专题32正方形与45度角模型-初中数学模型与解题方法专题训练

专题32正方形与45度角模型一、单选题1．如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(6，6)，点E、F分别在边BC、BA上，OE=3．若∠EOF=45°，则F点的纵坐标是(

)

A．2 B． C． D．－1【答案】A【详解】如图，连接EF，延长BA，使得AM=CE，∵OA=OC，∠OCE=∠AOM，∴△OCE≌△OAM（SAS）．

∴OE=OM，∠COE=∠MOA，∵∠EOF=45°，∴∠COE+∠AOF=45°，∴∠MOA+∠AOF=45°，∴∠EOF=∠MOF，在△OFE和△OFM中，，∴△OFE≌△FOM（SAS），∴EF=FM=AF+AM=AF+CE，设AF=，∵CE=，∴EF=，EB=3，，∴()2=32+()2，∴，∴点F的纵坐标为，故选：A2．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①AG+EC=GE；②；③的周长是一个定值；④连结FC，的面积等于．在以上4个结论中，正确的是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】解：由正方形与折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，

∴∠DFG=∠A=90°，∴，故①正确；由对折可得：，故②正确；设则所以：的周长是一个定值，故③正确，如图，连接由对折可得：故④正确．综上：①②③④都正确．故选3．如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：①；②连接，，则为直角三角形；③；④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(

)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】解：如图中，四边形是正方形，，，，，在和中，，，，同理可证，，，，，故①正确；如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，，由旋转知：，，四边形是正方形，，，，，，又，，，四边形是正方形，．由旋转知：，，，，．又，，，，同理可证：，即为直角三角形，故②正确；，，又，由①可知：，，，又，，故③正确；如图中，旋转到，，，，同理②中可证：，，设，，，四边形是正方形，，，在中，根据勾股定理得，或舍，，，正方形的边长为；由正方形的边长为，，由①可知，，，由②得，设，，，，，解得，，故④正确故选：A．4．如图，在正方形内作，交于点，交于点，连接，过点作，垂足为点，将绕点顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，故①正确，设正方形的边长为，则由勾股定理得：解得：（舍去）故②错误，故③正确，故④正确．综上：①③④正确，故选C．5．已知在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC与CD上的点，且，AE与AF分别交对角线BD于点M、N．则下列结论：①；②；③；④正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【详解】解：①如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△AB，由旋转的性质得，B=DF，A=AF，∠BA=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠EA=∠BA+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°∠EAF=45°，∴∠EA=∠EAF=45°，在△AEF和△AE中，∴△AEF≌△AE（SAS），∴E=EF，∴∠AEB=∠AEF，∴BE+B=BE+DF=EF，故①正确；②∵，∴△∴又∵∠∴△故②正确③把△AND按顺时针绕点A旋转90°，∴，∵∠ABD=45°∴∠∴是直角三角形，同理可证：△，∴∴故③正确；④连接AC，∵∠∴∠∵∠∴△∴∴．故④错误，所以，正确的结论有3个，故选：B．6．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③S△AGE=18；④∠GAE=45°，其中正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④【答案】D【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC=6，∠B=∠D=90°，∵CD=3DE，∴DE=2，∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，∴AF=AB，∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．∴①正确；∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴BG=FG，∠AGB=∠AGF．设BG=x，则CG=BCBG=6x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2．∵CG=6x，CE=4，EG=x+2，∴（6x）2+42=（x+2）2，解得：x=3．∴BG=GF=CG=3．∴②正确；∵BG=GF=CG=3，CD=3DE，AB=AD=DC=6，DE=EF=2，∴GE=GF+EF=5，AF=AB=6，∴S△AGE=，∴③错误；∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，∴△DAE≌△FAE．∴∠DAE=∠FAE．∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG=∠FAG．∵∠BAD=90°，∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=×90°=45°．∴④正确．故选D．二、填空题7．如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，的周长为6，则正方形的边长为.【答案】3.【详解】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，在△FAE和△EAF′中，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，∵△ECF的周长为6，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=6，∴2BC=6，∴BC=3．故答案为：3．8．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、EF、AF，且∠EAF＝45°，下列结论：①△ABE≌△ADF；②∠AEB＝∠AEF；③正方形ABCD的周长＝2△CEF的周长；④S△ABE+S△ADF＝S△CEF，其中正确的是．（只填写序号）【答案】②③【详解】解：①当E、F不是BC和CD的中点时，BE≠DF，则△ABE≌△ADF不成立，故①错误；②延长CD至G，使得DG＝BE，连接AG，如图1，∵四边形ABCD为正方形∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，∠AEB＝∠G，AE＝AG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF，∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AEF＝∠G，∴∠AEB＝∠AEF，故②正确；③∵△AEF≌△AGF，∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝BC+CD＝2BC，∵正方形ABCD的周长＝4BC，∴正方形ABCD的周长＝2△CEF的周长，故③正确；④∵△ABE≌△ADG，∴S△ABE＝S△ADG，∴S△ABE+S△ADF＝S△AGF，∵GF＝EF＞CF，AD≥CE，∴，即S△AGF＞S△CEF，∴S△ABE+S△ADF≠S△CEF，故④错误；故答案为：②③．9．如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为．【答案】2【详解】解：∵将△绕点顺时针旋转得到△，∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，∵，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°，∴∠GAE=∠FAE，又AE=AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE=EF，设BE=x，则CE=6－x，EF=GE=DF+BE=3+x，∵DF=3，∴CF=3，在Rt△CEF中，由勾股定理，得：，解得：x=2，即BE=2．故答案为：2．10．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则∠EAF的度数是．【答案】45°【详解】解：如图，延长EB到点G，使得BG=DF，连接AG，在正方形ABCD中，∠D=∠ABC=，AB=AD，∴∠ABG=∠ADF=，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=BG+BE=EG，∴在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF(SSS)，∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=，∴∠BAG+∠EAF+∠BAE=，∴∠EAG+∠EAF=，∴∠EAF=．故答案为：．11．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，则∠EAG＝度．【答案】45．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝90°，由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，∠BAE＝∠EAF，∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∠GAF＝∠GAD，∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°．故答案为：45．12．如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为．【答案】【详解】解：逆时针旋转得到，，、、三点共线，，，，，，在和中，，，，设，，且，，，，在中，由勾股定理得，即，解得：，．故答案为：．13．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），，下列三个结论：①当MN＝MC时，则；②2；③△MNC的周长不变；④∠AMN－∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是．

【答案】①②③【详解】①∵正方形ABCD中，∠C＝90°∴MN2＝MC2＋NC2当MN＝MC时，MN2＝2MC2∴MC2＝NC2∴MC＝NC∴BM＝DN易证△ABM≌△ADN（SAS）∴∠BAM＝∠DAN∵∠MAN＝45°∴∠BAM＝22.5°，故①正确；②如图，

将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，则∠EAN＝∠EAM−∠MAN＝90°−45°＝45°则在△EAN和△MAN中，AE＝AM，∠EAN＝∠MAN，AN＝AN，∴△EAN≌△MAN（SAS）∴∠AMN＝∠AED∴∠AED＋∠EAM＋∠ENM＋∠AMN＝360°∴2∠AMN＋90°＋（180°−∠MNC）＝360°∴2∠AMN−∠MNC＝90°故②正确；③∵△EAN≌△MAN∴MN＝EN＝DE＋DN＝BM＋DN∴△MNC的周长为：MC＋NC＋MN＝（MC＋BM）＋（NC＋DN）＝DC＋BC∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变；④将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，则∠FAM＝∠FAN−∠MAN＝90°−45°＝45°则在△FAM和△MAN中，AF＝AN，∠FAM＝∠MAN，AM＝AM，∴△MAF≌△MAN（SAS），∴∠AMB＝∠AMN，故④错误；

综上①②③都正确，故答案为：①②③．14．如图，正方形的边长为1，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：①；②平分；③；④的面积的最大值是；其中正确的结论是．【答案】①③【详解】解：如图1中，在上截取，连接．，，，，，，，，，，∴，，，，，，，故①正确；∵在中，，∴，∴，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴不平分，故②错误；如图2中，延长到，使得，连接CH，又∵，，∴，，，，，又，，，，，，故③正确；如图1，设，则，，，∴当时，的面积取得最大值，最大值为，故④错误，故答案为：①③．三、解答题15．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，，求的度数．【答案】45°【详解】解：如图，延长EB到点G，使得，连接AG．在正方形ABCD中，，，．在和中，，，，．又，在和中，，，．，，，．16．如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上．（1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长．【答案】（1）全等，理由详见解析；（2）5【详解】解：（1）全等．理由如下∵∠D＝∠ABE＝90°，∴∠ABG＝90°＝∠D，在△ABG和△ADF中，，∴△GAB≌△FAD（ASA）；（2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∵△GAB≌△FAD，∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，∴∠GAB+∠BAE＝45°，∴∠GAE＝45°，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS）∴EF＝GE∵△GAB≌△FAD，∴GB＝DF，∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5．17．（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析【详解】解：（1）证明：延长到，使得；连接

∵四边形是正方形

∴，

又∵

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴（2）证明：延长到，使得；连接

∵，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴18．如图，正方形ABCD中，边长为4，M、N在AB、AD上．(1)若∠MCN＝45°，则BM＋DN__________MN（填“＞”“＜”或“＝”）；(2)如图1，若∠NMC＝∠MCD，求△AMN的周长；(3)如图2，若M、N在AB、AD反向延长线上，在(2)的条件下，直接写出DN、MN、BM的数量关系．

【答案】（1）=；（2）8；（3）【详解】解：（1）如图1中，延长到，使得，连接．四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，．故答案为：；（2）如图中，作于．，，，，，，，，，，，，，，，，的周长．（3）结论：．理由：如图2中，在上取一点使得．四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，．19．如图，在四边形纸片ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，∠EAF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若EC＝FC＝1，求AB的长度．【答案】（1）见解析；（2）．【详解】（1）由折叠性质知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，∵∠EAF=45°，∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°，又∵∠B=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形，由折叠性质知：AB=AG，AD=AG，∴AB=AD，∴四边形ABCD是正方形；（2）∵EC=FC=1，∴BE=DF，EF=，∵EF=EG+GF=BE+DF，∴BE=DF=EF=，∴AB=BC=BE+EC=．20．已知正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、或它们的延长线于点M、N，当绕点A旋转到时如图，则线段BM、DN和MN之间的数量关系是______；当绕点A旋转到时如图，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系；写出猜想，并加以证明；当绕点A旋转到如图的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系；请直接写出你的猜想．【答案】（1）（2），证明见解析；（3）．【详解】解：（1）如图1，连接AC，交MN于点G．∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD，且BM=DN，∴CM=CN，且AC平分∠BCD，∴AC⊥MN，且MG=GN，∴AM=AN．∵AG⊥MN，∴∠MAG=∠NAG．∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，∴∠BAM=∠GAN=∠GAM．在△ABM和△AGM中，∵，∴△ABM≌△AGM（AAS），∴BM=MG，同理可得GN=DN，∴BM+DN=MG+GN=MN．故答案为BM+DN=MN；（2）猜想：BM+DN=MN，证明如下：如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE．在△ABE和△ADN中，∵，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAM=∠NAM．在△AEM和△ANM中，∵，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，又ME=BE+BM=BM+DN，∴BM+DN=MN；（3）DN﹣BM=MN．证明如下：如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF．△ABM和△ADF中，∵，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠FAN=45°．在△MAN和△FAN中，∵，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN=NF，∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM，∴DN﹣BM=MN．21．如图，在正方形中，，交、于、，交于、．（1）求证：；（2）求证：；（3）求证：．【答案】见解析【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形∴∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD，∵∠EAF=45°∴∠BAG=45°+∠BAH，∠AHD=45°+∠BAH，∴∠BAG=∠AHD，又∵∠ABD=∠ADB=45°，∴△ABG∽△HDA，∴，∴BG•DH=AB•AD=AD2；（2）如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形∴∠ACE=∠ADB=∠CAD=45°，∴AC=AD，∵∠EAF=45°，∴∠EAF=∠CAD，∴∠EAF∠CAF=∠CAD∠CAF，∴∠EAC=∠GAD，∴△EAC∽△GAD，∴＝，∴CE=DG；（3）由（2）得：△EAC∽△GAD，∴＝，同理得：△AFC∽△AHB，∴＝，∴＝，∴，∵∠GAH=∠EAF，∴△GAH∽△EAF，∴＝，∴EF=GH．22．如图，正方形中，交于点交于点，分别交于，连接．求证：；求的值；若正方形的边长为5，，求的长．【答案】见解析；；【详解】证明：四边形为正方形，又，连接，四边形是正方形．，∵正方形的边长为5∴BD=∴由得由，同理得：23．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．（1）延长CB到点G，使BG＝，连接AG；（2）证明：EF＝BE＋DF【答案】（1）DF；（2）见解析【详解】解：（1）根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG；（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，在△ADF和△ABG中∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AF=AG，∠DAF=∠GAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠GAB+∠EAB=45°，∴∠GAE=∠EAF=45°，在△AGE和△AFE中0∴△ADF≌△ABG（SAS），∴GE=EF，∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF24．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝CF+AE；（2）当AE＝2时，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）5，详见解析．【详解】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，∵，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，∴EF＝CF+AE；（2）解：设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，在Rt△EBF中，由勾股定理得，即，解得：x＝5，则EF＝5．25．分层探究（1）问题提出：如图1，点E、F别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF，解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转度至△ADG，可使AB与AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，则知F、D、G三点共线，从而可证△AFG≌（），从而得EF＝BE+DF，阅读以上内容并填空．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，当∠B、∠D满足什么数量关系时，仍有EF＝BE+DF？（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由．【答案】（1）90，△AFE，SAS；（2）∠B+∠D＝180°；（3）EF2＝BE2+FD2，理由见解析【详解】解：（1）∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，∴点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴EF＝FG，即EF＝BE+DF，故答案为：90，△AFE，SAS；（2）当∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，如图2∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC+∠B＝180°，∴∠FDG＝180°，∴点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即EF＝BE+DF，故答案为：∠B+∠D＝180°；（3）猜想：EF2＝BE2+FD2，证明：把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，如图3，∴△AFD≌△ABE′，∴BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABD+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BE2＝E′E2，又∵∠FAE＝45°，∴∠BAE+∠EAD＝45°，∴∠E′AB+∠BAE＝45°，即∠E′AE＝45°，在△AEE′和△AEF中，，∴△AEE′≌△AEF（SAS），∴EE′＝FE，∴EF2＝BE2+DF2．26．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°（1）求证：BE+DF=EF（2）当BE=1时，求EF的长【答案】（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）如图，将绕点A顺时针旋转得到，四边形ABCD是正方形，，点B是点D旋转后的对应点，点G是点F旋转后的对应点，由旋转的性质得：，，点在同一条直线上，又，，在和中，，，，又，；（2）设，由（1）已证：，，，四边形ABCD是边长为3的正方形，，，，在中，，即，解得，故EF的长为．27．如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，D，M关于直线AF对称．连结DM并延长交AE的延长线于N，求证：．【答案】见解析【详解】证明：连结，、关于对称，∴垂直平分，，∴，∴，，在Rt和Rt中，∴，又，∴，∴．28．如图，点，分别在正方形的边，上，，点在的延长线上，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）5【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴，，在与中，，∴（SAS），∴．（2）解：由，得∴，在与中，,∴（SAS），∴，在中，，∴．29．已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．（可利用（2）得到的结论）【答案】（1）AB＝AH；（2）成立，证明见解析；（3）3【详解】解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADN中，，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，在Rt△ABM和Rt△AHM中，，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），∴AB＝AH，故答案为：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延长CB至E，使BE＝DN，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，∵BE＝DN，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又AM＝AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH．（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四边形ABCD是矩形，∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．由（2）可知，设NH＝x，则MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，解得x＝3，∴NH＝3．30．已知正方形ABCD，点E，F分别是边AB，BC上的动点．（1）如图1，点E，F分别是边AB，CD上的中点，证明DE＝DF；（2）如图2，若正方形ABCD的边长为1，△BEF的周长为2．①试证明∠EDF＝45°；②请你进一步探究图形的其它重要性质，并将如下A，B，C，D四个结论中，正确的代号直接填写在横线上（不必写出推理过程）：_________．A．△DEF一定是等腰三角形．B．EF＝AE+CF．C．△DEF中，EF边上的高为定值．D．△DEF的面积存在最小值．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②BCD【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AD＝CD＝AB＝BC，∵点E，F分别是边AB，CD上的中点，∴AE＝AB，CF＝BC，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF；（2）如图2，①延长BC至G，使CG＝AE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝BC＝1，∴BE+AE+BF+CF＝BE+CG+BF+CF＝2，即BE+BF+FG＝2，∵△BEF的周长为2，∴BE+BF+EF＝2，∴EF＝FG，∵∠DCG＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠DCG＝∠A，在△DCG和△DAE中，，∴△DCG≌△DAE（SAS），∴DG＝DE，∠CDG＝∠ADE，∵∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠CDG+∠EDC＝90°，∴∠EDG＝90°，在△DEF和△DGF中，，∴△DEF≌△DGF（SSS），∴∠EDF＝∠FDG，∵∠EDF+∠FDG＝90°，∴∠EDF＝∠FDG＝45°；②如图2，设AE＝x，则BE＝1﹣x，BF＝1+x﹣FG＝1+x﹣EF，∵BE2+BF2＝EF2，∴（1﹣x）2+（1+x﹣EF）2＝EF2，解得：EF＝，在Rt△ADE中，DE＝，∵CF＝，∴DF＝＝，∴△DEF不一定是等腰三角形，故结论A不正确；由①知，EF＝FG＝CF+CG＝CF+AE，故结论B正确；由①知，△DEF≌△DGF，∴EF边上的高＝GF边上的高＝1，故结论C正确；如图3，连接BD，延长DA至G，延长DC至H，使DG＝DH＝DB＝，连接GH，交AB于点，交BC于点，则∠DGH＝∠DHG＝45°，A＝AG＝C＝CH＝﹣1，∴B＝B＝AB﹣AE′＝2﹣，由勾股定理得：＝（2﹣）＝2﹣2，又∵AE'+C＝2﹣2，∴A+C＝，根据①可知∠＝45°，此时，最小，即△DEF的面积存在最小值，故结论D正确；故答案为：BCD．31．已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H．（1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________；（2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长．【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）【详解】解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADN中，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN，∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，在Rt△ABM和Rt△AHM中，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），∴AB＝AH，故答案为：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延长CB至E，使BE＝DN，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠EAB＋∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH．（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四边形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD．由折叠可得BM＝MH＝3，NH＝DN＝7，设AH＝AB＝BC＝CD＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2，∴，解得或（舍去），∴．32．已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P