第4讲二倍角公式与三角变换的应用（练习）

第4讲二倍角公式与三角变换的应用（练习）夯实基础一、单选题1．（2020·上海高一课时练习）若，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦二倍角公式求得，再由余弦的二倍角公式求得．【详解】由题意，所以，所以．故选：C．【点睛】本题考查二倍角公式，掌握二倍角公式是解题关键，属于基础题．2．（2018·上海市罗店中学）已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设顶角为，底角为，根据，得到的值，再由二倍角公式，得到的值，由同角三角函数关系得到，从而得到，得到答案.【详解】设等腰三角形顶角为，底角为，则，所以，所以，由，得到，所以，所以，故选C.【点睛】本题考查同角三角函数关系，二倍角的余弦公式，属于简单题.3．（2019·上海市控江中学高一期中）若，，则角的终边在第（）象限.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】由正弦和余弦的二倍角公式,可求得的值,进而通过判断其符合,可确定角的终边所在象限.【详解】由题意,,,故角的终边在第四象限.故选:D.【点睛】终边在第一象限的角,其正弦为正,余弦为正,正切为正;终边在第二象限的角,其正弦为正,余弦为负,正切为负;终边在第三象限的角,其正弦为负,余弦为负,正切为正;终边在第四象限的角,其正弦为负,余弦为正,正切为负.4．（2019·上海市复兴高级中学高一月考）下列三个命题：①存在实数，使得成立；②存在实数，使成立；③若，则.其中正确命题是（）A．①和② B．②和③ C．仅有② D．仅有③【答案】D【分析】由二倍角公式的逆用判断命题①是否正确，由辅助角公式判断命题②是否正确，由三角函数的范围，得到和的值，从而得到和的值，由两角和的正弦公式，判断命题③是否正确，从而得到答案.【详解】命题①中，若，则，即，所以错误；命题②中，若，则，即，所以错误；命题③中，，而，所以可得，或者这两种情况都可以得到所以，所以正确.故选D.【点睛】本题考查正弦的二倍角公式的逆用，辅助角公式，三角函数的范围等，属于简单题.5．（2020·上海高一课时练习）已知则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用二倍角的余弦公式，结合化简即可.【详解】，故本题选A.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式，考查了角的正弦值、余弦值的正负性的判断.二、填空题6．（2020·上海高一课时练习）若，则________.【答案】【分析】利用倍角公式化简，弦化切转化成齐次式，求得.【详解】由，则，得，得，得.故答案为：【点睛】本题考查了倍角公式，同角三角函数的基本关系式，弦化切技巧，属于容易题.7．（2020·上海市沪新中学高一期中）已知，化简：__________.【答案】【分析】根据二倍角公式，将被开方数化为完全平方数，结合的范围，即可求解.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查应用二倍角公式化简，熟练掌握三角函数公式及变形是解题关键，属于中档题.8．（2019·宝山区·上海交大附中高一期末）方程，的解集是__________．【答案】【分析】用正弦的二倍角公式展开,得到,分两种情况讨论得出结果.【详解】解：，即,即：或.①由,,得.②由,,得或.综上可得方程,的解集是：故答案为【点睛】本题考查正弦函数的二倍角公式,以及特殊角的正余弦值.9．（2019·上海市七宝中学高一开学考试）已知，求________【答案】3【分析】由题得，再通分把已知代进去化简即得解.【详解】由题得=3故答案为3【点睛】本题主要考查二倍角公式和万能公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．（2019·上海市实验学校高一期末）已知，则__________.【答案】【分析】对已知等式的左右两边同时平方，利用同角的三角函数关系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.【详解】因为，所以，即，所以.【点睛】本题考查了同角的三角函数关系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力.11．（2020·上海高一课时练习）若，则________.【答案】【分析】先根据同角三角函数关系求出，再根据二倍角正切公式求解.【详解】故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数关系、二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.12．（2020·上海高一课时练习）化简：__________.【答案】【分析】利用切化弦思想以及两角差的余弦公式可化简所求代数式，进而可得结果.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式化简，考查计算能力，属于基础题.13．（2020·上海市向明中学高一期中）已知是第四象限角，，则________【答案】【分析】根据同角三角函数关系得到，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】是第四象限角，，则，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.14．（2019·上海市文来中学高一期末）已知化简：___________.【答案】【分析】由已知角的范围可知，，而可求得答案.【详解】，，，故答案为：【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、三角函数的象限符号，属于基础题.15．（2019·上海市张堰中学高一月考）若，且，则角的终边所在象限是第_______象限.【答案】第二象限【分析】由二倍角的正弦公式，因为，所以，可以判定角的终边所在象限．【详解】解：由，因为，所以，可以判定角的终边所在的象限为第二象限．故答案为第二象限【点睛】本题考查象限角，三角函数值的符号，二倍角的正弦，是基础题．16．（2019·上海市行知中学高一月考）已知，那么____________(结果用表示)【答案】【分析】根据和角公式可得,再利用倍角公式求解即可【详解】由题,,因为,则,代入上式可得,故答案为【点睛】本题考查和角公式与倍角公式的应用,考查化简求值17．（2019·上海市行知中学高一月考）化简:____________.【答案】【分析】由题,将,代入化简即可【详解】由题,故答案为【点睛】本题考查三角函数的化简,考查正割、余割与正弦、余弦的关系,是基础题18．（2019·上海市控江中学高一期中）若，则______.【答案】【分析】将的等号两端分别平方,结合正弦的二倍角公式可求出答案.【详解】由题意,,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系的运用,考查了正弦的二倍角公式的运用,考查了学生的计算能力,属于基础题.19．（2019·上海市向明中学高一期中）将化成的形式，则最小正角=_____.【答案】【分析】因为，所以考虑逆用此公式进行化简．【详解】因为所以，，所以，所以最小正角.故答案为：【点睛】本题考查三角恒等式的应用，属于基础题.20．（2019·上海市松江二中高一期末）若且，则____________.【答案】【分析】先根据同角公式求出,再根据二倍角的余弦公式可求得.【详解】因为且,所以,因为,所以,所以,由,得,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式和二倍角的余弦公式,属于基础题.三、解答题21．（2020·上海高一课时练习）已知等腰三角形底角的正弦值为，求这个三角形顶角的正弦、余弦和正切值.【答案】这个三角形顶角的正弦值为，余弦值为，正切值为【分析】设底角为B，顶角为A，则，由诱导公式，二倍角公式，同角间的三角函数关系可得．【详解】设底角为B，顶角为A，则.而，，所以，，则，所以．【点睛】本题考查诱导公式，二倍角公式，同角间的三角函数关系，由于要用到平方关系求值，因此需确定三角形中角的范围．22．（2020·上海高一课时练习）已知，求的值.【答案】【分析】由已知用两角和的正切公式展开求出，再由二倍角正切公式求得，将求值式中的三角比转化为的三角比，然后进行化简.【详解】解：原式.又∵.解得.所以，原式【点睛】将化为是一种典型的方法，主要考查对二倍角的余弦和正弦公式的灵活运用.23．（2020·上海高一课时练习）已知是方程的两个实数根，求的值.【答案】【分析】先根据韦达定理得和与积的值，再利用两角和正切公式求，利用二倍角正弦公式以及弦化切方法化为形式，最后代入数值求结果.【详解】因为是方程的两个实数根，所以因此【点睛】本题考查韦达定理、两角和正切公式、二倍角正弦公式以及弦化切，考查基本分析求解能力，属基础题.24．（2020·上海高一课时练习）化简：.【答案】【分析】本题为了去根号需对根式中的式子进行升幂，然后再处理.【详解】解.∵，∴.∴.∴原式.【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，属于基础题.25．（2020·上海高一课时练习）已知，，，求的值.【答案】【分析】利用二倍角公式求出，再计算出，最后由两角和的正弦公式计算可得；【详解】解∵，∴.∴.由，得.由，得.∴.【点睛】本题考查二倍角公式及两角和的正弦公式的应用，由的值计算的正弦和余弦值，因为涉及开方，所以要注意的范围，再确定，的正负号，属于基础题.26．（2020·上海市建平中学高一期中）已知函数．（1）求的单调递减区间；（2）若函数，，求．【答案】（1），；（2），．【分析】（1）逆用正弦和余弦的二倍角公式，根据辅助角公式把函数的解析式化简成正弦型函数形式，最后利用正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据特殊角的正弦函数值，结合给定的取值范围进行求解即可.【详解】（1），当，时，函数单调递减，即当，时，函数单调递减，因此的单调递减区间为：，；（2），因为，所以，因此有或，解得或．【点睛】本题考查了正弦和余弦的二倍角公式的逆用，考查了辅助角公式的应用，考查了正弦型函数的单调性，考查了特殊角的正弦值的应用，考查了数学运算能力.27．（2020·上海高一课时练习）已知，，且，，求的值.【答案】【分析】根据，，再确定的取值范围，同理再确定的取值范围，进而确定的取值范围，利用二倍角的正切公式求出正切值，再利用两角和的正切公式，求出，最后求出的值.【详解】因为，，所以，因为，，所以，因此.,.【点睛】本题考查了根据角的正切值求角的取值范围，考查了两角和的正切公式，考查了二倍角的正切公式，考查了根据正切值求角问题，考查了数学运算能力.28．（2019·上海市青浦高级中学高一月考）已知，求的值【答案】.【分析】根据同角三角函数关系，求出的值，然后利用二倍角公式将所求式子化简，代入已知量，得到答案.【详解】因为，所以，所以.【点睛】本题考查同角三角函数关系，二倍角的正弦公式，属于简单题.29．（2019·上海市控江中学高一期中）已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）3；（2）【分析】（1）由,可求出答案;（2）由二倍角公式可得,,然后分子分母同乘以,可得到原式,可得到答案.【详解】（1）；（2）【点睛】本题考查了三角函数的二倍角公式的应用,考查了三角函数恒等变换,属于基础题.能力提升一、单选题1．（2019·上海市七宝中学高一开学考试）“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】先考查充分性，再考虑必要性得解.【详解】当时，，但是当时，分母为零，没有意义.所以“”是“”的非充分条件；当时，.所以，所以“”是“”的必要条件.所以“”是“”的必要非充分条件.故选B【点睛】本题主要考查三角函数的定义域和三角恒等变换，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题2．（2019·上海市宜川中学高一期中）已知且则________(用表示).【答案】【分析】由已知利用同角三角函数关系式切化弦，结合二倍角公式化简即可代入求值．【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及二倍角公式的应用，准确记忆公式是关键，属于基础题．3．（2019·上海市行知中学高一月考）若，且，求____________.【答案】【分析】将等式化简可得,,可得,进而利用二倍角公式求解即可【详解】由题,,即，又,则,即,则,所以故答案为【点睛】本题考查对数、指数的计算法则,考查和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查运算能力4．（2019·上海市控江中学高一期中）若且，则______.【答案】3【分析】由,可得,结合,可求得,,进而可求出.【详解】由题意,,解得,则,,则,,故,,.故答案为.【点睛】本题考查了三角函数求值,考查了二倍角公式的运算,属于基础题.5．（2019·上海市向明中学高一期中）已知，，则=______.【答案】2【分析】先考虑“变角”：，，再用三角恒等式展开计算即可.【详解】因为，，所以即，即，所以，所以，所以.故答案为2【点睛】本题考查三角函数中“变角”的思想，同时考查学生的推理与计算能力，属于中档题.“变角”，如：，.6．（2019·上海市向明中学高一期中）已知，则=______.【答案】2【分析】，所以可考虑用二倍角公式进行化简.【详解】，所以.故答案为2【点睛】本题考查三角恒等变换中“变角”的思想，同时考查学生的推理和计算能力，属于中档题.“变角”，如：，.7．（2019·上海市金山中学高一月考）在某次考试时，需要计算的近似值，小张同学计算器上的键失灵，其它键均正常，在计算时，小张想到了可以利用来解决，假设你的计算器的和键都失灵，请运用所学的三角公式计算出___________（列出相关算式，不计算答案）.【答案】（答案不唯一）【分析】利用二倍角公式和齐次式得到答案.【详解】故答案为【点睛】本题考查了齐次式的应用，将分母化为是解题的关键.8．（2019·上海市复兴高级中学高一月考）已知角是三角形一内角，且，则________．【答案】2【分析】由，得到，判断出和的正负，并解得它们的值，再由，得到的值，根据二倍角公式，得到关于的方程，求出答案.【详解】因为，所以有，即即，又因角是三角形一内角，即，所以所以可得，即为钝角，，因为所以得，即，所以可得，所以，所以，整理得，因为，所以，解得或者（舍）故答案为.【点睛】本题考查同角三角函数关系，正切的二倍角公式，属于中档题.9．（2019·上海市南洋模范中学高一期中）若，则__________．【答案】【详解】三、解答题10．（2019·上海市金山中学高一月考）已知.(1)求的值;(2)求的值.【答案】（1）；（2）试题分析：（1）利用正切的两角和公式求的值；（2）利用第一问的结果求第二问，但需要先将式子化简，最后变形成关于的式子，需要运用三角函数的倍角公式将化成单角的三角函数，然后分子分母都除以，然后代入的值即可．试题解析：（1）由（2）考点：1.正切的两角和公式；2.正余弦的倍角公式.11．（2019·上海黄浦区·高一期末）已知角、的顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴正半轴重合，且角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）的交点位于第二象限，角的终边和单位圆的交点位于第三象限，若点的横坐标为，点的纵坐标为.（1）求、的值；（2）若，求的值.（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）；（2）【分析】（1）可根据单位圆定义求出，再由二倍角正弦公式即可求解；（2）先求出由可求得，结合反三角函数即可求得【详解】（1）由题可知：，，，；（2）由，，又，【点睛】本题考查单位圆的定义，二倍角公式的应用，两角差余弦公式的用法，属于中档题12．（2019·上海市宜川中学高一期中）已知求:(1)(2)【答案】（1）2；（2）【分析】(1)利用两角差的正切展开求解即可（2）利用二倍角公式得tanx的二次齐次式，代入求值即可【详解】（1）（2）【点睛】本题考查两角差的正切公式，考查二倍角公式，考查变形化简能力，化为二次齐次式是关键，是中档题13．（2019·上海市控江中学高一期中）已知，.（1）判断的正负性，并说明理由；（2）若，求和的值.【答案】（1）负数，理由见解析；（2），【分析】（1）由,并结合的范围,可判断原式的正负性;（2）由二倍角的正切公式,可求出,进而可求得,结合余弦的二倍角公式,可求得,再利用可求得的值.【详解】（1）依题意,,,，,，，即为负.（2）由,得，则,解得，.所以.由，,得，由,得.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式的运用,考查了三角函数的二倍角公式、同角三角函数基本关系的应用,考查了学生的计算求解能力，属于中档题.14．（2019·上海市向明中学高一期中）已知，，若，，求的值.【答案】【分析】先考虑“变角”：，再用三角恒等式展开计算即可.【详解】因为，，所以，，，所以，，因为，，所以，，所以，所以.【点睛】本题考查三角恒等变换中“变角”的思想，同时考查学生的推理和计算能力.“变角”，如：，.15．（2019·上海市七宝中学高一期中）给出集合(1)若求证:函数(2)由(1)可知，是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：命题甲:集合M中的元素都是周期函数；命题乙:集合M中的元素都是奇函数，请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确,请举出反例；(3)设为常数,且求的充要条件并给出证明.【答案】（1）证明见解析；（2）命题甲正确，命题乙不正确；（3）的充要条件为，，且．证明见解析.【分析】（1）转化证明等价于，利用两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）命题甲正确．集合中的元素都是周期为6的周期函数，验证即可，命题乙不正确．集合中的元素不都是奇函数，列举反例即可；（3）由函数的周期性，结合正弦公式，化简可得所求的值．【详解】（1）证明：转化证明，左边右边；（2）命题甲正确．集合中的元素都是周期为6的周期函数．，可得，即有，可得，即，为最小正周期为6的函数；命题乙不正确．集合中的元素不都是奇函数．如是奇函数；不是奇函数．（3）由，可得，即有，可得，即，，可得，即为，即为，可得，，且，可得，，且．则的充要条件为，，且．【点睛】本题考查函数的应用，函数的周期性和奇偶性，考查三角函数的恒等变换的应用，考查充要条件的判断和证明，属于中档题．16．（2019·上海市七宝中学高一期中）已知且是第四象限角．(1)求和的值；(2)求的值．【答案】（1），；（2）【分析】（1）先化简已知，再利用二倍角公式求出和的值；（2）利用诱导公式和同角的三角函数关系化简求值得解.【详解】（1）由，所以即，是第四象限角，．，是第四象限角，．（2）由【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系式化简和计算能力．属于基础题17．（2019·上海市复兴高级中学高一月考）在中，（1）若求的值；（2）若判断的形状；（3）若求的值.【答案】（1）（2）等腰三角形（3）【分析】（1）中，可得，可得，将所求的式子进行转化，得到，再用两角差的余弦公式展开，得到答案；（2）由降幂公式可得，然后将，利用两角和出余弦公式展开化简整理，得到，得到，作出判断；（3）利用二倍角公式，得到，整理化简得，两边平方，可得的值，再判断出的范围，得到的值.【详解】（1）在中，，所以所以.（2）因为为三角形的内角，所以，即则为等腰三角形.（3）因为为三角形内角，所以，即所以平方得因为，所以所以可得，即则.【点睛】本题考查两角和、差的三角公式，二倍角公式，同角三角函数关系，判断三角形形状，属于中档题.18．（2019·上海市复兴高级中学高一月考）已知，求值：（1）；（2）.【答案】（1）;（2）【分析】（1）由得到，再由二倍角余弦公式得到答案；（2）计算出的值，然后得到，由二倍角正切公式得到，然后得到答案.【详解】（1）因为，所以，即，所以，（2）因为，所以可得，所以，所以由二倍角公式得：即，所以可得，或因为，所以故，所以，所以.【点睛】本题考查两角和的余弦公式，二倍角公式，同角三角函数关系，对计算能力有一定的要求，属于中档题.19．（2019·上海市南洋模范中学高一期中）如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若，，，设的面积为，正方形的面积为(1)用表示和；(2)当变化时，求的最小值及此时角的大小.【答案