正态分布高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册++

7.5正态分布高二人教A版选择性必修第三册第七章通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征．理解正态曲线的特点，明确正态分布中参数μ，σ的意义及其对正态曲线形状的影响．理解正态分布的均值和方差．理解3σ原则．环节一、学习目标【学习任务一】通过P83“问题”理解“随机变量服从正态分布”的相关概念.【学习任务二】通过P85“观察”和“思考”理解“正态曲线”的特点和正态分布的特征．明确参数μ、σ的意义及其对正态曲线形状的影响．正态分布的均值和方差．【学习任务三】通过P86“例”了解“随机变量服从正态分布”的实际应用.理解3σ原则．环节二、自学内容（10分钟）环节三、小组展示（1）（5分钟）

现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.下面我们看一个具体问题.

问题引入(1)如何描述这100个样本误差数据的分布？(2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？新知探索

根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称地分布在

X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁.新知探索

随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图所示.

根据频率与概率的关系，可用图中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布.例如，任意抽取一袋食盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示.新知探索

由函数知识知，图中的钟形曲线是一个函数.那么，这个函数是否存在解析式呢？新知探索新知探索

正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如，某些物理量的测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)，某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等，一般都近似服从正态分布.环节四、小组展示（2）（5分钟）

由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点：观察：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？

我们知道，函数

y=f

(x-μ)

的图象可由

y=f

(x)

的图象平移得到.因此，在参数σ

取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图所示.思考：一个正态分布由参数

μ

和

σ

完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？新知探索新知探索新知探索例.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min,样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(1)估计X，Y的分布中的参数；(2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出和的分布密度曲线；解：(1)随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2.用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ可以得到(2)X和Y的分布密度曲线如图所示.环节五、小组展示（3）（5分钟）例析

(3)应选择在给定时间时间内不迟到概率大的交通工具.由图可知，

所以，如果有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有38min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，要选择坐公交车.新知探索新知探索课堂练习教科书P87:第1-3题.环节六、尝试运用

（5分钟）请3个小组安排代表书写解答过程，各自选一题课堂练习教科书P87:第1-3题.环节七、小组展示

（2分钟）课本87页1.设随机变量X~N(0,1)，则X的密度函数为_____________________，P(X≤0)=_____，P(|X|≤1)=_______，P(X≤1)=________，P(X>1)=________(精确到0.0001.)0.50.68270.841350.15865O1-1xyμ=0方法：把普通的待求区间向(μ−σ，μ+σ)，(μ−2σ，μ+2σ)，(μ−3σ，μ+3σ)这三个区间进行转化，然后利用3个特殊概率、0.5、1等求出相应概率.环节八、组内核对

（2分钟）课本87页

2.设随机变量X~N(0,22)，随机变量Y~N(0,32)，画出分布密度曲线草图，并指出P(X≤-2)与P(X≤2)的关系，以及P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系.O1-1xyσ=3σ=22-2解：作出分布密度曲线如图示，由图可知，环节九、课堂小结环节九、课堂小结环节九、课堂小结P87习题7.5：1、2、3、4环节十、课后作业1.利用正态曲线的特点求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.思维升华2.“σ”决定数据的集中程度的强弱，σ越大，数据集中程度越弱，正态曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，数据越离散.例2

设ξ～N(1，22)，试求： (1)P(－1≤ξ≤3)；题型二利用正态分布的对称性求概率解

∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827.(2)P(3<ξ≤5).解

∵P(3<ξ≤5)＝P(－3≤ξ<－1)，迁移

若“本例”的条件不变，设ξ～N(1，22),试求P(ξ>5).利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等.如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解.思维升华4.袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4.请你估计这批袋装食盐的合格率.课本P87T4环节一、学习目标新知探索

答案：BCD.新知探索

答案：B.例1(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝________，方差σ2＝________.20题型一正态曲线及性质2(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正