广东省惠州一中10-11学年度高一上学期期末考试（数学）

广东省惠州一中10-11学年度高一上学期期末考试（数学）一、选择题要求：从下列各题给出的四个选项中，选择一个正确的答案，并将所选答案的字母填入题后的括号内。1.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_4=20$，$S_6=36$，则$a_3$的值为A.2B.4C.6D.82.在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=CD，则三角形ADE与三角形ABC的面积比为A.1:2B.2:1C.1:1D.4:13.已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，若$f(x)$的图像与直线$y=0$相交于两点，则$f(x)$的对称中心为A.(0,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)4.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项分别为$1$，$2$，$4$，则$\{a_n\}$的公比$q$为A.$\frac{1}{2}$B.$2$C.$-1$D.$-2$5.在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于直线$y=x$的对称点为B，则点B的坐标为A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(2,2)二、填空题要求：将正确答案填入题中的横线上。6.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$在区间$[-1,1]$上的最大值为2，最小值为0，则$a+b+c=$7.在直角坐标系中，点A（1，1），B（-1，-1），C（2，0），则三角形ABC的面积是8.若等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为$1$，$2$，$3$，则该数列的公差是9.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项分别为$1$，$2$，$4$，则该数列的公比是10.在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（-1，-1），C（2，0），则三角形ABC的周长是三、解答题要求：请将解答过程和答案填写在答题纸上。11.（本小题满分12分）已知等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为$1$，$2$，$3$，求：（1）该数列的通项公式；（2）该数列的前$n$项和公式；（3）该数列的前$n$项和的最大值。12.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，求：（1）函数$f(x)$的图像与直线$y=0$相交的两点坐标；（2）函数$f(x)$的图像的对称中心；（3）函数$f(x)$在区间$[-2,2]$上的最大值和最小值。13.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（-1，-1），C（2，0），求：（1）三角形ABC的面积；（2）三角形ABC的周长；（3）三角形ABC的三条边长。四、解答题要求：请将解答过程和答案填写在答题纸上。14.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，求：（1）函数$f(x)$的定义域；（2）函数$f(x)$的单调区间；（3）函数$f(x)$的极值。15.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（-2，1），C（3，0），求：（1）直线AB的方程；（2）直线AC的斜率；（3）三角形ABC的面积。五、解答题要求：请将解答过程和答案填写在答题纸上。16.（本小题满分12分）已知等比数列$\{a_n\}$的前四项分别为$2$，$4$，$8$，$16$，求：（1）该数列的公比；（2）该数列的前$n$项和公式；（3）该数列的前$n$项和的最大值。六、解答题要求：请将解答过程和答案填写在答题纸上。17.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=x^2-4x+3$，求：（1）函数$f(x)$的图像与x轴相交的两点坐标；（2）函数$f(x)$的图像的顶点坐标；（3）函数$f(x)$在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：由等差数列的性质知，$S_4=4a_1+6d=20$，$S_6=6a_1+15d=36$，解得$d=2$，$a_1=2$，所以$a_3=a_1+2d=6$。2.C解析：由于AD是BC边上的中线，所以BD=CD，又因为BE=CD，所以BD=BE，因此三角形ABD和三角形CDE相似，面积比为1:1。3.B解析：函数$f(x)$的导数为$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$，所以$f(x)$在$x=1$处取得极小值，且对称中心为$(1,0)$。4.B解析：等比数列的公比$q$为相邻两项之比，所以$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2$。5.B解析：点A（2，3）关于直线$y=x$的对称点B的坐标可以通过交换x和y的值得到，即B（3，2）。二、填空题6.3解析：由函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上的最大值和最小值，可知$a+b+c=f(-1)+f(1)=2+0=2$。7.3解析：三角形ABC的面积可以用行列式法计算，即$\frac{1}{2}\times|(1\times(-1)+(-1)\times2+2\times3)|=3$。8.1解析：等差数列的公差是相邻两项之差，所以$d=a_2-a_1=3-1=2$。9.2解析：等比数列的公比是相邻两项之比，所以$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2$。10.6解析：三角形ABC的周长是三边之和，即$AB+BC+CA=\sqrt{(2-(-1))^2+(3-(-1))^2}+\sqrt{(2-2)^2+(0-3)^2}+\sqrt{(2-3)^2+(0-1)^2}=6$。三、解答题11.（本小题满分12分）（1）$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times2=2n-1$；（2）$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2$；（3）$S_n$的最大值为$S_3=3^2=9$。12.（本小题满分12分）（1）令$f(x)=0$，解得$x=1$或$x=-1$，所以交点坐标为（1，0）和（-1，0）；（2）对称中心为$(1,0)$；（3）在区间$[-2,2]$上，$f(x)$的最大值为$f(1)=0$，最小值为$f(-2)=-2$。13.（本小题满分12分）（1）三角形ABC的面积可以用行列式法计算，即$\frac{1}{2}\times|(2\times(-1)+(-1)\times0+2\times3)|=3$；（2）三角形ABC的周长是三边之和，即$AB+BC+CA=\sqrt{(2-(-1))^2+(3-(-1))^2}+\sqrt{(2-2)^2+(0-3)^2}+\sqrt{(2-3)^2+(0-1)^2}=6$；（3）三角形ABC的三条边长分别为$AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$BC=\sqrt{(-1-2)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{10}$，$CA=\sqrt{(2-3)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$。四、解答题14.（本小题满分12分）（1）函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$；（2）函数$f(x)$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递增；（3）函数$f(x)$在$x=0$处取得极小值，极小值为$f(0)=0$。15.（本小题满分12分）（1）直线AB的斜率为$\frac{1-2}{-1-2}=\frac{1}{3}$，所以直线AB的方程为$y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$；（2）直线AC的斜率为$\frac{0-2}{3-1}=-1$；（3）三角形ABC的面积可以用行列式法计算，即$\frac{1}{2}\times|(1\times1+(-2)\times0+3\times2)|=3$。五、解答题16.（本小题满分12分）（1）公比$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4}{2}=2$；（2）$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=2^{n+1}-2$；（3）$S_n$的最大值为$S_4=2^{4+1}-2