高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解

高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解对数与对数函数1.对数(1)对数的定义:b如果a=N(a,0，a?1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作logN=b.ab(2)指数式与对数式的关系:a=NlogN=b(a,0，a?1，N,0).,a两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.(3)对数运算性质:?log(MN)=logM+logN.aaaM?log=logM,logN.aaaNn?logM=nlogM.(M,0，N,0，a,0，a?1)aalogNa?对数换底公式:logN=(a,0，a?1，b,0，b?1，N,0).blogba2.对数函数(1)对数函数的定义函数y=logx(a,0，a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的a定义域是(0，+?).注意:真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢,在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义:loga=1;如果a=1或=0那么loga就可以等于一切aa1实数(比如log1也可以等于2，3，4，5，等等)第二，根据定义1yy运算公式:logM^n=nlogM如果a<0,那么这个等式两边就不会成aa立(比如，log4^(-2)就不等于(-2)*log4;一个等于1/16，另(-2)(-2)一个等于-1/16)(2)对数函数的图象logy=xa>1()axxOO1logy=xa1<a<底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.(3)对数函数的性质:(1)0?定义域:(0，+?).?值域:R.?过点(1，0)，即当x=1时，y=0.?当a,1时，在(0，+?)上是增函数;当0,a,1时，在(0，+?)上是减函数.基础例题1.函数f(x)=|logx|的图象是22yy11xx1-11OOAByy11xx11OOlog,,1,xx,CD2解析:f(x)=,,logx,0,x,1.2,,,112.若f(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f(x)的值域为___________________.3.已知f(x)的定义域为,0，1,，则函数y=f,log(3,x),的定义12域是__________.74.若log=z，则x、y、z之间满足yx7z7zA.y=xB.y=xzxC.y=7xD.y=z225.已知1,m,n，令a=(logm)，b=logm，c=log(logm)，则nnnnA.a,b,cB.a,c,bC.b,a,cD.c,a,b6.若函数f(x)=logx(0,a,1)在区间,a，2a,上的最大值是最a小值的3倍，则a等于2211A.B.C.D.424237.函数y,log,ax,1,(a?0)的对称轴方程是x,,2，那么a等2于11A.B.,C.2D.,22228.函数f(x)=log|x|，g(x)=,x+2，则f(x)?g(x)的图象只可2能是yyxxOOAByyxxOOCD,,119.设f(x)是f(x)=log(x+1)的反函数，若,1+f(a),,1+2,1f(b),=8，则f(a+b)的值为A.1B.2C.3D.log3210.方程lgx+lg(x+3)=1的解x=___________________.典型例题1,x(),x,4,,【例1】已知函数f(x)=则f(2+log3)的值为22,,f(x，1),x,4,,1111A.B.C.D.3612244【例2】求函数y,log,x,的定义域，并画出它的图象，指出它的2单调区间.2【例3】已知f(x)=log,3,(x,1),，求f(x)的值域及单调13区间.【例4】已知y=log(3,ax)在,0，2,上是x的减函数，求a的取a值范围.【例5】设函数f(x)=lg(1,x)，g(x)=lg(1+x)，在f(x)和g(x)的公共定义域内比较|f(x)|与|g(x)|的大小.5【例6】求函数y=2lg(x,2),lg(x,3)的最小值.12】(2003年北京宣武第二次模拟考试)在f(x)=x，f(x)【例71212x=x，f(x)=2，f(x)=logx四个函数中，x,x,1时，能使,f3412122x，x12(x)+f(x),,f()成立的函数是212122A.f(x)=xB.f(x)=x12xC.f(x)=2D.f(x)=logx3412探究创新21.若f(x)=x,x+b，且f(loga)=b，log,f(a),=2(a?1).22(1)求f(logx)的最小值及对应的x值;2(2)x取何值时，f(logx),f(1)且log,f(x),,f(1),22,x12.已知函数f(x)=3+k(k为常数)，A(,2k，2)是函数y=f(x)图