2024-2025学年北京市大兴区高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市大兴区高二（下）期中考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若Δx→0limf(1+Δx)−f(1)Δx=2，则A.−1 B.0 C.1 D.22.已知等比数列{an}满足a1=1，aA.−8 B.−16 C.8 D.163.已知数列{an}满足a1=1，aA.5 B.10 C.11 D.124.若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点是(

)A.−1 B.0 C.1 D.25.已知数列{an}的前n项和Sn=nA.公差为2的等差数列 B.公差为3的等差数列

C.公比为2的等比数列 D.公比为3的等比数列6.设{an}为等比数列，则“存在i>j>k，使得ai>aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.设f(x)=x3−3x+a有唯一零点，则a的取值范围是A.(−2,2) B.(−∞,−2)∪(2,+∞)

C.(2,+∞) D.(−∞,−2)8.若a1，a2，a3，a4，a5是等差数列，1和3为此等差数列中的两项，则A.4 B.0 C.−3 D.−69.设曲线f(x)=x2−1(x>0)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，则当S(t)取得最小值时，t的值为A.33 B.12 C.210.在下列不等式中，当k≥1时，关于x的不等式对任意的x∈(0,+∞)不能恒成立的是(

)A.kx>sinx B.kx>x−x3 C.kx>1−e二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.数列{an}满足an+2=an+1+12.将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第xℎ时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2−7x+15(0≤x≤8)，则第3ℎ时，原油温度的瞬时变化率为______℃/ℎ13.已知a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组a114.已知函数f(x)=x−aex(a∈R).当a=0时，f′(x)=______；若曲线y=f(x)有两条过坐标原点的切线，则15.已知函数f(x)=x−1,0<x≤1,x−1,x>1.数列{an}满足a1>0，当n≥2时，an=f(an−1).给出下列四个结论：

①若a1=2，则a2=a5；

②若a3=2，则a1可能有4个不同的取值；

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知函数f(x)=x3+3x2．

(Ⅰ)求f(x)在区间[−2,1]上的最值；

(Ⅱ)在直角坐标系内，画出f(x)的大致图象；

(Ⅲ)直接写出一个a值，使f(x)17.(本小题14分)

已知等差数列{an}满足a2+a4=10，a4−a3=−2．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)求数列{an}18.(本小题14分)

已知无穷数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1．

(Ⅰ)求b1，b2的值；

(Ⅱ)证明：数列{bn}是等比数列，写出数列{bn}的通项公式；

(Ⅲ)19.(本小题14分)

已知函数f(x)=(x2−a)ex．

(Ⅰ)若f′(0)=1，求a的值；

(Ⅱ)设a∈R，讨论函数f(x)的极值点个数；

(Ⅲ)若f(x)在区间20.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx．

(Ⅰ)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l．

(i)求切线l的方程；

(ii)证明：除切点外，曲线y=f(x)在切线l的下方；

(Ⅱ)设m>0，令函数g(x)=f(x)−f(m)x−m，求函数g(x)21.(本小题15分)

给定项数为n(n≥3)的数列{xn}，若数列{xn}满足|xm+1−xm|≤|xm+1−xm+2|(m=1,2,…,n−2)，则称数列{xn}具有性质P，定义ak=|xk+1−xk|(k=1,2,…,n−1)．

(Ⅰ)判断数列1，2，4，6是否具有性质P，并说明理由；

(Ⅱ)若数列{xn}参考答案1.D

2.C

3.B

4.D

5.A

6.B

7.B

8.D

9.A

10.D

11.5

12.−1

第3ℎ附近，原油温度大约以1℃/ℎ的速率下降

13.1，−2，4(答案不唯一)

14.1−xex

15.①③④

16.解：(I)f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)，

因为−2≤x≤1，

当−2≤x≤0时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，当0<x≤1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

故x=0时，函数取得最小值f(0)=0，

因为f(−2)=4，f(1)=4，

故函数的最大值为4，最小值为0；

(Ⅱ)当x→+∞时，f(x)→+∞，当x→−∞时，f(x)→−∞，

f(x)的大致图象如图所示：

(Ⅲ)当a<−2<a+5，即−7<a<−2时，f(x)在区间(a,a+5)存在最大值，

故符合题意的一个a为−5(答案不唯一)．17.解：(Ⅰ)等差数列{an}满足a2+a4=10，a4−a3=−2，

设公差为d，则2a1+4d=10，d=−2，

解得a1=9，d=−2，

即有an=9−2(n−1)=11−2n；

(Ⅱ)数列{an}的前n项和Sn=12n(9+11−2n)=−n2+10n=−(n−5)2+25，

可得n=5时，Sn取得最大值25；

(Ⅲ)若等比数列{bn}满足b2=a4，b18.解：(Ⅰ)无穷数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1，

可得b1=a1+1=2，b2=a2+1=2+1+1=4；

(Ⅱ)证明：由an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)，

即bn+1=2b19.解：(Ⅰ)由函数f(x)=(x2−a)ex，得f′(x)=(x2+2x−a)ex.因为f′(0)=1，所以a=−1．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=(x2+2x−a)ex，令f′(x)=(x2+2x−a)ex=0，

由ex>0，解得x2+2x−a=0.①当a≤−1时，即Δ=4+4a≤0，此时x2+2x−a≥0，

则f′(x)≥0，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，故没有极值点．

②当a>−1时，即Δ=4+4a>0，x2+2x−a=0，有两个不等的实根x1=−1−1+a,x2=−1+1+a．

所以在(−∞,−1+1+a)和(−1+1+a,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；

在(−1−1+a,−1+1+a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减．

所以x1=−1−1+a是f(x)的极大值点，x2=−1+1+a是f(x)的极小值点．

综上，当a<−1时，f(x)没有极值点；当a≥−1时，f(x)有2个极值点．

(Ⅲ)若f(x)在区间(1,2)上存在极值，由(Ⅱ)知，

需满足1<−1+1+a<2，解得3<a<8，所以a的取值范围是(3,8)．

20.解：(Ⅰ)(i)由已知，f(x)=lnx，f′(x)=1x，

所以f(1)=0，f′(1)=1，则切线方程为y−0=x−1，即x−y−1=0；

(ii)证明：等价于要证lnx≤x−1在(0,+∞)上恒成立，当且仅当x=1时取等号，

设ℎ(x)=x−lnx−1，则ℎ′(x)=1−1x=x−1x，

x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，

所以ℎ(x)min=ℎ(1)=0，故x−lnx−1≥0恒成立当且仅当x=1时取等号，

即lnx≤x−1在(0,+∞)上恒成立，当且仅当x=1时取等号，原命题得证；

(Ⅱ)由已知，g(x)=lnx−lnmx−m，m>0，x>0且x≠m，

所以g′(x)=1x(x−m)−(lnx−lnm)(x−m)2=x−m−xlnx+xlnmx(x−m)2，m>0，x>0且x≠m，

设φ(x)=x−m−xlnx+xlnm，则φ′(