高中数学2021 糖水不等式

,c,10

10.c.oIn5-In-.c

(2)先换如数,log；2=log/=8,■3In36In5i02

%秒杀秘籍：糖水不等式0

Tln-In---In-In一

3363

:若CI>b>0,"7>0,则一定有"+m>—,或者:

应用三：证明隔项相乘无法约分的积式不等式

a+mab+mb

例3:求证：」广<1352/z-l1

通俗的理解就是，，克的不饱和糖水里含有/，克糖，往糖水里面加入〃?克糖，则糖水更甜；-------<；

2G2462/2J2〃+1

b+mbcib+atn-ab-bin（a—h）ma+maab+bin-ab-am（a-b）m

证明：--------=------j---------='——>0;--------=------5---------=-~—<0

a+maa+amcr+amb+mbb“+bmb+Inn

“糖水不等式”的应用flY.2.2.352^-1V,232n-12n

⑸342n~~\2^62n)<2'34

In2n+l

应用一:关于判齐次分式函数的单调性

若/（x）为单调增函数，g（x）=g^，（a>z>）在其各自单调区间为增函数，g（x）=；；：；；（0>6）在其各自1.（2015湖北卷）将离心率为q的双曲线G的实半轴长”和虚半轴长伙。工份同时增加个单位长度，得

到离心率为电的双曲线G，则（）

单调区间为减函数.例：g（x）=±1在区间（f-1）和（-1,位）为增函数；g（x）=1^l=|i~在区间

A.对任意的外8,有qB.当a时，4>4；当〃<〃时，弓<02

X4-1+NDI卜+』"I

C.对任意的见方,有,<e2D.当a>匕时，et<e2;当。v匕时，q>与

心,一|〕和为减函数；g（x）=WW=44在R上单调递增；g（x）=ln?=ln（-N]在区2.（2015・湖南）设函数£「）=1。（1+乂）-皿（1」）,则£小）是（）

A.奇函数，且在（0,1）上是增函数B.奇函数，且在（0,1）上是减函数

间（T,l）上单调递减。

C.偶函数，且在（0,1）上是增函数D.偶函数，且在（0,1）上是减函数

应用二：关于指数和对数的比较大小

:

例1:若等比数列前〃项和为\（4>0,g>0）,比较SA/?与5„+1的大小

色+S”】

解：•••s“2>>S„9=a+qsr=q_^〈,；故s„s„t2<sj.

S〃+I4+祝％+s“sn

q"

02

例2:（1）比较log；和log；的大小；（2）比较logJ与log0J

r4-1

,27,9,243.274.函数/（工）=1石的单调区间为.

.At”,.In-+In-In—In-

解：（1）log;=log：=-^-,logj=",logj=-^->^~~=^-=logj；

ln9In8in9]ng+jn_In9In85.已知1,试比较log"(〃+1)与log5T5+2)的大小.

8

9.（2004贵州）已知数列｛。“｝为等比数列，出=6,%=162.

6.已知正数a,Ac满足。＜6+c,求证：—（I）求数列｛5｝的通项公式；（II）设S,,是数列曾“｝的前”项和，求证：S"：：*<I.

\+a1+b1+c

7.（2015安徽）设“eN，,x“是曲线y=x?"?+1在点（1,2）处的切线与x轴交点的横坐标.

（I）求数列｛与｝的通项公式；（II）记7；=工况…点一,求证：12

10.（2009山东）等比数列｛4｝的前"项和为S.,已知对任意的"CN’,点（”,S“）均在函数y=6'+r（b>0且

b*1,瓦，•均为常数）的图象上.（I）求，一的值；（II）当。=2时，记6“=2（log,a„+1）（"eM）,求证:对任意的nwN*,

不等式空.妇匚.….久土1>成立.

及b2b„

8.（1995全国卷）设｛4｝是由正数组成的等比数列，S“是其前”项和，证明：

11.（98全国卷）已知数列电｝是等差数列,1=1,伪+/+...+%=145.

（I）求数列｛4｝的通项"；（U）设数列｛%｝的通项，，“=log”（l+；）（其中。>0.且axl），记S“是数列｛q,｝的

b„

前”项和.试比较5“与;iog“的大小，并证明你的结论.

14.若x>0,v>0,z>0,xyz=1,求证:1<—!—+―-—+——<2.

1+x1+y1+z

1242001高考全国卷)已知""I.〃是正整数目1<Y，"<n.(I冰证："'4<m'A'„(II谏证：(1+，")”>(l+n)m.

4444

15.求证:7；=—n1;1:F...H：<3.

3*-13--132--132-1

13.已知a.Ac分别是一个三角形的三边长，求证：-<-^-+—+-^-<2.

2b+cc+aa+b

73“竟如看7号人，当仅当〃=1时

等号成立。

8.•••S,,*2>S,“>S,,/.2<%■S,,「>S„S„t2

s,用%+qSn以+ss”

qn

16.(IMO数学竞赛)若A,民Co,b,c,，•均为正数，求证：

.陶21叫”270g.s\.,=log”塔£>bg。」1=0

A+a+B+b13+b+C+cA+a+C+c2»〃+l

-----------------+------------------>------------------

A+a+B+b+c+rB+b+C+c+a+rA+a+C+c+r+b

5+S

况

9(1)«„=2-3"-';(U)•.•S.2>S,,“>-S.2/+“J;故S£,2<S,,「.

S”+i4+小”%+冬

qn

10.(I)r=-l；(II)d=2”(〃£N),=2w+l_『352〃+l

2n2〃

+1+2

In2nx//?+1

2〃2n+1

，=l

n(I)fc„=3,!-2(/(e/V);(II)S„=log„(1+1)[1+；)…(1+瘾)0gJ(ri"IS

3"13/z3〃+l.(253〃-1丫23453〃一13〃3n4-1

3〃-2>3〃-1>33’，1丁7…3.-2>1>7,23,4=3/?+1,

3/7-23w-l3〃

故当。>1时，*>3嗨(1+看］；当0<a<l时，S„<|log,jl+1

总)和(总，刖；

1.D;2A;3.A;4.(g,〃〃一1〃-2/7-7+1故£=(二]二…(〃T+1).4

12.(I)根据糖水不等式：一<------<------<•••<-----；―-

mtn-\m-2m-i+i加ni^m-1)(/??-2)•••(???-/4-1)A'n

噌“=MM>+>吗=心2+]>幽叨=2.

即〃$<加4;

5.

ln«lnn+ln—ln(,,+1)ln(n+l)

(II)要证(1+，")">(1+"产，只需证"ln(l+，")>，”ln(l+"),只需证m(1+，")>ln(l+”),构造函数

mn

.fc,cib+cbcbc

6.证明./Z?+c>a,----<-------=--------1--------<-----1-----.

\+a\+b+c\+b+c\+b+c\+bl+c

x=A+1

小)二皿1「),r()y2--------，令ga)=*Tn(l+x)，g⑼=。

11—x

g'(力=7-----7r------7=7-------，故当无£(0，”)时，g'(x)<0，g(x)<g(O)=O，故/'(x)<0,

(x+1)"x+\(x+l)'

/(x)在区间(0,+8)J,.">团>1时，呵詈)>E。：、,命题得证.

2b

13.根据糖水不等式，7^-+±+展<T+廿1=2.再令

b+cc+4a+ba+b+cc+a+ba+b+c

a+b=x,b+c=y^c+a=z,

x+z-y,x+y-zy+z-xabcx+z-yx+y-zy+z-x

a----------,Z?=——,c=-----------,------+-------+-------=----------+——-——+------------

222b+cc+aa+b2y2z2x