高中数学北师大版讲义(必修二)第15讲2.5从力的做功到向量的数量积6种常见考法归类(学生版+解析)

2.5从力的做功到向量的数量积6种常见考法归类课程标准学习目标(1)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．(2)通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．(3)能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．(4)能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．1.理解向量数量积的定义及投影向量；2.掌握向量积的运算律和运算性质.3.学会用坐标表示平面向量的数量积，掌握两点之间的距离公式；4..掌握平面向量的夹角公式；5.能够用数量积判断两个平面向量的垂直关系.6.能够灵活运用向量数量积解决平面几何问题，主要涉及向量长度的计算和向量夹角的计算.知识点01向量的数量积1.定义已知两个非零向量a与b，|a||b|cosθ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为0．2.几何意义b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cosθ的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cosθ的乘积．3.性质(1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉.(2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔a⊥b.(3)a·a＝|a|2，即|a|＝a·(4)cos〈a，b〉＝a·bab(|(5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．4.运算律交换律：a·b＝b·a结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c注：关于向量数量积应注意的问题(1)若向量a与b的夹角为θ，θ＝0时，a与b同向；θ＝π时，a与b反向；θ＝π2时，a⊥b(2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移．(3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cosθ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量．(4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．【即学即练1】已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量等于（）A． B．C． D．1【即学即练2】已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）A．6 B．8 C．10 D．12【即学即练3】若非零向量，，满足，且，则（）A．4 B．3 C．2 D．0【即学即练4】在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝________，eq\o(BC,\s\up7(―→))·eq\o(CA,\s\up7(―→))＝________，eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝________.【即学即练5】在中，，点D在上，，，则（）A．8 B．10 C．12 D．16.知识点02平面向量数量积的坐标表示 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1注：对于a·b＝|a|·|b|·cosθ和a·b＝x1x2＋y1y2，两者无本质区别，计算时根据已知条件选用即可．可用坐标运算的结果判断cosθ的正负．【即学即练6】已知，，则=___________.【即学即练7】设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．12B．0C．－3 D．－11【即学即练8】已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq\r(10)，则a·b＝________.【即学即练9】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4 D．3知识点03两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1注：这个结论与a∥b⇔x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以从平行与垂直的定义理解．设非零向量a，b的起点均为原点O，a的终点为A，b的终点为B，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若a∥b，且x1，x2不为0，则kOA＝kOB，即y1x1＝y2x2，得x2y1－x1y2＝0.垂直则是从数量积的角度理解，若a⊥b，则cosθ＝0(θ为向量a与b的夹角)，a·b＝0，即x【即学即练10】已知向量，且，则_______.【即学即练11】已知向量，，若，则t的值为（）A． B．1 C．2 D．1或2【即学即练12】设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.知识点04向量模的坐标表示1．向量模的坐标表示若a＝(x，y)，则|a|2＝x2+y2，或|a|＝x2在平面直角坐标系中，若OA＝a＝(x，y)，则|OA|＝|a|，即|a|为点A到原点的距离．2．两点间的距离公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝OB−OA＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝注：如何准确把握向量的模的坐标表示与两点间的距离公式(1)向量的长度(或模)是该向量与其自身的数量积的算术平方根，由数量积的坐标公式即可推出向量长度的坐标计算公式；(2)|AB|即为A，B两点间的距离，|AB|的计算公式与解析几何中两点间的距离公式是完全一致的；(3)若已知向量的坐标或表示向量的有向线段的起点和终点的坐标，可分别利用上述两个公式求向量的模，它们在本质上是一致的．3．向量a的单位向量的坐标表示因为向量a的单位向量a0＝±aa若a＝(x，y)，则|a|＝x2+y2，所以a0＝±【即学即练13】已知a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.【即学即练14】设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于()A.eq\r(5)B.eq\r(6)C.eq\r(17) D.eq\r(26)【即学即练15】已知向量，且，，则（）A．3 B． C． D．知识点05两向量夹角余弦的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝a·bab＝x1【即学即练16】已知向量，，则与夹角的大小为_________.【即学即练17】已知向量，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【即学即练18】设向量，，则与夹角的余弦值为（）A．0 B． C． D．1【即学即练19】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．题型一：向量数量积的计算及其几何意义例1．（2024高一下·江西上饶·阶段练习）在等腰梯形中，，，则下列各组向量夹角为的是（

）A．与 B．与C．与 D．与变式1．（2024高一下·北京顺义·阶段练习）若均为非零向量，则是与共线的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件例2．（2024高一下·河南·阶段练习）已知向量与的夹角为60°，其中，，则（

）A．6 B．5 C．3 D．2变式1．（2024高一下·湖北武汉·阶段练习）在中，，，为的中点，且，则的值为（

）A． B． C． D．0变式2．（2024高二上·四川成都·开学考试）在中，，M是边的中点，O为的外心，则（

）A．8 B． C．16 D．17变式3．（2024高三上·北京海淀·阶段练习）在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．题型二：求向量的模例3．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，若，，与的夹角为，则＝（）A．6 B．C．3 D．变式1．（2024高三下·安徽滁州·阶段练习）已知向量满足，则（

）A．3 B． C．7 D．变式2．（2024高三下·四川·期末）已知向量、、满足，，且，则（

）A． B． C． D．变式3．（2024高三·陕西西安·阶段练习）若向量与的夹角为，，则等于（

）A．2 B．4 C．6 D．12变式4．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（

）A．1 B．3 C．2 D．变式5．（2024高一下·河南焦作·期中）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（

）A． B． C．2 D．【方法技巧与总结】求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2题型三：向量的夹角与垂直问题（一）求向量的夹角例4．（2024高三上·山东烟台·期末）已知，则向量与夹角的大小为（

）A． B． C． D．变式1．（2024高一下·全国·专题练习）已知非零向量,满足，且则的夹角为（

）A．45° B．135°C．60° D．120°变式2．（2024高三下·重庆·开学考试）已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．变式3．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，满足，，，则（）A． B．C． D．变式4．（2024·四川巴中·一模）已知向量，满足，，，则（

）A． B． C． D．（二）已知两向量的夹角求相关参数的值例5．（2024高三·全国·专题练习）已知，，与的夹角为60°．若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．变式1．（2024高一下·陕西渭南·期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．变式2．（2024高一下·北京海淀·期末）已知向量，是两个单位向量，则“为锐角”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件（

）C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件变式3．（2024高三上·北京怀柔·阶段练习）已知平面向量，满足，与的夹角为，若与的夹角为钝角，则一个满足条件的的值可以为．变式4．（2024高一下·山东泰安·阶段练习）设两个向量满足．(1)若，求的夹角；(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围．变式5．（2024高一下·天津·期末）已知.求：(1)与的夹角；(2)；(3)若与夹角为钝角，求的取值范围.（三）向量垂直的问题例6．（2024高一·江苏·专题练习）已知且向量与互相垂直，则k的值为（

）A． B．C． D．1变式1．（2024高一下·全国·专题练习）已知，，，且与垂直，则.变式2．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知向量、满足，，与的夹角为，若，则.变式3．（2024高一·江苏·专题练习）已知是非零向量，当的模取最小值时，求证：．变式4．（2024高一·江苏·专题练习）已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t＝．变式5．（2024高二上·全国·阶段练习）已知向量、的夹角为．(1)求·的值(2)当时，对于任意的，证明，和都垂直．【方法技巧与总结】1、求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cosθ＝a·bab求cosθ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cosθ有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|2、向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用数量积的运算律代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．题型四：平面向量数量积的坐标运算例7．（2024高一下·甘肃张掖·阶段练习）已知，则等于（）A．10 B． C．3 D．变式1．（2024高三上·青海西宁·期末）已知向量，，则（

）A． B．1 C． D．2变式2．（2024高一下·全国·专题练习）若向量，，，且满足条件，则（

）A．6 B．5C．4 D．3变式3．（2024高一下·全国·课后作业）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，，则.变式4．（2024高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，且.(1)求的值；(2)求的取值范围；(3)记函数，若的最小值为，求实数的值.变式5．（2024高三上·河南·专题练习）已知向量，函数．(1)求函数的最小正周期；(2)当时，求函数的最值．【方法技巧与总结】向量数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，看到题目中的直角条件要敏锐地产生建系的想法，并写出相应点的坐标求解．题型五：平面向量共线、垂直的坐标表示的应用例8．（2024高一上·浙江绍兴·期末）已知向量，，且，则（

）A． B．2 C． D．变式1．（2024高三上·湖南常德·期末）已知向量，，若，则的值为（

）A． B． C． D．变式2．（2024·福建漳州·模拟预测）已知向量，向量，向量，若与共线，，则（

）A． B．C． D．变式3．【多选】（2024高一下·云南红河·开学考试）已知向量，则下列结论正确的是（

）.A． B．C． D．变式4．【多选】（2024高三上·浙江金华·期末）设平面向量，，（

）A．若，则 B．若，则C．， D．，使【方法技巧与总结】根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0或a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可．题型六：平面向量的模与夹角（一）向量的模例9．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，则.变式1．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，，且，则（）A． B．5C． D．变式2．（2024高三上·全国·阶段练习）已知且，则．变式3．（2024高一下·湖南岳阳·期末）设，向量，，且，则（

）A． B． C．10 D．变式4．（2024高一下·全国·专题练习）设向量，且，则，.变式5．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，则四边形的面积为（

）A． B． C．2 D．15（二）向量的夹角例10．（2024高三上·辽宁·期中）已知向量，，，则（

）

A． B． C． D．变式1．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，，则向量，的夹角为（）A． B．C． D．变式2．（2024高一下·全国·专题练习）已知菱形中，，点为上一点，且，则的余弦值为.变式3．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，且与夹角的余弦值为，则.变式4．（2024高三下·陕西安康·开学考试）已知向量，，，，则（

）A． B． C． D．变式5．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围．（三）三角形形状的判断例11．（2024高一下·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（

）A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形变式1．（2024高一下·吉林长春·阶段练习）在中，下列命题正确的个数是（

）①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4变式2．（2024高一下·山西朔州·期末）在中，下列说法错误的是（

）A．“”是“A为直角”的充要条件B．“”是“A为锐角”的充要条件C．“”是“是锐角三角形”的充分不必要条件D．“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件变式3．（2024高三上·山东济南·期末）已知非零向量，满足，且，则为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【方法技巧与总结】1.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x22.根据向量的夹角求参数：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0≤θ≤π，且cosθ＝a·bab，故当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|；当0<θ<π2时，a·b>0且a·bab<1；当θ＝π2时，a·b＝0；当π2<θ<π时，a·b<0且a3.判断三角形的形状要两判一判三角形三边所在的向量两两数量积的大小．二判三角形三边边长的关系．一、单选题1．（2024高一下·湖南益阳·阶段练习）已知，，，则向量在向量方向上的投影向量是（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知点是边长为2的正三角形的重心，则（

）A．1 B． C．2 D．3．（2024高一下·山东滨州·开学考试）已知，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．（2024高三上·全国·竞赛）平面向量，则（

）A．3 B．5 C．7 D．115．（2024高一·全国·专题练习）若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形6．（2024·四川成都·二模）在中，“”是“是钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2024高一·江苏·专题练习）已知平面向量与的夹角为60°，||＝2，||＝4，则|＋4|＝（

）A．10 B．2C．10 D．48．（2024高三下·重庆·阶段练习）已知向量，且，则（

）A． B．2 C． D．二、多选题9．（2024高一上·浙江绍兴·期末）下面给出的关系式中，不正确的是（

）A． B．C． D．10．（2024高一下·湖南长沙·开学考试）已知向量，，下列说法正确的是（

）A． B．C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量在向量上的投影向量为11．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量则下列说法正确的是（

）A．的相反向量是B．若，则C．在上的投影向量为D．若，则12．（2024高三下·浙江·开学考试）已知向量，则下列结论正确的是（

）A． B．与的夹角为C． D．在上的投影向量是三、填空题13．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，若，则.14．（2024高一下·广西南宁·开学考试）已知向量，满足，，则．15．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量,,若,则．16．（2024高一下·江苏·专题练习）已知，是单位向量，，．若，则与的夹角为．四、解答题17．（2024高一下·江苏·专题练习）已知向量.(1)求的值；(2)若，求的值.18．（2024高一下·北京·期中）已知向量和，则,,求：(1)的值；(2)的值；(3)与的夹角θ的余弦值．19．（2024高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量，，．(1)求(2)若，求实数的值．20．（2024高一下·全国·专题练习）已知.(1)设的夹角为θ，求cosθ的值；(2)若向量与互相垂直，求k的值.21．（2024高一下·全国·专题练习）已知非零向量，满足，且.(1)求；(2)当时，求和向量与的夹角的值．2.5从力的做功到向量的数量积6种常见考法归类课程标准学习目标(1)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．(2)通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．(3)能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．(4)能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．1.理解向量数量积的定义及投影向量；2.掌握向量积的运算律和运算性质.3.学会用坐标表示平面向量的数量积，掌握两点之间的距离公式；4..掌握平面向量的夹角公式；5.能够用数量积判断两个平面向量的垂直关系.6.能够灵活运用向量数量积解决平面几何问题，主要涉及向量长度的计算和向量夹角的计算.知识点01向量的数量积1.定义已知两个非零向量a与b，|a||b|cosθ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为0．2.几何意义b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cosθ的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cosθ的乘积．3.性质(1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉.(2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔a⊥b.(3)a·a＝|a|2，即|a|＝a·(4)cos〈a，b〉＝a·bab(|(5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．4.运算律交换律：a·b＝b·a结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c注：关于向量数量积应注意的问题(1)若向量a与b的夹角为θ，θ＝0时，a与b同向；θ＝π时，a与b反向；θ＝π2时，a⊥b(2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移．(3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cosθ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量．(4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．【即学即练1】已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量等于（）A． B．C． D．1【解析】由条件可得，故选：D【即学即练2】已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）A．6 B．8 C．10 D．12【解析】由题设，.故选：B.【即学即练3】若非零向量，，满足，且，则（）A．4 B．3 C．2 D．0【解析】因为非零向量，所以存在实数使得，又因为，所以，故选：D．【即学即练4】在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝________，eq\o(BC,\s\up7(―→))·eq\o(CA,\s\up7(―→))＝________，eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝________.【解析】由题意，得|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝4，|eq\o(BC,\s\up7(―→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up7(―→))|＝4eq\r(2)，所以eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝4×4×cos90°＝0，eq\o(BC,\s\up7(―→))·eq\o(CA,\s\up7(―→))＝4×4eq\r(2)×cos135°＝－16，eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝4eq\r(2)×4×cos135°＝－16.【即学即练5】在中，，点D在上，，，则（）A．8 B．10 C．12 D．16.【解析】在中，因为，所以，所以.故选：C．知识点02平面向量数量积的坐标表示 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1注：对于a·b＝|a|·|b|·cosθ和a·b＝x1x2＋y1y2，两者无本质区别，计算时根据已知条件选用即可．可用坐标运算的结果判断cosθ的正负．【即学即练6】已知，，则=___________.【解析】由题意可知：【即学即练7】设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．12B．0C．－3 D．－11【解析】∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.【即学即练8】已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq\r(10)，则a·b＝________.【解析】因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝eq\r(－22＋－62)＝2eq\r(10).又|b|＝eq\r(10)，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos60°＝2eq\r(10)×eq\r(10)×eq\f(1,2)＝10.答案：10【即学即练9】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4 D．3【解析】由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.知识点03两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1注：这个结论与a∥b⇔x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以从平行与垂直的定义理解．设非零向量a，b的起点均为原点O，a的终点为A，b的终点为B，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若a∥b，且x1，x2不为0，则kOA＝kOB，即y1x1＝y2x2，得x2y1－x1y2＝0.垂直则是从数量积的角度理解，若a⊥b，则cosθ＝0(θ为向量a与b的夹角)，a·b＝0，即x【即学即练10】已知向量，且，则_______.【解析】因为，且，所以，解得.故答案为：【即学即练11】已知向量，，若，则t的值为（）A． B．1 C．2 D．1或2【解析】因为向量，，所以，因为，所以，解得：，故选：A.【即学即练12】设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.【解析】(a＋λb)⊥(a－λb)⇒(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.答案：±3知识点04向量模的坐标表示1．向量模的坐标表示若a＝(x，y)，则|a|2＝x2+y2，或|a|＝x2在平面直角坐标系中，若OA＝a＝(x，y)，则|OA|＝|a|，即|a|为点A到原点的距离．2．两点间的距离公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝OB−OA＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝注：如何准确把握向量的模的坐标表示与两点间的距离公式(1)向量的长度(或模)是该向量与其自身的数量积的算术平方根，由数量积的坐标公式即可推出向量长度的坐标计算公式；(2)|AB|即为A，B两点间的距离，|AB|的计算公式与解析几何中两点间的距离公式是完全一致的；(3)若已知向量的坐标或表示向量的有向线段的起点和终点的坐标，可分别利用上述两个公式求向量的模，它们在本质上是一致的．3．向量a的单位向量的坐标表示因为向量a的单位向量a0＝±aa若a＝(x，y)，则|a|＝x2+y2，所以a0＝±【即学即练13】已知a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.【解析】因为a＋b＝(－1，eq\r(3))，所以|a＋b|＝eq\r(－12＋\r(3)2)＝2.答案：2【即学即练14】设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于()A.eq\r(5)B.eq\r(6)C.eq\r(17) D.eq\r(26)【解析】∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝eq\r(5).【即学即练15】已知向量，且，，则（）A．3 B． C． D．【解析】向量，由得：，即，由得：，即，于是得，，，所以.故选：B知识点05两向量夹角余弦的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝a·bab＝x1【即学即练16】已知向量，，则与夹角的大小为_________.【解析】设与夹角为，则由已知得，∵，∴.故答案为：.【即学即练17】已知向量，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【解析】因为，所以，又因为，设与的夹角为，，所以，即，解得，故，故选：A.【即学即练18】设向量，，则与夹角的余弦值为（）A．0 B． C． D．1【解析】，则.故选：B【即学即练19】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．【解析】设a与b的夹角为θ，则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cosθ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－eq\f(1,2).(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cosθ<0且cosθ≠－1，所以a·b<0且a与b不反向．由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－eq\f(1,2)，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．所以λ的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ>0，且cosθ≠1，所以a·b>0且a，b不同向．由a·b>0，得λ>－eq\f(1,2)，由a与b同向得λ＝2.所以λ的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．题型一：向量数量积的计算及其几何意义例1．（2024高一下·江西上饶·阶段练习）在等腰梯形中，，，则下列各组向量夹角为的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】B【分析】根据向量夹角的概念结合等腰梯形的几何性质，即可判断出答案.【详解】由题意可得与的夹角为，A错误；如图，作，交与于E，则，故与的夹角，B正确；由于，故与的夹角等于与的夹角，即为，C错误；与的夹角为，D错误；故选：B变式1．（2024高一下·北京顺义·阶段练习）若均为非零向量，则是与共线的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】由，可得，而与共线意味着或，由此即可得解.【详解】一方面：由，可得，此时与共线;另一方面：由与共线，可得或，此时有或，即此时不一定成立.结合以上两方面有是与共线的充分不必要条件.故选：A.例2．（2024高一下·河南·阶段练习）已知向量与的夹角为60°，其中，，则（

）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】C【分析】根据向量数量积公式，即可求解.【详解】.故选：C变式1．（2024高一下·湖北武汉·阶段练习）在中，，，为的中点，且，则的值为（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】设，由，根据三角形的面积公式，求得，得，进而得到答案.【详解】如图所示，因为点为的中点，可得，设，可得，解得，所以，所以，所以.故选：D.

变式2．（2024高二上·四川成都·开学考试）在中，，M是边的中点，O为的外心，则（

）A．8 B． C．16 D．17【答案】B【分析】根据题意可将向量数量积转化到向量上去，再代入数据即可计算得出结论.【详解】由题意，取的中点为，连接，如下图所示：

易知，；可得，又，同理；所以故选：B变式3．（2024高三上·北京海淀·阶段练习）在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设的中点分别为，连接，根据外心的性质可得，，结合三点共线设，进而运算求解即可.【详解】设的中点分别为，连接，则，可得，同理可得，因为在线段上，设，则，所以的取值范围是.故选：B.【点睛】关键点睛：1.对于外心的数量积问题，常借助于外心的性质结合中点分析求解；2.对于三点共线常结合结论：若三点共线，则，且，分析求解.【方法技巧与总结】向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．题型二：求向量的模例3．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，若，，与的夹角为，则＝（）A．6 B．C．3 D．【答案】A【分析】由数量积公式结合得出答案.【详解】∵向量，，与的夹角为，∴，∴.故选：A.变式1．（2024高三下·安徽滁州·阶段练习）已知向量满足，则（

）A．3 B． C．7 D．【答案】B【分析】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】∵向量满足，，，，.故选：B变式2．（2024高三下·四川·期末）已知向量、、满足，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为，，且，则，可得，所以，，故.故选：B.变式3．（2024高三·陕西西安·阶段练习）若向量与的夹角为，，则等于（

）A．2 B．4 C．6 D．12【答案】C【分析】根据向量数量积运算化简已知条件，从而求得.【详解】因为，，解得（负根舍去）.故选：C变式4．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（

）A．1 B．3 C．2 D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得.【详解】将两边同时平方，得，而，，，因此，即依题意，又，所以.故选：A变式5．（2024高一下·河南焦作·期中）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由取得最小值得点为线段的中点，由得，由配方可得答案.【详解】当时，取得最小值，因为，所以此时点为线段的中点，因为，所以，故，则，因为，故．故选：B.【方法技巧与总结】求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2题型三：向量的夹角与垂直问题（一）求向量的夹角例4．（2024高三上·山东烟台·期末）已知，则向量与夹角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的数量积公式，求解即可.【详解】结合题意：设向量与夹角为，，因为，所以，解得.因为，所以.故选：B.变式1．（2024高一下·全国·专题练习）已知非零向量,满足，且则的夹角为（

）A．45° B．135°C．60° D．120°【答案】B【分析】由向量垂直计算得，再利用夹角公式求解.【详解】根据题意，设的夹角为θ，因为，，所以,变形可得,则.又，所以θ＝135°.故选:B.变式2．（2024高三下·重庆·开学考试）已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据投影向量、向量数量积等知识求得正确答案.【详解】设与的夹角为，在上的投影向量为所以，所以，所以为钝角，且.故选：A变式3．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，满足，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】借助向量数量积的计算及夹角公式计算即可得.【详解】，，故.故选：D.变式4．（2024·四川巴中·一模）已知向量，满足，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将平方，求出的值，即可求得以及的值，根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意知向量，满足，，，故，即，则，，故，故选：A（二）已知两向量的夹角求相关参数的值例5．（2024高三·全国·专题练习）已知，，与的夹角为60°．若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【答案】【分析】先求得，根据向量的夹角为锐角，得到且，不共线，由此列式来求得的取值范围.【详解】由题意知，，∵与的夹角为锐角，∴且，不共线，假设，共线，则存在实数，使得，由题知，，不共线，∴，∴，∴若，不共线，则．，即，∴，即，得．综上，且，∴的取值范围为．变式1．（2024高一下·陕西渭南·期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量夹角为锐角可知且不同向，由此可构造不等式组求得结果.【详解】的夹角为锐角，且不同向，，解得：且，实数的取值范围为.故选：B.变式2．（2024高一下·北京海淀·期末）已知向量，是两个单位向量，则“为锐角”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件（

）C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量的夹角得出差向量的模长判断充分条件,举反例判断必有条件即得.【详解】已知向量，是两个单位向量，设，夹角为，所以，，，“为锐角”是“”的充分条件成立；时，即时，，，不为锐角，所以“为锐角”是“”的不必要条件．故A正确．故选：A.变式3．（2024高三上·北京怀柔·阶段练习）已知平面向量，满足，与的夹角为，若与的夹角为钝角，则一个满足条件的的值可以为．【答案】（答案不唯一，只要满足即可）【分析】由题意可得且这两个向量不共线，再结合数量积的运算律及平面向量共线定理即可得解.【详解】因为，与的夹角为，所以，因为与的夹角为钝角，所以且这两个向量不共线，，解得，当时，存在唯一实数，使得，所以，所以，又不共线，所以，综上所述，，所以满足条件的的值可以为.故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可）变式4．（2024高一下·山东泰安·阶段练习）设两个向量满足．(1)若，求的夹角；(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围．【答案】(1)(2)且【分析】（1）先由可求，再用向量夹角余弦的公式可得，则的夹角可求.（2）由向量与的夹角为钝角，可得且与不共线，再求解相应不等式即可.【详解】（1）又即又（2）的夹角为且向量与的夹角为钝角且与不共线即解得：且实数t的取值范围且变式5．（2024高一下·天津·期末）已知.求：(1)与的夹角；(2)；(3)若与夹角为钝角，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据向量的运算法则，列出方程，求得，即可求解；（2）根据题意，求得，即可求得的值；（3）由与夹角为钝角，得到且与不共线，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）因为，可得，即，解得，又因为的取值范围为，可得.（2）由，且，可得所以.（3）若与夹角为钝角，则满足且与不共线所以，即，解得，令，可得，解得，综上可得且，即求的取值范围.（三）向量垂直的问题例6．（2024高一·江苏·专题练习）已知且向量与互相垂直，则k的值为（

）A． B．C． D．1【答案】B【分析】根据向量垂直时数量积为0，结合数量积的运算律，列方程求解，即可求得答案.【详解】因为向量与互相垂直，所以．所以，因为，所以，所以，解得，故选：B变式1．（2024高一下·全国·专题练习）已知，，，且与垂直，则.【答案】【分析】由平面向量的数量积及向量垂直的充要条件即可求解.【详解】，与垂直，，∴.故答案为：.变式2．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知向量、满足，，与的夹角为，若，则.【答案】/【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.【详解】因为，，与的夹角为，所以.因为，所以，解得.故答案为：.变式3．（2024高一·江苏·专题练习）已知是非零向量，当的模取最小值时，求证：．【答案】证明见解析【分析】根据题意，由平面向量的模长公式，代入计算，即可证明.【详解】因为，所以当时，有最小值．此时，所以．变式4．（2024高一·江苏·专题练习）已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t＝．【答案】2【分析】结合，将向量等式两边与作数量积，再利用向量数量积的定义式展开就算即得.【详解】将的两边分别与作数量积得：化简得：，即，解得：故答案为：2.变式5．（2024高二上·全国·阶段练习）已知向量、的夹角为．(1)求·的值(2)当时，对于任意的，证明，和都垂直．【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】（1）根据数量积的定义运算求解；（2）根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解.【详解】（1）．（2）当时，，

则，与实数的值无关，即当时，对于任意的，和都垂直．【方法技巧与总结】1、求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cosθ＝a·bab求cosθ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cosθ有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|2、向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用数量积的运算律代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．题型四：平面向量数量积的坐标运算例7．（2024高一下·甘肃张掖·阶段练习）已知，则等于（）A．10 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.【详解】由向量，可得，所以.故选：B.变式1．（2024高三上·青海西宁·期末）已知向量，，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根据向量运算的坐标表示求得正确答案.【详解】.故选：A变式2．（2024高一下·全国·专题练习）若向量，，，且满足条件，则（

）A．6 B．5C．4 D．3【答案】C【分析】代入向量的运算公式，即可求解.【详解】因为，，所以，，则，解得：.故选：C变式3．（2024高一下·全国·课后作业）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，，则.【答案】【分析】建系，根据平面向量的坐标运算求解.【详解】建立平面直角坐标系如图所示，则，因为，则，可得，所以.故答案为：.变式4．（2024高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，且.(1)求的值；(2)求的取值范围；(3)记函数，若的最小值为，求实数的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用数量积结合两角和的余弦公式求的值；（2）平方再开方，结合角的范围求的取值范围；（3）把前面的结果代入，换元后得二次函数，利用对称轴和所得区间的关系讨论得解.【详解】（1）向量，，.（2），，，，，所以的取值范围为.（3）由（1）（2）可知，函数，令，则，，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为，当，即时，最小值为，解得（舍去）；当，即时，最小值为，解得或（舍去）；当，即时，最小值为.综上可知，.变式5．（2024高三上·河南·专题练习）已知向量，函数．(1)求函数的最小正周期；(2)当时，求函数的最值．【答案】(1)(2)最大值0，最小值【分析】（1）根据数量积的定义，两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数解析式，再由正弦型函数周期公式求函数周期；（2）利用不等式性质求的范围，再由正弦函数和一次函数性质求函数的最值．【详解】（1）由已知得，，所以的最小正周期；（2）当时，，，则，当，即时，函数有最大值；当，即，函数有最小值．【方法技巧与总结】向量数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，看到题目中的直角条件要敏锐地产生建系的想法，并写出相应点的坐标求解．题型五：平面向量共线、垂直的坐标表示的应用例8．（2024高一上·浙江绍兴·期末）已知向量，，且，则（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由，可得，计算即可得的值.【详解】由，故，故.故选：D.变式1．（2024高三上·湖南常德·期末）已知向量，，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得，即，代入即可求解．【详解】已知向量，，若，则，即，则的值为．故选：D．变式2．（2024·福建漳州·模拟预测）已知向量，向量，向量，若与共线，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量共线以及垂直的坐标表示，列出关于的方程组，求解即可.【详解】因为与共线，所以，解得.又，所以，解得，所以，所以.故选：C.变式3．【多选】（2024高一下·云南红河·开学考试）已知向量，则下列结论正确的是（

）.A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用向量平行与垂直的坐标表示，对选项逐一分析判断即可得解.【详解】因为，对于AB，，则，故A正确，B错误；对于C，，，则，则，故C正确；对于D，，显然，则，故不成立，故D错误.故选：AC.变式4．【多选】（2024高三上·浙江金华·期末）设平面向量，，（

）A．若，则 B．若，则C．， D．，使【答案】ABC【分析】利用向量垂直，平行的充分必要条件得到ABD，利用向量的模长和二次函数得到C即可.【详解】A：当时，，故A正确；B：若，，，所以，所以，故B正确；C：，故C正确；D：若，则，等式不成立，故D错误.故选：ABC【方法技巧与总结】根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0或a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可．题型六：平面向量的模与夹角（一）向量的模例9．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，则.【答案】【分析】根据向量的坐标运算，求得，结合模的坐标运算，即可求解.【详解】由向量，，所以，所以.故答案为：.变式1．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，，且，则（）A． B．5C． D．【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标运算求出，再根据向量加减的坐标运算和向量模的计算公式即可.【详解】由，可得，代入坐标运算可得，解得，所以，得，故选：B．变式2．（2024高三上·全国·阶段练习）已知且，则．【答案】【分析】由数量积的坐标运算可求得，由此可计算得到所求模长．【详解】．故答案为：变式3．（2024高一下·湖南岳阳·期末）设，向量，，且，则（

）A． B． C．10 D．【答案】D【分析】根据题意，列出方程求得，结合向量的坐标运算，即可求解.【详解】由向量，，因为，可得，解得，所以，所以.故选：D.变式4．（2024高一下·全国·专题练习）设向量，且，则，.【答案】【分析】由，化简得到，列出方程求得，再由向量模的坐标运算公式，即可求解.【详解】由向量且，可得，所以，则，解得，所以，所以，则.故答案为：；.变式5．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，则四边形的面积为（

）A． B． C．2 D．15【答案】D【分析】设相交于点，首先证明四边形对角线互相垂直，从而由即可得解.【详解】因为，所以，即四边形对角线互相垂直，设相交于点，则．故选：D．（二）向量的夹角例10．（2024高三上·辽宁·期中）已知向量，，，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及夹角公式求解即可.【详解】因为，所以．故选：A.变式1．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，，则向量，的夹角为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量线性运算的坐标运算，结合向量夹角公式可得解.【详解】由，，可知，所以，，且，设，的夹角为，则，又因为，所以，故选：B.变式2．（2024高一下·全国·专题练习）已知菱形中，，点为上一点，且，则的余弦值为.【答案】【分析】建立如图平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示和数量积的定义与坐标表示计算即可求解.【详解】设与交于点，以为坐标原点，，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，所以，有，则.故答案为：变式3．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，且与夹角的余弦值为，则.【答案】1或【分析】利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出.【详解】因为，，，，显然，故有：，解得或故答案为：1或.变式4．（2024高三下·陕西安康·开学考试）已知向量，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量夹角的坐标运算可构造方程求得结果.【详解】，，，由得：，，解得：.故选：C.变式5．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围．【答案】【分析】转化为并去掉两向量共线反方向的情况.【详解】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线（反向），则，解得，当时，，解得，此时两向量共线反向量，又与不共线反向，所以，所以的取值范围是．（三）三角形形状的判断例11．（2024高一下·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（

）A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形【答案】D【分析】根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可.【详解】因为，所以，所以，所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状，故可为任意三角形.故选：D变式1．（2024高一下·吉林长春·阶段练习）在中，下列命题正确的个数是（

）①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据向量的运算公式，即可判断选项.【详解】①，故①错误；②.故②正确；③，则，为等腰三角形，故③正确；④若，只能说明中，角是锐角，不能说明其它角的情况，所以不能判断为锐角三角形，故④错误.故选：B变式2．（2024高一下·山西朔州·期末）在中，下列说法错误的是（

）A．“”是“A为直角”的充要条件B．“”是“A为锐角”的充要条件C．“”是“是锐角三角形”的充分不必要条件D．“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件【答案】C【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，可得，平方可得，解得，所以，所以为直角，即充分性成立；若为直角，可得，所以，则，即，所以必要性也成立，所以A正确；对于B中，由，可得，可得，所以为锐角，所以充分性成立，当为锐角，可得，可得，即，所以必要性也成立，所以B正确；对于C中，由，可得为锐角，但不一定为锐角三角形，所以充分性不成立，所以C错误；对于D中，由，可得为钝角，所以为钝角三角形，即充分性成立，当为钝角三角形，不一定为钝角，即必要性不一定成立，所以是是钝角三角形的充分不必要条件，所以D正确.故选：C.变式3．（2024高三上·山东济南·期末）已知非零向量，满足，且，则为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】由左右互除得出，再由，得出，即可得出答案.【详解】，，，，为等腰三角形，又，，，又，所以，为等边三角形，故选：D.【方法技巧与总结】1.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x22.根据向量的夹角求参数：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0≤θ≤π，且cosθ＝a·bab，故当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|；当0<θ<π2时，a·b>0且a·bab<1；当θ＝π2时，a·b＝0；当π2<θ<π时，a·b<0且a3.判断三角形的形状要两判一判三角形三边所在的向量两两数量积的大小．二判三角形三边边长的关系．一、单选题1．（2024高一下·湖南益阳·阶段练习）已知，，，则向量在向量方向上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据投影向量定义直接求解即可.【详解】，，向量在向量方向上的投影向量为.故选：D.2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知点是边长为2的正三角形的重心，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】以线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据题意求得的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解.【详解】如图所示，以线段的中点为坐标原点，以线段所在的直线为轴，线段的垂直的平分线为轴，建立平面直角坐标系，因为的边长为，可得，又因为为的重心，可得，所以，则.故选：C.3．（2024高一下·山东滨州·开学考试）已知，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可.【详解】因为向量在向量上的投影向量为：，故选：C.4．（2024高三上·全国·竞赛）平面向量，则（

）A．3 B．5 C．7 D．11【答案】B【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及模的坐标表示即可求解.【详解】因为，所以，所以.故选：B5．（2024高一·