五年级奥数应用题工程问题（三）（C级）学生版

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工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能

力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一.工程问题的基本概念

定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：般抽象成单位“1”

工作效率：单位时间内完成的工作量

三个基本公式：工作总量=工作效率X工作时间，

工作效率=工作总量彳工作时间，

工作时间;工作总量♦工作效率；

二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应

用于分数、百分数应用题；

②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；

③学会画线段示意图.线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百

分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推

理；

④学会多角度、多侧面思考问题的方法.分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多

端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法.因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转

化等多种解题方法，不断地开拓解题思路.

三、利用常见的数学思想方法：

如代换法、比例法、列表法、方程法等

抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作

效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案.一般情况下，工程问题求的

是时间.

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（1）熟练掌握工程问题的基本数量关系与--般解法；

（2）工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；

（3）根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；

工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用.

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一、工程问题

【例1]一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天才

能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要天.

【巩固】工厂生产一批产品，原计划15天完成，实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原

计划每天生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了生产任务，则这批产品有件。

【例2】有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成.现

在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后

完成这项工程也用了整数天.那么丙休息了天.

【巩固】一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后

由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2

倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？

【例3】甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高工，乙的工作效率比单独

10

做时提高1甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的（2，第二天乙又单独做了6小时，还留下

这件工作的»尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？

30

【巩因】一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天.如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成

原来的士,乙只能完成原来的2.现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两

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人要合做多少天？

【例4】甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的枳雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，

最初，甲清理的速度比乙快;，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，

结果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙

换了工具后又工作了多少分钟？

【巩固】甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的,时，乙完成了任务

2

的•!•还差40个.这时乙开始提高工作效率，又用了7.5小时完成了全部加工任务.这时甲还剩

2

下20个零件没完成.求乙提高工效后每小时加工零件多少个？

［例5］甲、乙、丙三队要完成4,8两项工程，8工程的工作量是4工程工作量再增加1,如果让甲、

4

乙、丙三队单独做，完成月工程所需要的时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做力工

程，乙队做6工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做6工程若干又，然后再与甲

队合做/工程若干天.问丙队与乙队合做了多少天？

【巩固】甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12

小时，丙用15小时.第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同.甲在力仓库，

乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完.丙在A仓库搬了多长时间？

【例6】打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成.如果甲、

乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成.甲、乙两人合做需要几天完成？

【巩固】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8

天可以完成.如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？

【例7］一项工程，甲、乙合作12之小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做，

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恰好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多g小

时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？

【巩固】甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完，

若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比

原计划多用半天.己知甲单独做完这件工作要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项

工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？

【例8】一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水.若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已

满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满.又知，乙管每分钟注水量是甲管每分

钟注水量的2倍.则该水箱最多可容纳多少吨水？

【巩固】一个水箱内甲、乙、丙二根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入30吨水时，水箱已满；

如果只打开乙、丙两管，乙管注入4()吨水时，水箱才满.已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，

则该水箱注满时可容纳吨水.

【例9］有甲、乙两个相同的空立方体水箱，高均为60厘米，在侧面上分别有排水孔力和6.力孔和4

孔距底面50厘米和30厘米，且两孔排水速度相同.现在以相同速度一起给两水箱注水，并通

过管道使力孔排出的水直接流入乙箱.70分钟后两水箱同时注满.如果关闭两孔，直接将空水

箱注满需要分钟.

【巩固】如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔.用一个进水

管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则

需要用1小时5分钟将水箱灌满：若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满.那么，若三

个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？

【例10】有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔力和8,已知两孔的排

水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水，如果打开力孔，关闭8孔，那么经过20分

钟可将水箱注满，如果关闭力孔，打开4孔，则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开,

经过分钟才能将水箱注满.

【巩固】一个没有盖的水箱，在其侧面［高和2高的位置各有一个排水孔，它们排水时的速度相同且保持

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不变.现在以一定的速度从上面给水箱注水.如果打开力关闭8,那么35分钟可将水箱注满；

如果关闭力打开那么40分钟可将水箱注满.如果两个孔都打开，那么需要多少分钟才能将

水箱注满？

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【随练1】甲、乙两项工程分别由一、二队来完成.在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工

程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40%,二队的工作效率要下降10%.结果两队同时

完成工作，问工作时间内下了多少天雨？

【随练2】一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可

以抄完.现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？

【随练3】甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完

成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用1天；若按丙、甲、乙的顺序

2

每人轮流工作一天，则比原计划多用;天.已知甲单独完成这件工作需10.75天.问：甲、乙、

丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？

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【作业1】一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成.现在两队

同时施工，工作效率提高20%.当工程完成,时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得

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每天少挖了方土，结果共用了10天完成工程.问整工程要挖多少方土？

【作业2】一件工程甲单独做5()小时完成，乙单独做30小时完成.现在甲先做1小时，然后乙做2小时，

再由甲做3小时，接着乙做4小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？

【作业3】一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成,时前米帮忙，待工程完成2时离去，

结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半.如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一

直做下去，将比计划推迟3』天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成.还知道乙

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的工作效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天？

【作业4】甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做

完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，