流体力学-第二章习题解答 (一)

第2章流体静力学

2.1大气压计的读数为100.66kPa(755mmHg),水面以下7.6m深处的绝

对压力为多少？

知：

求：水下h处绝对压力P

解：

2.2烟囱高H=20m,烟气温度ts=300℃,压力为ps,确定引起

火炉中烟气自动流通的压力差。烟气的密度可按下式计算：P=

(1.25-0.0027ts)kg/m3,空气P=1.29kg/m3。

解：把代入得

2=(1.25—0.00274)依/〃,

=(1.25-0.0027x300)依/M

=0.44依/机,

压力差，把，，，分别代入上式可得

△p=9-p)gH

=(1.29-0.44)x9.8x20尸〃

=166.6&

2.3已知大气压力为98.lkN/m2。求以水柱高度表示时：(1)绝对压力

为117.2kN/m2时的相对压力；(2)绝对压力为68.5kN/m2时的真空值各

为多少？

解：(1)相对压力:pa二p-p大气二117.72-98.1=19.62KN/

以水柱高度来表示:h=pa/=19.62*/(9.807*)=2.0m

(2)真空值:

以水柱高度来表示:h=pa/=29.6*/(9.807*)=3.0m

2.4如图所示的密封容器中盛有水和水银，若A点的绝对压力

为300kPa,表面的空气压力为180kPa,则水高度为多少？压力表B的读

数是多少？

解：水的密度1000kg/m3,水银密度13600kg/m3

A点的绝对压力为:

300x103=180X103+1000X9.8h+13600X9.8X0.8

求得:h=1.36m

压力表B的读数

pw=〃一几=(300-101)KPa=199KPa

2.5如图所示，在盛有油和水的圆柱形容器的盖上加教F=5788N已知hl=50cm,h2=30cm.d=0.4cm,油密

度P油=80()kg/m3水银密度PHg=136(X)kg/m3,求U型管中水银柱的高度差H。

解：盖上压强

h

pHggH=Pl+PH2O^+6g2n

H=--------------------------------

P“f：g

_46082.8+1000x9.807x0.5+800x9.807x0,3

136(X)x9.807

n0.4/7?

2.6如右图所示为一密闭水箱，当U形管测压计的读数为12cm时，试确

定压力表的读数。

解：容器内真空压强：

压力表的读数

P*=P-Po

=P/ogh-PQ

=9.807x3xlOOO-l6005.24

=13415.8&

2.7如图所示，一密闭容器内盛有油和水，并装有水银测压管，已知油层hl=30cm,h2=50cm.h=40cm,油

的密度P油=800kg/m3,水银密度PHg=13600kg/m3求油面上的相对压力。

解：设油面的绝对压力为P

在水和汞接触面上有如下压力平衡关系：

R+夕版gg+上一久）=〃+夕油g4+夕水g七则油面的相对压力

P

P-.=小隹也+为一〃）一~夕水gH

p_R=l3600x9.807x0.4-800x9.807x0.3-1000x9.807x0.5

二46093°,

2.8如图所示，容器A中液体的密度PA=856.6kg/m3,容器B中液体的密度PB=1254.3kg/m3,U形差压

机中的液体为水银。如果B中的压力为200KPa,求A中的压力。

解：设水银U形管两边的水银面分别为1、2,则有

P\=Pb-pbgh、=200KPa-1254.3/:^//w3x9.8C7x5mxIO_3KPa=138.5KPa

?=《一夕贡gh=138.5KPa-13600kg//n3x9.807xO.(MxIO_3^=133.2KPa

PA=P2+pAgh=133.2KPa+856.6Zg/而x9.807x2mx1(尸KPa=15().3KPa

2.9U形管测压计与气体容器K相连，如图所示已知

h=500mm,H=2mo求U形管中水银面的高度差AH为多少?

解：设K中真空压强为P,大气压为Pa,依题意得

Pa-P=PH26gH

PbP=PHg"H

pHggH=Phgg4H=>

_PHOSH1000x2

-H2=0.147m

13600

2.10试按复式测压计的读数算出锅炉中水面上蒸汽的绝对压力p。已知:

H=3m,hl=l.4m,h2=2.5m,h3=l.2m,h4=2.3m,水银密度P=13600kg/m3。

解：如图所示标出分界面1.2和3,根据等压面条件，分界面为等压面。

3点的绝对压力为：P3=Pa+(Hgg(h4-h3)

2点的绝对压力为:P2=P3-(H2Og(h2-h3)

1点的绝对压力为:Pl=P2+(Hgg(h2-hl)

蒸汽的绝对压力为：P=Pl-(H20g(H-hl)

整理上式得：

P=Pa+pHgg(h4-h?+h2-hi)-p，20g(H-hi)

将数据代入上式得：

P=10132.5+13600X9.8X(2.3-1.2+2.5-1.4)-1000X9.8X(3-1.4)=361004.44Pa

2.11如图所示,试确定A与B两点的压力差：已知：hl=500inm,h2=200mm.h3=150mm,h4=400mm。

酒精的密度Pl=800kg/m,水银的密度PHg=13600kg/m3水的密度P=1000kg/m3.

解：如图，可写处各个液面分界面的压强表达式：

Pa=Pc-〃水"

Pd=P汞g均

Pc=Pd+P酒g%3

Pb=Pe-P汞g%-P水8仇-A)

联立方程，代入数据解得

=

PA-Pn+力4)一P'Kg(h、+-hj-pgghy

=13600x9.8x(0.2+0.25)-1000x9.8x(0.5+0.25-0.4)-800x9.8x0.15

=55370p

2.12用倾斜微压计来测量通风管道中的A,B两点的压力差Ap,如图所示。

(1)若微压计中的工作液体是水，倾斜角。二45。，L=20cm,求压力差为

多少？

(2)若倾斜微压计内为酒精(P=800kg/m3),a=30°,风管A,B的压力差同(I)时,L值应为多少？

解：

(1)AP=/^Lsin45°=lOOOx9.807x0.2sin45°=1387Pa

(2)•.•△尸二0酒gLsina

△尸1387八“-。一u

Lz----------=---------------=0.3535m-35.35c7??

p酒gsina800x9.807x0.5

2.13有运水车以30km/h的速度行驶，车上装有长L=3.0m,高h=l.Om,

宽b=2.0m的水箱。该车因遇到特殊情况开始减速，经100m后完全停下,

此时，箱内一端的水面恰到水箱的上缘。若考虑均匀制动，求水箱的盛水

量。

解：设水车做匀减速运动的加速度为a,初速度Vo=(30*103)/3600=8.3m/s

由运动学公式式中，

当s二100小时，解得a=-0.347%?

则a=-0.347m/s2,其中负号表示加速度的方向与车的行驶方向相反。

设运动容器中流体静止时液面距离边缘为x叫则根据静力学公式有：

x/1.5=a/g求出:x=0.053m

则h=l-0.053=0.947m水体积：V=2*3*h=6x0.947=5.682m3

则水箱内的盛水量为：1产PV=1000x5.682kg=5682kg

2.14如图所示，一正方形容器，底面积为bXb=(200X200),

=4Kg。当它装水的高度h=150mm时，在二25Kg的载荷作用下沿平面滑

动。若容器的底与平面间的摩擦系数=0.3,试求不使水溢出时容器的最

小高度H是多少？

解：由题意有，水的质量

m2g~(町+肛))gCf=(g+tn+)a

曰牛顿定律2

25x9.8—10x9.8x0.3=35。

4=6.16%

解得

a=arclan—=arctan=32.152

倾斜角g9.8

z,=-—(——)=—^―x100=67.5/wm

超身,g29.8

H=h+z,=150+67.5=217mm=0.217〃?

所以最小高度

2.15如图所示，为矩形敞口盛水车，长L=6mm,宽b=2.5mm，高h=2mm,静

止时水深hl=l叫当车以加速度a=2前进时，试求

(1)作用在前、后壁的压力;

(2)如果车内充满水，以a=L5，的等加速前进，有多少水溢

出？

解：(1)前壁处的超高

则前壁水的高度兀=h+Zs=0388小

形心高度"二牛=0.194m

前壁受到的压力

J7...=PghcA=1000*9.8*0.194*0.388*2.5=1847N

后壁压力

F.=PghdlA=1000*9.8*(1+0.612)/2*(1+0.612)*2.5=31832N

(2)当4=1.5/2时。后壁处的超高Z=-9*'=2.........⑴

/$Zsg2g

车内水的体积............(2)

流出的水的体积△vnLbh-V.............(3)

联立(1)(2)(3)式子，得Z\v=6.88

2.16如图所示，为一圆柱形容器，直径d=300mm,高H=500mm,容器内装

水，水深hl=300mm,使容器绕垂直轴作等角速度旋转。

(1)试确定水刚好不溢出的转速a

⑵求刚好露出容器地面时的转速n2,这时容器停止旋转，水静止后的深度h2

等于于多少?

解:

(1)旋转抛物体的体积等于同高圆柱体的体积的一半,

后相等，故

zs=04

又由：，贝IJ

r015

无水溢出的最大转速为：

1t■竺?

<2)刚好露出容器地面是z,=2此时

r0.15

jr

a、—x03lxK-5xOJ^xOS-lc-xOVxO?)

容器内水的体积4.424

解得知=025加

如图所示，为了提高铸件的质量，用离心铸件机铸造车轮。已知铁水密度P=

7138kg/m3,车轮尺寸h=250mm,d=900mm,求转速n=600r/min时车轮边缘

处的相对压力。

解：转速，

士=竺3*4.

2g2x9.807

边沿压强p二2gh=(41+0.25)x9.807x7138=2.88MPa

如图所示，一圆柱形容器，直径d=L2m,充满水，并绕垂直轴等角速度旋

转。在顶盖上r()=0.43m处安装一开口测压管，管中的水位h=().5m。问此容

器的转速n为多少时顶盖所受的总压力为零？

解：(1)取圆柱中心轴为坐标轴，坐标原点取在顶盖中心。处,z轴铅直

向上。由压力微分方程式dp=P(w2rdr-gdz)

积分上式，得

日边界条件：r=rO,z=0时，p=pa+yh,得积分常数。于是，容器中液体内各点的静压力

分布为

(orr2夕疗塔

凡+hP(———gz)---

P=r+乙，

=Pa4-1p692(r-^)+y(/?-z)

乙

故容器顶盖上各点所受的静水压力(相对压力)为

Aeoj=P-A=52♦-4)+*

所以容器顶盖所受的静水总压力为

「R「RI’,

p=JoPng)-2irdr=jo[-pco-(r--r-)+泮]2〃〃dr

=R2P①2(R?-2r；)+JrR2yh

令静水总压力P=0,得

^R2pM2(R2-2r-)-^7rR2/h=0

整理上式，得

4x9.81x0.5

=44.74rad/s

2x0.432-0.62

则顶盖所受静水总压力为零时容器的转速为

①44.74

n=——=---------=7.12r/s

2万2x3.14

一矩形闸门两面受到水的压力，左边水深Hl=5m,右边水深H2

=3m,闸门与水平面成a=45°倾斜角，如图2.52所示。假设闸门的宽

度b=lm,试求作用在闸门上的总压力及其作用点。

解:

_5

F左=pgA)%=1000x9.807x-x-=173364.9/V

sin4502

33

「右==1000x9.807x-x-=62411.4^

sin451°2

AF=F,,-Fj：=110954^

22x5

=2.357〃?

"3xsin45°

22x3..,

Jy"=—3y%.,,=-3-x-s-i-n-4-5-°-=1.4142/77

£2^2^=2.887〃?

)'d=

AF

解得：y=2.887m(距下板)

如图所示为绕较链转动的倾斜角为a=60°的自动开启式水间，当水闸一侧的水位H=2m,另一侧的水

位h=0.4m时，闸门自动开启，试求较链至水闸下端的距离X。

解：依题意，同时设宽度为b,得

右边：

作用点距离底端距离为:

右边液体对X处支点的转矩:

左F=pgA^H4=HbH

2233公

sin。2sina

作用点距离底端距离为:

M2=(x-y2)^F2

在刚好能自动开启时有：代入数据求得

x=0.8/7?

2.21图中所示是一个带钱链的圆形挡水门，其直径为d,水的密度为P,自由页面到钱链的淹深为H。一

根与垂直方向成a角度的绳索，从挡水门的底部引出水面。假设水门的重量不计，试求多大的力F才能启

动挡水门。

解：作用点位置:

64

_,.-7ZZZ

</--c----l----------F/-/)X2

24

mJ'

即作用点离水闸顶端距离为〃64

cl八^zz/2

---rk77)x-----

24

压力:

刚能启动挡水门时有如下力矩平衡式：M水压力二M拉力

由题得•.沙d__Tzd2

sina"a=且+______x<z---k77)A-----

24+〃)x24

4

简化得:

所以:时，水门能自动打开;

2.22图中所示为盛水的球体，直径为d=2m,球体下部固定不动，求作用与螺栓上的力。

解：球体左右对称，只有垂直方向的作用力:

F=F

z=2水g匕

(7id~d㈤'、

X------------

=。水8(4----212J

/rx23/rx23

=IO5X9.807X

12

=10269N

2.23如图所示，半球圆顶重30KN,底面由六个等间距的螺栓锁着，顶内装满水。若压住圆顶，各个螺栓

所受的力为多少？

解：半球圆顶总压力的水平分力为零，总压力等于总压力的垂直分力，虚压力

体，垂直分力向上。

2

23

Fz=Pg[nR(R+h)—3HR]

2

23

=1000X9.8X[nX2X(2+4)-3XJIX2]

=574702N

设每个螺栓所受的力为F,则

Fz-G=6F即：574702N-30000N=6XF

则F=90784N

2.24图中所示为-直径d-1.8n】，KL-Im的圆柱体，放置于。-60。的斜面上0.左侧受水压力，圆柱与

斜面接触点A的深度h=0.9mo求此圆柱所受的总压力。

解：1)分析圆柱左面，BC段受力：

由题可知，,d=1.8m,

FHCX=pghtA=pgxBCxI=3969N

FBCZ=PgVBC

其中

223

V.=(—x--lxBC*sin60)xL=(211L艾-lx0.9sin60)x1=0.0732m

143602242

则0a=P^V\=716N

2)分析圆柱下面,ACE段受力：

由于下面与水接触的部分左右对称，因此，

其中

口=(〃cos60x//sin60+x1"-------xsin60x—cos60)xZ,

436022

314x11

=(1.8cos60x1.8sin60+--------:--------x1.8sin60x0.9cos60)x1=1.9/n3

122

FACE.=Pg%=18632N

则圆柱所受的总压力

F=J-乙cj+%2=J(18632+716>+3969?=197517V

由于是圆柱型，所以作用线过轴心的中点处，作月线与园柱表面交点为合力作用点，本作用

线与水平面所成的角度如下：

arctanF-^^19348

==arctan=78.41°

3969

2.25如图所示的抛物线形闸门，宽度为5叫

较链于B点上。试求维持闸门平衡的所需要的力F。

解：合力矩定理:若平面汇交力系有合力，则合力对

作用面内任一点之矩，等于各个分力对同一点之矩的代

数和;我们可以同过求个分力的力矩来进行求解；

本题中由于为抛物线形闸门：并过点(5,8),有Z-0.32X2平衡时，分析x方向的受力，对B点的力矩

方向为：顺时针，大小为：

则垂直方向分力对B点的力矩(顺时针)为：

55

A/2=Jz^(8-O.32x2)-5xdx=49000xj(8-O.32x2)xdx=245OOOOM"

()o

平衡时有:M1+M2=8F

所以F二(2450000+)/8=567583N

方法2:直接积分

在x处的切线斜率为：0.64x,他的垂线(力的作用线)斜率则为：T/(0.64x)

则：x处力的作用线方程为:z'-0.32x2=-l/(0.64x)(x?-x)

B点到力作用线的距离为：(原点(0,0)到任意直线Ax+By+C=O的距离d

d=|CI/^(A2+B2))

L二(0.32X2+1/0.64)/(l+l/(0.64X)2)05

ST=M=Jx^(8-O.32x2)-5eZr-