事件的关系和运算 高一下学期数学人教A版（2019）必修二

10.1.2事件的关系和运算1.认识事件之间的关系和运算.(重点)2.掌握事件的交（并）运算公式.(难点）3.能够判断随机事件是否为互斥事件.从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件．这些事件有的简单，有的复杂．我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算．

在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：

“点数为i”，i=1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”；E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”.

请用集合的形式表示这些事件。借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

用集合表示上面的事件，则C1={1}C2={2}C3={3}C4={4}C5={5}C6={6}D1={1,2,3}D2={4,5,6}E1={1,2}E2={2,3}F={2,4,6}G={1,3,5}

如果事件C1发生,那么事件G一定发生.这时我们说事件G包含事件C1.1.包含关系

一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记作B⊇A(或A⊆B).

特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.可以用图10.1-4表示.ABΩ

事件D1、E1、E2之间有什么关系？事件C2、E1、E2之间有什么关系？事件C3和C4能同时发生吗？事件F和G呢？事件E1和E2至少有一个发生，相当于D1发生.

事件F和G两者只能发生其中之一.事件C3和C4不能同时发生事件E1和E2同时发生，相当于事件C2发生.思考2.并事件

一般地，若事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A⋃B(或A+B)

可以用图10.1-5中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件表示.ABΩ图10.1-53.交事件

一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A⋂B(或AB)

可以用图10.1-6中的蓝色区域表示这个交事件表示.ABΩ图10.1-64.互斥事件

一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A⋂B是一个不可能事件，即A⋂B=∅则称事件A与事件B互斥（或互不相容）.

可以用图10.1-7表示这两个事件互斥.ABΩ图10.1-75.对立事件

一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A⋃B=Ω,且A⋂B=∅，那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为.

可以用图10.1-8表示.Ω图10.1-8A事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A⋃B或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A⋂B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A⋂B=∅互为对立A与B有且仅有一个发生A⋂B=∅，A⋃B=Ω知识归纳

类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如，对于三个事件A，B，C，A⋃B⋃C（或A+B+C）发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A⋂B⋂C（或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生，等等.知识归纳1.判断正误：（1）在一次试验中，两个互斥事件有可能有一个发生（

）（2）若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.（

）（3）若事件A⋃B是必然事件，则事件A和事件B是对立事件（

）2.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则（

）A.A⊆BB.A=BC.A⋃B表示向上的点数是1或2或3D.A⋂B表示向上的点数是1或2或3

√××C小试牛刀

D小试牛刀

乙甲解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

例2

一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球。设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”。（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？（3）事件R与G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与R2的交事件与事件R有什么关系？解：（1）所有的试验结果如右图所示。用数组（x1,x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}121214121314212324313234414243事件R1=“第一次摸到红球”，即x1=1或2，于是R1={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3）}事件R2=“第二次摸到红球”，即x2=1或2于是R2={（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）}同理，有R={（1，2），（2，1）},G={（3，4），（4，3）}，M={（1，2)，(2，1），(3，4)，(4，3)}N={（1，3)，(1，4）,(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}

因为R∩G=∅，所以事件R与事件G互斥因为M∪N=Ω，M∩N=∅，所以事件M与事件N互为对立事件.（3）因为R∪G=M，所以事件M是事件R与事件G的并事件，

因为R1∩R2=R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.

2.在含10件次品的100件产品中，抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为()A.至多有2件次品 B.至多有1件次品C.至多有2件正品 D.至少有2件正品BB3.从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是(

)A.“至少有1个红球”与“都是黑球”B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D.“都是红球”与“都是黑球”4.(链接教材P235练习T1)一个人连续射击目标2次，则下列选项中与“至少有一次击中”为对立事件的是(

)A.两次均击中

B.恰有一次击中C.第一次击中

D.两次均未击中DD5.一个射击手进行一次射击，设事件A表示“命中的环数大于7环”，事件B表示“命中的环数为10环”，事件C表示“命中的环数小于6环”，事件D表示“命中的环数为6，7，8，9，10环”.判断下列各对事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由.（1）事件A与B；（2）事件A与C；（3）事件C与D.解：（1）不是互斥事件，也不是对立事件.理由：事件A“命中的环数大于7环”包含事件B“命中的环数为10环”，当一次射击命中10环时，二者能够同时发生.（2）是互斥事件，但不是对立事件.理由：事件A“命中的环数