2024-2025学年天津市小站一中高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市小站一中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设i为虚数单位，则复数z=2i1+i在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,m)，b=(−2,3)，且a⊥b，则A.2 B.23 C.−323.如图，已知等腰三角形O′A′B′是一个平面图形的直观图，O′A′=A′B′，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是(

)A.22B.1

C.24.已知α、β表示两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是(

)A.α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n B.α⊥β，m⊂α⇒m⊥β

C.α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n D.α⊥β，m⊥β，m⊄α⇒m//α5.已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为(

)A.π B.2π C.4π D.12π6.一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为(

)A.12π B.4π C.82π7.一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了2km到达B地，然后由B地向南偏东30°方向骑行了2km到达C地，再从C地向北偏东30°方向骑行了8km到达D地，则A，D两地的距离为(

)A.219km B.53km8.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为B1CA.32 B.1010 C.9.如图所示，在△ABC中，BD=12DC，AE=3ED，若AB=A.13a+13b

B.−110.庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图(1)所示.现有如图(2)所示的庑殿顶式几何体ABCDMN，其中正方形ABCD边长为3，MN//AB,MN=32，且MN到平面ABCD的距离为2，则几何体ABCDMN的体积为(

)

A.274 B.94 C.52二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.若i是虚数单位，复数1+3i2−i3=12.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1，且a与b的夹角为π13.一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为______．14.如图，在空间四边形ABCD中，AB=CD=4且AB与CD所成的角为60°，E，F分别是BC，AD的中点，则EF______．15.已知向量a，b的夹角为30°，|a|=2，|b|=3三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)

设复数z=a2+a−2+(a2−7a+6)i，其中i为虚数单位，a∈R．

(1)若z是纯虚数，求实数a的值；

17.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．

(1)18.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB．

(1)求角B的大小；

(2)若b=3，sinC=2sinA，求a19.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=5，b=11，cosC=35．

(1)求c的值；

(2)求△ABC的面积；

(3)求sin20.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=AC=AA1，D是BC的中点．

(Ⅰ)求证：A1B//平面AC1D；

(Ⅱ

参考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.D

6.A

7.A

8.B

9.B

10.D

11.1+i

12.713.314.2或215.2

16.解：(1)若z是纯虚数，则a2+a−2=0a2−7a+6≠0，

解得a=−2．

(2)由题意知a2+a−2>0a2−7a+6<017.证明：(1)连接BD与AC交于点O，连接OE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴O为BD中点，又E为DD1中点，

∴OE//BD1，又OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，

∴BD1平面ACE；

(2)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

∵DD1平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，

∴D18.解：(1)∵bsinA=3acosB，

由正弦定理可得sinBsinA=3sinAcosB，

即得tanB=3，

由于：0<B<π，

∴B=π3．

(2)∵sinC=2sinA，

由正弦定理得c=2a，

由余弦定理b2=19.解：(1)在△ABC中，因为a=5，b=11，cosC=35，

所以由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，

得c=52+112−2×5×11×35=45；

(2)在△ABC中，因为a=5，b=11，cosC=35，

则C∈(0,π2)，sinC=1−cos2C=420.(Ⅰ)证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD

在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AA1，∴侧面AA1C1C是正方形，

则点O是AC1的中点，

又点D是BC的中点，故OD是△A1CB的中位线，∴OD//A1B，

又A1B⊄平面AC1D，OD⊂平面AC1D，∴A1B