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：；（2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值；（3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值．(★★★★)23.在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．(1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；(2)矩形A在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的