山西省晋中学市2025届八年级数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

山西省晋中学市2025届八年级数学第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，过作的平行线交的延长线于点，则的面积为（）A．22 B．24 C．48 D．442．若在反比例函数的图像上，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．3．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤且k≠1 B．k≤ C．k＜且k≠1 D．k＜4．一个直角三角形的两边长分别为2和，则第三边的长为()A．1 B．2 C． D．35．下列二次根式中，属于最简二次根式的是A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm7．已知关于的方程的两根互为倒数，则的值为（）A． B． C． D．8．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x=3 D．x≠39．禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为（）A．1.02×10﹣7m B．10.2×10﹣7m C．1.02×10﹣6m D．1.0×10﹣8m10．将一次函数图像向下平移个单位，与双曲线交于点A，与轴交于点B，则=()A． B． C． D．11．如图，若将图正方形剪成四块，恰能拼成图的矩形，设，则的值为（）A． B． C． D．12．分式有意义的条件是（）A． B． C．且 D．或二、填空题（每题4分，共24分）13．计算的结果是．14．一次函数y=2x+1的图象与x轴的交点坐标为______．15．计算：（2+）（2－）=_______.16．若关于的方程有增根，则的值为________．17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为_____．18．计算．三、解答题（共78分）19．（8分）在中，，以点为旋转中心，把逆时针旋转，得到，连接，求的长.20．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．21．（8分）对于实数a，b，定义运算“*”，a*b＝例如4*1．因为4＞1，所以4*1＝41－4×1＝8，若x1、x1是一元二次方程x1－9x＋10＝0的两个根，则x1*x1＝__．22．（10分）如图，矩形中，，，过对角线的中点的直线分别交，边于点，连结，．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）当四边形是菱形时，求及的长．23．（10分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180度，求这个多边形的边数.24．（10分）阅读下面的材料:解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常采用换元法降次:设，那么，于是原方程可变为，解得.当时，，∴；当时，，∴；原方程有四个根:.仿照上述换元法解下列方程:(1)(2).25．（12分）如图，在中，，点P从点A开始，沿AB向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC

以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发：几秒后四边形APQC的面积是31平方厘米；若用S表示四边形APQC的面积，在经过多长时间S取得最小值？并求出最小值．26．我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】

先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可.【详解】解：∵AD∥BE，AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE=6，在RT△BCO中，BO=，即可得BD=8，又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，∴△BDE是直角三角形，∴S△BDE=．故答案为：B.【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．2、D【解析】

将点A（a，b）代入反比例函数的解析式，即可求解．【详解】解：∵A（a，b）在反比例函数的图象上，

∴，即ab=-2＜1，

∴a与b异号，

∴＜1．

故选D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象上的点，一定满足函数的解析式．3、A【解析】

根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得，然后求出两个不等式的公共部分即可.【详解】解：根据题意得解得所以k的范围为故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，熟知这些是解题关键.4、C【解析】

本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边2既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即2是斜边或直角边.【详解】当2和均为直角边时,第三边=；当2为斜边,为直角边,则第三边=，故第三边的长为或故选C.【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于分类讨论第三条边的情况.5、A【解析】

最简二次根式满足的条件是:被开方数不含能开方的因数或因式;被开方数不能是小数或分数;分母中不能出现二次根式.【详解】根据最简二次根式满足的条件可得:是最简二次根式,故选A.【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义,解决本题的关键是要熟练掌握满足最简二次根式的条件.6、C【解析】

连接、过作于，先求出、值，再求出、值，求出、值，代入求出即可．【详解】连接、，过作于∵在中，，，∴，∴在中，∴在中，∴，∵的垂直平分线∴同理∵∴∴在中，∴同理∴故选：C．【点睛】本题考查垂直平分线的性质、含直角三角形的性质，利用特殊角、垂直平分线的性质添加辅助线是解题关键，通过添加的辅助线将复杂问题简单化，更容易转化边．7、C【解析】

设两根为x1，x2，根据当两根互为倒数时：x1x2=1，再根据根与系数的关系即可求解．【详解】解：设两根为x1，x2，∵关于的方程的两根互为倒数，∴x1x2=1，即2m-1=1，解得m=1．故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根则8、D【解析】

分式有意义，则分式的分母不为零，即x-3≠0，据此求解即可．【详解】若分式有意义，则x-3≠0，x≠3故选：D【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义时分式的分母不为0是关键．9、A【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000000102m＝1.02×10﹣7m；故选A．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10、B【解析】试题分析：先求得一次函数图像向下平移个单位得到的函数关系式，即可求的点A、B的坐标，从而可以求得结果.解：将一次函数图像向下平移个单位得到当时，，即点A的坐标为（，0），则由得所以故选B.考点：函数综合题点评：函数综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.11、B【解析】

根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b）2=b（b+a+b），而a=1，代入即可得到关于b的方程，解方程即可求出b．【详解】依题意得，而，，，而不能为负，．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，首先正确理解题目的意思，然后再根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用等量关系列出方程解决问题．12、B【解析】

根据分式有意义的条件即可求出答案．【详解】解：由题意可知：x-2≠0，∴x≠2故选：B．【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．二、填空题（每题4分，共24分）13、1．【解析】

.故答案为1.14、（-12，0【解析】

令y=0可求得x的值，则可求得与x轴的交点坐标.【详解】解：令y=0，即2x+1=0，解得：x=-12∴一次函数y=2x+1的图象与x轴的交点坐标为(-12，0故答案为：(-12，0【点睛】本题考查了一次函数与x轴的交点坐标.15、1【解析】

根据实数的运算法则，利用平方差公式计算即可得答案.【详解】（2+）（2－）=22-()2=4-3=1.故答案为：1【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则并灵活运用平方差公式是解题关键.16、；【解析】

先将m视为常数求解分式方程，得出方程关于m的解，再根据方程有增根判断m的值．【详解】去分母得：2x+1-x-2=m解得：x=m+1∵分式方程有增根∴x=－2∴m+1=－2解得：m=－1故答案为；－1．【点睛】本题考查解分式方程增根的情况，注意当方程中有字母时，我们通常是将字母先视为常数进行计算，后续再讨论字母的情况．17、1【解析】

根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵点D，E分别是直角边BC，AC的中点，∴DE＝AB＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．18、-1【解析】

首先化成同指数，然后根据积的乘方法则进行计算．【详解】解：原式=×（－1）=×（－1）=1×（－1）=－1．考点：幂的简便计算．三、解答题（共78分）19、【解析】

由旋转的性质得，由30°直角三角形的性质得，根据勾股定理，即可求出的长度.【详解】解：在中，，∵，又是由逆时针旋转得到的，，∴；【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、直角三角形、以及勾股定理进行解题.20、（1）y＝x2+2x﹣1；（2）当m＝-时，PQ最长，最大值为；（1）R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R1（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣1）．【解析】

（1)根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；(1)根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案【详解】解：（1）将A（1，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣1得：解得：∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣1，当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣4﹣1＝﹣1，∴D（﹣2，﹣1），设直线AD的解析式为y＝kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣1）代入得：解得：∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；因此直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣1．（2）∵点P在直线AD上，Q抛物线上，P（m，n），∴n＝m﹣1Q（m，m2+2m﹣1）∴PQ的长l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣1）＝﹣m2﹣m+2（﹣2≤m≤1）∴当m＝时，PQ的长l最大＝﹣（）2﹣（）+2＝．答：线段PQ的长度l与m的关系式为：l＝﹣m2﹣m+2（﹣2≤m≤1）当m＝时，PQ最长，最大值为．（1）①若PQ为平行四边形的一边，则R一定在直线x＝﹣2上，如图：∵PQ的长为0＜PQ≤的整数，∴PQ＝1或PQ＝2，当PQ＝1时，则DR＝1，此时，在点D上方有R1（﹣2，﹣2），在点D下方有R2（﹣2，﹣4）；当PQ＝2时，则DR＝2，此时，在点D上方有R1（﹣2，﹣1），在点D下方有R4（﹣2，﹣5）；②若PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与DR互相平分，此时R与点C重合，即R5（0，﹣1）综上所述，符合条件的点R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R1（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣1）．答：符合条件的点R共有5个，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R1（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣1）．【点睛】此题考查一元二次方程-用待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，解题关键在于把已知点代入解析式21、4【解析】试题分析：先求出方程的两个根，再利用新定义的运算法则计算,计算时需要分类讨论.试题解析：x1－7x＋11＝0，(x－4)(x－3)＝0，x－4＝0或x－3＝0，∴x1＝4，x1＝3或x1＝3，x1＝4.当x1＝4，x1＝3时，x1*x1＝41－4×3＝4，当x1＝3，x1＝4时，x1*x1＝3×4－41＝－4，∴x1*x1的值为4或－4.点睛：定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.22、（1）证明见解析；（2）BE=5，EF=.【解析】

（1）根据平行四边形的性质，判定，得出四边形的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理求出，即可得出的长．【详解】（1）证明：四边形是矩形，是的中点，，，，，，在和中，，，，四边形是平行四边形；（2）解：当四边形是菱形时，，设，则，．在中，，，解得，即，，，，，．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．23、这个多边形的边数是1．【解析】试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．试题解析：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）×180°=2×360°+180°，解得n=1．故这个多边形的边数是1．24、（1）；（2），为原方程的解【解析】

（1）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x的一元二次方程；（2）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后进行检验即可．【详解】（1）令∴∴∴，∴舍，∴（2）令∴∴∴∴，∴，∴，经检验，，为原方程的解.【点睛】本