高考数学 重难点题型归纳-第19讲 基本不等式归类（解析版）

PageSeq第19讲基本不等式16类【题型一】基础型【典例分析】在下列函数中,最小值是2的是A.B.C. D.【答案】D【解析】A.,当时,不符合题意;B.===,当时取等号,不符合题意;C.==,∵,∴,∴,∴不符合题意;D.,当且仅当时取等号,符合题意.故选D．【变式演练】1.已知关于x的不等式的解集为，则的最小值是______．【答案】【详解】由于，故一元二次方程的判别式：，由韦达定理有：，则：，当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是.2.若都是正数，则的最小值为().A.5 B.7 C.9 D.13【答案】C【详解】因为都是正数，所以，（当且仅当时取等号），故本题选C.3.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，使恒成立的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】恒成立，即，设，则，当且仅当，即时，等号成立，所以问题转化为，即，所以在区间上随机地取一个数时，使恒成立的概率是，故选择A.【题型二】“1”的代换型【典例分析】已知x，y均为正实数，且，则x+3y的最小值为__________【详解】x，y均为正实数,,当时等号成立.故答案为：2.【变式演练】1.已知，，，则的最小值为（）A．20 B．24 C．25 D．28【答案】C【分析】凑配出积为定值后用基本不等式求最小值．【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立．故选：C．2.已知，，，则的最小值为（

）A．13 B．19 C．21 D．27【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27。故选：D3.已知正实数，b满足＋b＝1，则的最小值为_____【详解】因为，且都是正实数.所以当且仅当时，等号成立.所以的最小值为【题型三】“和”与“积”互消型【典例分析】已知x、y都是正数，且满足，则的最大值为_________．【答案】18.【分析】根据基本不等式，得到关于的不等式，解得的范围，从而得到的范围，求出答案.【详解】因为，且，所以，（当且仅当时，取等号）即，解得，所以得，所以的最大值是.此时，.故答案为：18.【变式演练】1.已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值.【详解】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.故选：A2.已知，且，则的最小值为___________．【答案】6【分析】利用基本不等式有，再利用一元二次不等式的解法，由求解.【详解】由，得，又，，，即，解得：或，又，，当且仅当，即时取等号．故答案为：6．3.已知，，，则（多选题）A．的最大值为2 B．的最小值为4C．的最小值为3 D．的最小值为【答案】ABD【详解】对于A选项：由均值不等式得，则，令，，解得，即，，当且仅当，时，等号成立，故A正确；对于B选项：由均值不等式得，又，∴，解得，（舍），当且仅当，时，等号成立，故B正确；对于C，D选项：令，，则，则可化为，整理，∵此方程一定有解，∴，即，解得，（舍），故C错误，D正确.故选：ABD.【题型四】以分母为主元构造型【典例分析】已知非负数满足，则的最小值是（）A．3 B．4 C．10 D．16【答案】B【分析】根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解.【详解】由，可得，当且仅当取等号，故选：B【变式演练】1.已知，且，则的最小值为（）A．9 B．10 C．11 D．【答案】A【详解】，，又，且，，当且仅当，解得，时等号成立，故的最小值为9．故选：A．2.已知正数、满足，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】已知正数、满足，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：C.3.设，则的最小值为（）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解【详解】，，，当且仅当，即时取等号故选：A【题型五】构造分母：待定系数【典例分析】已知正实数，满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将4x+3y=4变形为含2x+1和3y+2的等式,即2(2x+1)+(3y+2)=8,再将式子换元,由基本不等式换“1”法求解即可【详解】由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8.令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8.所求当且仅当时取等号，所以答案为.故选:A.【变式演练】1.知正实数、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】设，可得，解得，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.2.已知，，，则取到最小值为．【答案】．【解析】试题分析：令，∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．【题型六】分子含参型：分离分子型【典例分析】若，则的最小值为___________.【答案】【详解】因为，则，，

当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.【变式演练】1.已知正实数满足，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.【详解】，因为，所以，因为，所以，因此，因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），故选：A2.若，且，则的最小值为_________【答案】【分析】令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解.【详解】令，则，则，即，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.3.若正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值是_____．【答案】【题型七】反解代入型:消元法【典例分析】已知正数，满足，则的最大值为______．【答案】【详解】由，得，由，得，所以，当且仅当，即时等号成立，、所以的最大值为.故答案为：.【变式演练】1.已知，，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，因为，，所以，得，所以，记，所以，所以，且，所以，当且仅当即等号成立，此时，.2.若正数，满足，则的最小值是______，此时______.【答案】22【分析】先由求出，再根据基本不等式求解即可．解：，，，因为、，所以，即，即，当且仅当，即时取等号，故答案为：2；2．3.若正实数满足，则的最小值为___________.【答案】【详解】由且知：，∴当且仅当时等号成立，即时等号成立.故答案为：【题型八】因式分解型【典例分析】非负实数满足，则的最小值为___________.【答案】【分析】根据题意化简得,结合基本不等式求得，即可求得的最小值.【详解】由题意，非负实数满足，可得,又由，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以或，所以，即时，的最小值为.故答案为：.【变式演练】1.已知，且，则的最小值等于_______．【答案】【详解】，且，即有，

即，可得，

当且仅当时，上式取得等号，即有的最小值为.故答案为：2.已知，且，则的最小值是___．【答案】【解析】原式可变形为，两边同时乘以2，得，所以，即x+2y，当且仅当时等号成立。填3.已知a,b∈R+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，则3a+4b的最小值等于【答案】6【详解】a,b∈R+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，即有（a+b）（a+2b+1）=9，

即（2a+2b）（a+2b+1）=18，可得3a+4b+1=（【题型九】均值用两次【典例分析】是不同时为0的实数，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且取等，即取等号，即则的最大值为，故选：A．【变式演练】1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．【详解】．A设，则所以当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A2.已知，，则的最小值为___________.【答案】2【分析】由可得答案.【详解】因为，，所以，，当且仅当时等号成立，所以最小值为2.故答案为：2.3.已知正实数，，满足，则的最小值为______.【答案】【详解】因为，即，所以，上述两个不等式均是当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：．【题型十】换元型【典例分析】已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为A.2 B.4 C. D.【答案】B详解：将化为，令，则，又，所以，即．【变式演练】1.若a,b∈R，且a2+2ab-3b【详解】5+14由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a=x+3所以a2+b2＝（x+3y4）2+（x-y4）2=x2+5y22.已知x2-23xy+5y2【答案】3-【详解】因为x2-23解得x=62=32+62sin2θ-13.已知为正实数，则的最小值为_________.【答案】【详解】原式，令，则上式变为，当且仅当时等号成立，故最小值为.【题型十一】“和”与所求和系数不一致型【典例分析】1、已知，，且，则的最小值为A． B． C．5 D．9【详解】由得，解得.所以，当且仅当，即时等号成立.故本小题选A.【变式演练】1.若正实数，满足，则的最小值是__________．【答案】【解析】根据题意，若，则；又由，则有，则；当且仅当时，等号成立；即的最小值是，故答案为.2.3.【题型十二】“均值裂项”凑配型【典例分析】已知实数，，不全为，则的最小值是___，最大值是___．【答案】

【分析】根据不等式求最值.【详解】由，当且仅当时取等号，得，当且仅当时取等号；又，当且仅当，时等号成立.故答案为：，.【变式演练】1.不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．【答案】1【分析】由条件转化为求的最大值，再解不等式，即可求解.【详解】因为，当时取等号，所以的最大值是，即，解得，所以a的最大值是1．故答案为：2.已知实数满足，则实数的取值范围是_________．【答案】【分析】由题设条件，化简得，，再利用，得到不等式，即可求解．【详解】由题意，实数满足，可得，由，可得，所以，又由，得，即，解得．故答案为：．3.已知，，，且，则的最小值为___________．【答案】由，先将变形为，运用基本不等式可得最小值，再求的最小值，运用函数单调性即可得到所求值.【详解】解：因为，，，且，所以因为，所以，当且仅当时，取等号，所以。令，则，令，则，所以函数在上单调递增，所以所以则所求最小值为故答案为：【题型十三】整体化同乘方程型【典例分析】已知实数，满足，且.则的最大值为_____．【答案】9【分析】将已知等式变形为，对等式两边同乘，构造关于所求式子的不等式，进行求解即可.【详解】由，得，则，当且仅当，即时成立，令，则有，解得，故的最大值为.故答案为9.【变式演练】1.已知正数满足，则的最大值为________．【答案】【详解】试题分析：由已知得，，变形为，因为，由基本不等式得，，故，解得.2.已知为正数，且，则的最大值为．【答案】试题分析：因为，所以，所以，即，令，则，而，所以，即，故应填．【题型十四】三元最值型【典例分析】已知实数满足，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：即，由，，，所以，即，当且仅当时取等号，综上所述，的取值范围是.故答案选【变式演练】1.若实数、、，且，则的最小值为A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以=，当且仅当时，等号成立.故选D.点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为.2.已知，且，则的最大值是_______，的最大值是________．【答案】

10

【分析】直接利用均值不等式得到答案；变换得到，代入数据计算得到答案.【详解】根据均值不等式：，，，故，当且仅当时取等号；又因为，，，令，即，故此时有，即，当且仅当时取等号．故答案为：10；.3.若正实数满足，则的最大值为________.【答案】由题设，由结合基本不等式可得，从而可得的最大值.【详解】因为，所以，而，故，所以，当且仅当等号成立，故的最大值为.故答案为：.【题型十五】恒成立求参数型【典例分析】对任意正实数不等式恒成立，则（

）A．实数有最小值1 B．实数有最大值1C．实数有最小值 D．实数有最大值【答案】C【分析】化简得到，考虑和两种情况得到，根据均值不等式得到最值得到答案.【详解】，故，，当时，不等式恒成立；当时，，，时等号成立，，故，故.故选：C.【变式演练】1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.【详解】设，则所以当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A2.正数满足若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】当且仅当时取等号因此不等式对恒成立，即对恒成立，令，则，即，故选：C3.设都是正数，且使，求实数的最大值.【答案】.【详解】由题意得．，．，，．．∴．当且仅当时，k的最大值为.【题型十六】超难压轴小题【典例分析】设为正实数，若则的取值范围是__________．【答案】【分析】根据，可得，进而，有，而，令，得到，再用导数法求解，【详解】因为，所以，所以，所以，所以，令，，所以，当时，，当时，所以当时，取得最大值，又，所以取值范围是，故答案为：【变式演练】1.若，均为正实数，则的最小值为_______.【答案】【分析】将所求式子变为，利用基本不等式可求得，则可知当时，可求得最小值.【详解】当，即时取得最小值为：本题正确结果：成立的条件.2.已知a,b∈[0,1]，则S(a,b)=a1+b+【答案】13-5【详解】试题分析：∵a,b∈[0,1]，∴S(a,b)=a令T=ab(1-ab)(1+a)(1+b),x=ab，则T=ab(1-ab)1+a+b+ab≤ab(1-ab)1+2ab+ab=x2(1-x23.已知，则的最小值为__________．【答案】【详解】设，则原式，以上两个等号当且仅当且，即时同时成立．所以所求的最小值为6．答案：6【课后练习】1.已知正实数，满足，则的最小值为（）A．4 B．6 C．9 D．10【详解】∵，，，∴，当且仅当时，即时取“”.2.已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将变形为，再用基本不等式和解不等式即可.【详解】因为，，且，所以，所以，所以，即当且仅当，即，时等号成立，故的最小值．故选：B.3.已知，且，则的最小值为（

）A．4 B．8 C．7 D．6【答案】D【分析】根据条件利用均值不等式构造不等式，解二次不等式即可求解.【详解】,,当且仅当，即时等号成立，解得或（舍去），的最小值为6故选：D4.、设，且，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【详解】D因为，∴，又由，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值是，故选D.5.若实数x，y满足x＞y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为______．【答案】25/36.已知的最小值为。【答案】3【解析】试题分析：根据题意，由于则根据均值不等式可知，故可知答案为.7.已知正数满足，则的最大值是（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利