第3讲数轴（教师版）

1.掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系.(重点）2.会正确的画出数轴，利用数轴上的点表示有理数.（难点）1.观察下面的温度计,读出温度，分别是____°C、____°C、____°C.2.在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．1.什么是数轴？规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.2.注意事项：（1）数轴是一条特殊的直线；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度.议一议：怎样画数轴？①画直线，定原点.②从原点向右(或上)的方向为正方向，从原点向左(或下)为负方向.③选取适当长度为单位长度.④在数轴上标出1、2、3、1、2、3等各点.例1：观察下列图形，指出哪条数轴画得正确，其余错在哪里？思考：1.观察上面数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你有什么发现？2.每个数到原点的距离是多少？由此你又有什么发现？3.如何用数轴上的点来表示分数或小数？例2：在所给数轴上画出表示下列各数的点.注意:①把点标在线上；②把数标在点的上方，以便观看.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.归纳一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度．例3:在下面数轴上，A，B，C，D各点分别表示什么数？【典例分析01】（2022秋•顺德区校级期末）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字0的点与数轴上表示2023的点重合．【思路点拨】圆周上的0点与﹣1重合，滚动到2023，圆滚动了2024个单位长度，用2024除以4，余数即为重合点．【规范解答】解：圆周上的0点与﹣1重合，2023+1＝2024，2024÷4＝506，圆滚动了506周到2023，圆周上的0与数轴上的2023重合，故答案为：0．【考点评析】本题考查的是数轴，解题的关键是圆滚动了2024个单位长度．【典例分析02】（2022秋•封开县期末）如图，数轴上的两个点分别表示数a和﹣2，则a可以是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2【思路点拨】根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案．【规范解答】解：根据数轴得：a＜﹣2，∴a可以是﹣3．故选：A．【考点评析】本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．【举一反三01】（2022秋•佛山期末）数轴上点A表示的数是﹣4，若一个点从点A处先向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，此时终点表示的数是﹣2．．【思路点拨】根据数轴上的点向右平移加，向左平移减可得答案．【规范解答】解：依题意得：﹣4﹣3+5＝﹣2，即此时终点表示的数是﹣2．故答案为：﹣2．【考点评析】本题考查了数轴，关键是掌握平移规律即可解题，属于基础题．【举一反三02】（2021秋•雷州市校级期末）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共有7个．【思路点拨】根据题意画出数轴，找出墨迹盖住的整数即可．【规范解答】解：如图所示：被墨迹盖住的整数有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，2，3，共7个．故答案为：7；【考点评析】本题考查的是数轴，根据题意利用数形结合求解是解答此题的关键．【举一反三03】（2022秋•高州市月考）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数．﹣3，2，﹣1.5，0，+3.5，4【思路点拨】根据正数在原点右边，负数在原点左边即得．【规范解答】解：如图：【考点评析】本题考查了数轴上数的表示，属于基础题．一．选择题（共5小题）1．（2023•花都区一模）数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为1cm，若在数轴上随意画一条长为2015cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数为（）A．2015 B．2014 C．2015或2014 D．2015或2016【规范解答】解：依题意可知，当线段AB起点在整数点时，能覆盖2016个数；当线段AB起点不在整数点，即在两个整点之间时，能覆盖2015个数，故选：D．2．（2022秋•中山市期末）在数轴上，把表示﹣2的点沿着数轴移动7个单位长度得到的点所表示的数是（）A．5 B．﹣9 C．±5 D．5或﹣9【规范解答】解：向右移动7个单位：﹣2+7＝5．向左移动7个单位：﹣2﹣7＝﹣9．故选：D．3．（2018秋•龙岗区校级期中）如图，数轴的单位长度为1，若点A和点C所表示的两个数的绝对值相等，则点B表示的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【规范解答】解：因为AC的中点为O，所以点C表示的数是﹣3，所以点B表示的数是﹣1．故选：B．4．（2022秋•封开县期末）数轴上标出若干个整数点，每相邻两点相距一个单位，点M，N，P，Q分别表示整数m，n，p，q，且q﹣2m＝10，则原点O在点（）的位置．A．点M B．点N C．点P D．点Q【规范解答】解：根据图形可知q﹣m＝7，则解不等式组，解得：，则原点在N的位置．故选：B．5．（2022秋•五华县期中）如图，将一刻度尺放在数轴上，（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上0cm对应数轴上的数3，那么数轴上﹣2.5对应刻度尺上的数字为（）A．5.3 B．5.5 C．﹣5.5 D．6【规范解答】解：由题意刻度尺上0cm对应数轴上的3可知，﹣2.5对应刻度尺上的数字为2.5+3＝5.5cm．故选：B．二．填空题（共5小题）6．（2022秋•紫金县期末）在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是﹣2．【规范解答】解：设点C表示的数是x，则AC＝x﹣（﹣9）＝x+9，BC＝4﹣x，∵AB＝1，即AC﹣BC＝x+9﹣（4﹣x）＝2x+5＝1，解得：x＝﹣2，∴点C表示的数是﹣2．故答案为：﹣2．7．（2021秋•越秀区校级期中）在数轴上，与表示﹣2的点距离为2个单位长度的点表示的数是0或﹣4．【规范解答】解：在数轴上与表示﹣2的点距离2个单位长度的点表示的数是﹣2+2＝0或﹣2﹣2＝﹣4．故答案为：0或﹣4．8．（2023•丰顺县校级开学）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2022厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点共有2022或2023个．【规范解答】解：当长2022厘米的线段AB的端点A与整数点重合时，两端与中间的整数点共有2023个，当长2022厘米的线段AB的端点A不与整数点重合时，中间的整数点只有2022个，故答案为：2022或2023．9．（2021秋•揭西县期中）点A是数轴上一点，一只蚂蚁从点A出发爬了10个单位长度到了表示的数2的点，则点A所表示的数是﹣8或12．【规范解答】解：∵一只蚂蚁从点A出发爬了10个单位长度到了表示的数2的点，∴2+10＝12，或2﹣10＝﹣8，故答案为：12或﹣8．10．（2022•东莞市校级一模）如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示2x﹣1，则x的取值范围是1＜x＜．【规范解答】解：∵点C表示的数在A和B之间，∴1＜2x﹣1＜2，∴1＜x＜，故答案为：1＜x＜．三．解答题（共5小题）11．（2022秋•香洲区校级月考）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示﹣3，﹣1.5，0，4．请回答下列问题．（1）在数轴上描出A，B，C，D四个点．（2）B，C两点间距离是多少？A，D两点间的距离是多少？（3）现在把数轴的原点取在点B处，其余都不变，那么点A，C，D分别表示什么数？【规范解答】解：（1）如图：（2）∵BC＝|0﹣（﹣1.5）|＝1.5，∴B、C两点间距离是1.5，∵AD＝|﹣3﹣4|＝7，∴A、D两点间的距离是7；（3）∵AB＝|﹣3﹣（﹣1.5）|＝1.5，BC＝|﹣1.5﹣0|＝1.5，BD＝|4﹣（﹣1.5）|＝5.5，∴A点表示的数是﹣1.5，B点表示的数是0，C点表示的数是1.5，D点表示的数是5.5．12．（2022秋•高州市月考）出租车司机老王某天上午营运全是在东西走向的解放路上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程（单位：km）如下：+8，+4，﹣10，﹣3，+6，﹣5，﹣2，﹣7，+4，+6，﹣9，﹣10．（1）将最后一名乘客送到目的地时，老王距上午出发点多远？（2）若每千米耗油0.05升，则老王一上午耗油多少升？【规范解答】解：（1）（+8）+（+4）+（﹣10）+（﹣3）+（+6）+（﹣5）+（﹣2）+（﹣7）+（+4）+（+6）+（﹣9）+（﹣10）＝8+4﹣10﹣3+6﹣5﹣2﹣7+4+6﹣9﹣10＝﹣18，|﹣18|＝18，答：将最后一名乘客送到目的地时，老王距上午出发点有18千米；（2）|+8|+|+4|+|﹣10|+|﹣3|+|+6|+|﹣5|+|﹣2|+|﹣7|+|+4|+|+6|+|﹣9|+|﹣10|＝8+4+10+3+6+5+2+7+4+6+9+10＝74（千米）74×0.05＝3.7（L），答：这天上午老王耗油3.7升．13．（2022秋•高州市月考）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数．﹣3，2，﹣1.5，0，+3.5，4【规范解答】解：如图：14．（2021秋•高州市月考）点A、B在数轴上的位置如图所示．（1）点A表示的数是﹣4，点B表示的数是﹣1；（2）若点C在数轴上，且点B与点C的距离是3，求点A与点C的距离．【规范解答】解：（1）由数轴可知，点A表示﹣4，点B表示﹣1，故答案为：﹣4，﹣1；（2）①当点C在点B的左边时，∵点B与点C的距离为3，∴点C表示的数是﹣4，此时点A与点C的距离是0；②当点C在点B的右边时，∵点B与点C的距离为3，∴点C表示的数是2，此时点A与点C的距离是6；综上，点A与点C的距离是0或6．15．（2021秋•南海区校级月考）一只乌龟沿南北方向的河岸来回爬行，假定向北爬行的路程记为正数，向南爬行的路程记为负数，它爬行的过程记录如下（单位m）：﹣8，7，﹣3，9，﹣6，﹣4，10．（1）乌龟最后距离出发点多远，在出发点的南边还是北边；（2）求乌龟在整个过程中一共爬行了多远的距离．【规范解答】解：（1）∵﹣8+7﹣3+9﹣6﹣4+10＝5，∴乌龟最后距离出发点5m，在出发点的北边；（2）|﹣8|+|7|+|﹣3|+|9|+|﹣6|+|﹣4|+|+10|．＝8+7+3+9+6+4+10，＝47m，∴乌龟在整个过程中一共爬行了47m．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•南山区校级期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（）A．c＜a＜b B．a﹣c＞0 C．bc＜0 D．a+b＞0【规范解答】解：利用数轴，可以判断出c＜a＜b，则A选项不符合题意；由数轴可以看出，c＜a，则a﹣c＞0，则B选项不符合题意；由数轴可以看出，c＜0＜b，则bc＜0，则C选项不符合题意；由数轴可以看出，a＜0＜b，|a|＞|b|，则a+b＜0，故D选项符合题意．故选：D．2．（2022秋•东莞市期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错误的是（）A．ab＞0 B．a+b＜0 C．a﹣b＜0 D．b﹣a＜0【规范解答】解：由图可知，a＜0，b＜0且|a|＞|b|，A、ab＞0，故本选项正确；B、a+b＜0，故本选项正确；C、a﹣b＜0，故本选项正确；D、b﹣a＞0，故本选项错误．故选：D．3．（2021秋•越秀区校级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，不正确的是（）A．a＞﹣b B．ab＜0 C．a﹣b＞0 D．a+b＞0【规范解答】解：如图所示：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，A、a＞﹣b，正确，不合题意；B、ab＜0，正确，不合题意；C、a﹣b＜0，故此选项错误，符合题意；D、a+b＞0，正确，不合题意．故选：C．4．（2020秋•揭东区期末）已知点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B分别表示数a，b，且满足a+b＝1，则下列各式的值一定是正数的是（）A．a B．﹣b C．b+1 D．﹣a【规范解答】解：由a+b＝1，可知a可能是负数，b是正数，故A不符合题意；由a＜b，a+b＝1，可知b一定是正数，所以﹣b一定是负数，故B不符合题意；由a＜b，a+b＝1，可知b一定是正数，所以b+1一定是正数，故C符合题意；由a＜b，a+b＝1，可知a可能是正数，所以﹣a可能是负数，故D不符合题意；故选：C．5．（2022秋•天河区校级期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，则AC等于（）A．6 B．2 C．3或5 D．2或6【规范解答】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．点A、B表示的数分别为﹣3、1，AB＝4．第一种情况：在线段AB外，AC＝4+2＝6；第二种情况：在线段AB内，AC＝4﹣2＝2．故选：D．二．填空题（共5小题）6．（2022秋•江城区期中）数轴上的A点与表示﹣3的点距离5个单位长度，则A点表示的数为﹣8或2．【规范解答】解：当点A在﹣3的左侧时，则﹣3﹣5＝﹣8；当点A在﹣3的右侧时，则﹣3+5＝2．则A点表示的数为﹣8或2．故答案为：﹣8或2．7．（2023•丰顺县校级开学）数轴上，一只蚂蚁从点A爬行4个单位长度到了表示﹣3的点B，则点A表示的数是﹣7或1．【规范解答】解：分两种情况：从数轴上A点出发向左爬了4个单位长度，则A点表示的数是1；从数轴上A点出发向右爬了4个单位长度，则A点表示的数是﹣7．故答案为：﹣7或1．8．（2022秋•东莞市校级月考）数轴上点A表示的数是最大的负整数，将它向右平移2个单位时，表示的数是1，再向左移动6个单位时，表示的数是﹣5．【规范解答】解：∵点A表示的数是最大的负整数，∴点A表示的数是﹣1，∵将点A向右平移2个单位，∴﹣1+2＝1，∴平移后表示的数是1，∵将A点再向左移动6个单位，∴1﹣6＝﹣5，∴再次平移后A点表示的数是﹣5，故答案为：1，﹣5．9．（2016秋•龙岗区校级月考）在数轴上，点M表示的数是﹣3，将它先向右移动7个单位，再向左移动10个单位到达点N，则点N表示的数是﹣6．【规范解答】解：﹣3+7﹣10＝﹣6，故答案为﹣6．10．（2023•丰顺县校级开学）一动点P从数轴上的原点出发，按下列规则运动：（1）沿数轴的正方向先前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行；（2）已知点P每秒只能前进或后退1个单位．设xn表示第n秒点P在数轴上的位置所对应的数，则x2015为505．【规范解答】解：依题意得，点P每8秒完成一个前进和后退，即前8个对应的数是1、2、3、4、5、4、3、2；9～16是3、4、5、6、7、6、5、4．根据此规律可推导出，2015＝8×251+7，故x2015＝251×2+5﹣2＝505．故答案为：505．三．解答题（共5小题）11．（2022秋•东莞市校级期中）疫情期间，一批医护人员坐车从医院出发，为三个小区做枝酸，早上8：00向东行驶3千米来到A小区，10：00继续向东行驶4千米到达B小区，然后12：00向西行驶8千米到达C小区，最后回到医院．（1）以医院为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，在数轴上表示出A小区，B小区，C小区的位置．（2）该车一共行驶了多少千米？若该车每千米耗油0.2升，这次共耗油多少升？【规范解答】解：（1）如图所示：（2）3+4+|﹣8|+1＝16（千米），16×0.2＝3.2（升），答：该车一共行驶了16千米，共耗油3.2升．12．（2022秋•光明区期中）一辆汽车在一条东西走向的街道上修路灯，以车站为出发点，向东走记为正，向西走记为负（单位：千米），以先后次序记录如下：﹣3、+4、﹣5、+10、+5、﹣8，﹣6，+7．试回答下列问题：（1）最后一次修完路灯后，汽车在出发点的那一边，距离出发点多远？（2）如果汽车每走10千米耗油1升，汽车上的人修完路灯后，回出发点之前共用了多少油？【规范解答】解：（1）﹣3+4﹣5+10+5﹣8﹣6+7＝4（km），∴汽车在出发点的东边，距离出发点4km；（2）|﹣3|+|+4|+|﹣5|+|+10|+|+5|+|﹣8|+|﹣6|+|+7|＝48（km），∴48÷10×1＝4.8（升），∴回出发点之前共用了4.8升油．13．（2021秋•东莞市期末）一天，某出租车被安排以A地为出发地，只在东西方向道路上营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、﹣3、﹣5、+4、﹣8、+6、﹣7、﹣6、﹣4、+10．假设该出租车每次乘客下车后，都在停车地等待下一个乘客，直到下一个乘客上车再出发．（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车在A地何处？（2）若每千米的价格为3元，司机当天的营业额是多少？【规范解答】解：（1）∵行车里程依先后次序记录：+9、﹣3、﹣5、+4、﹣8、+6、﹣7、﹣6、﹣4、+10，∴将最后一名乘客送到目的地出租车在A地位置：（+9）+（﹣3）+（﹣5）+（+4）+（﹣8）+（+6）+（﹣7）+（﹣6）+（﹣4）+（+10）＝﹣4，∴出租车在A地的西边，距离A地4km；（2）∵出租车当天所行驶的总路程为：|+9|+|﹣3|+|﹣5|+|+4|+|﹣8|+|+6|+|﹣7|+|﹣6|+|﹣4|+|+10|＝62km，∴司机当天的营业额为：62×3＝186（元）．14．（2022秋•紫金县期中）某检修小组从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如表．（单位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣4+7﹣9+8+6﹣5﹣2（1）收