江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段联考 数学试卷（含解析）

江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段联考数学试卷一、单选题1．（

）A． B． C． D．02．若，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．3．已知，且三点共线，则（

）A． B．1 C．2 D．44．已知向量满足，则（）A． B． C． D．5．已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（

）A． B． C． D．17．已知，则，，的大小顺序为A． B． C． D．8．已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（）A． B． C． D．二、多选题9．下列各式的值正确的是（

）A． B．C． D．10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递增C．函数的图象的一条对称轴方程为D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（

）A．B．C．D．三、填空题12．已知，则.13．如图，P，Q分别是四边形的对角线与的中点，设，，且，不是共线向量，向量（.试用基底，表示）14．已知，则，.四、解答题15．已知向量.（1）若向量与共线，求实数的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.16．（1）求值：.（2）在中，已知，求角C的大小.17．如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.（1）用、表示；（2）求的值.18．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．（1）当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由．（2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）（3）当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？19．已知函数，且恒成立.（1）求a的值；（2）设，若，，使得，求实数b的取值范围.

参考答案1．【答案】A【详解】由题意得,故选A2．【答案】A【详解】由已知得：，即，所以.故选A.3．【答案】A【详解】因为三点共线，所以，因为，所以，解得.故选A.4．【答案】D【详解】已知，移项可得，因为，所以，对两边同时平方可得，根据完全平方公式则，又因为，，所以可化为，由，移项可得，则，根据向量的数量积公式，将，，代入可得：，则.故选D.5．【答案】C【详解】因为，所以，所以又，，所以，所以，所以在上的投影向量为.故选C.6．【答案】A【详解】在中，点在线段上，且，则，，而，因此，即，所以.故选A7．【答案】B【详解】故选B.8．【答案】D【详解】设，，且，当且仅当时等号成立，又的最小值为，所以，又，则，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点，其中，且、，，，所以，当且仅当时，取最小值.故选D.9．【答案】BD【详解】．A不正确；，B正确；，C不正确；，D正确．故选BD.10．【答案】AD【详解】对于A，，函数的最小正周期，故A正确；对于B，因为，所以，而函数在上不单调，故在区间上不单调，故B错误；对于C，由（），得（），不可能取到，故C错误；对于D，由的图象向左平移个单位长度，得，故D正确.故选AD.11．【答案】BC【详解】由是的重心可得，所以，故A项错误；过的外心分别作，的垂线，垂足为，，如图（1），易知，分别是，的中点，则，故B项正确；因为是的重心，所以有，故，由欧拉线定理可得，故C项正确：如图（2），由于，所以，故D错误．故选:BC.12．【答案】【详解】因为，即，所以.13．【答案】【详解】如图因为，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，取的中点G，连接，，所以，，，∴.14．【答案】【详解】由可得，即，由可得，即，两式相加可得，即，解得；因为，，所以，所以．15．【答案】（1）（2）【详解】（1）由题意可得，，若向量与共线，可得，解得.（2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，即可得，解得且，即实数的取值范围为且16．【答案】（1）；（2）【详解】（1），∵，∴原式=.（2）中，已知，若，则，不合题意；∴，，由已知，，∴，，∴，∴.17．【答案】（1）（2）【详解】（1）因为，则，所以，因为为的中点，故.（2）因为、、三点共线，则，，，所以存在，使得，即，所以，又因为，且、不共线，所以，则，所以，故.18．【答案】（1）的左侧.（2），航行小时.（3）【详解】（1）由题设，在反方向上的分速度为，∴游船航行到达北岸的位置是在的左侧.（2）要使能到达处，则在反方向上的分速度为，∴，故，又，此时，∴垂直方向上的速度，∴.（3）由（1）知：垂直方向航行时间为，∴水平方向航行距离为，∴游船航行到达北岸的实际航程.19．【答案】（1）（2）【详解】（1），其中为锐角且，

由于，，故，

所以，，故，，

，，解得；（2）由（1）得，不妨取，故，，，使得，则只需，