高中数学平面向量共线的坐标表示

2.3.4平面向量共线的坐标表示

宿主预习学案

Zl—ZHU—YU-XI-XUE-AN

首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是世界上现存最长的城市中轴线，在北京700

余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的作用，但是，科学家们发现“中轴线”并不是“正

南正北”的朝向，即它并没有和子午线重合.你知道科学家们是如何判断的吗？

新知导学之

Ainzhidaoxue-

平面向量共线的坐标表示

设a=(x”yi),S，/)，其中力#0,当且仅当____时，a//b.

［知识点拨］两个向量共线条件的三种表示方法

已知。=(为，yi),6=(x2,")•

⑴当bWO时,a=Xb.

这是几何运算，体现了向量。与力的长度及方向之间的关系.

(2)X］J2—X2ji=0.

这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数‘：”，从而减少未

知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征.

(3)当必丁2—0时，言=£.

即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出

现搭配错误.

V预习自测三

uxizice

1.下列各组向量中，共线的是(

。=(—2,3),5=(4,6)B.〃=(2,3),〃=(3,2)

C.〃=(1,-2),6=(7,14)D.a=(—3,2),6=(6,—4)

若A(3,-6),8(—5,2),C(6,y)三点共线，则y=(

A.13B.-13

D.-9

3.若向量。=(乂1),b=(4,x),则当x=时，〃与〃共线且方向相同.

互会探究学案HU-DONG-TAN-JIU-XUE-AN②

互动探究解疑

nudongtanjiujieyi

命题方向1。向量共线条件的坐标表示

典例1已知4=(2,1),b=(3,-4),当义为何值时，加一》与“+2b平行？平

行时，它们是同向还是反向？

〔跟踪练习1〕(2018•全国卷川理，13)已知向量a=(l,2),b=(2,­2),c=(l,A).若

c//(2a+b),则%=.

命题方向2。三点共线问题

典例20是坐标原点，OA=(k,12),加=(4,5),女=(10,k).当人为何值时,

A、B、C三点共线？

〔跟踪练习2〕如果向量油=—〃，BC=i+mj,其中i、/分别是x轴、y轴正方向上

的单位向量，试确定实数，〃的值，使A、B、C三点共线.

v学科核心素养：•e卢10'土钟1n<~1，'-1呻

、uekehexinsuyang」用向里法斛几何问reA

典例3己知点A(4,0),8(4,4),C(2,6),0(0,0),求直线AC与08交点P的坐

标.

〔跟踪练习3〕已知两点A(3,-4),8(—9,2),在直线AB上求一点P,使能=领?.

"ih易u混n易^错o警ji示n^h.:「处理向量共线时，忽视零向量的特殊情况

典例4已知〃=(3,2一加)与〜=(加，一团)平行，求机的值.

〔跟踪练习4〕已知向量。=（—1,—1）,）=（一帆,4机+5）,且。〃力，则机等于（）

A.-1B.一

C.-1或一]D.0或一2

K课堂达标验收：土

Aetangdabiaoyanshou,

1.下列各组向量中，可以作为基底的是()

A.ei=(0,0),e2=(l,1)

B.ci=(1,2)»©2=(—2,1)

34

C.ei=(-3,4),e2=(5>一§)

D.e,=(2,6),e2=(-b-3)

2.已知向量。=(一1,,〃)，6=(一见2巾+3),且。勿>,则修等于()

A.-1B.-2

C.-1或3D.0或一2

3.若A(2,l),B(—I,-2),C(0,y)三点共线，则y等于()

A.-1B.0

C.D.2

4.(2018•湖南长沙市中学期末)已知a=(2,l),b=(x,-1)且a-b与b共线，则国=

A级基础巩固

一、选择题

1.已知向量。=（1,，”），h=（m,2）,若a〃b,则实数相等于（）

A.—y[2B.也

C.一也或正D.0

2.已知点4(一1,1),点8(2,y),向量。=（1,2）,若矗〃a,则实数y的值为（）

A.5B.6

C.7D.8

3.已知点A(0,l),8(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

c.(-1,4)D.(1,4)

31

4.已知向量Q=(],sina),6=(sina,%),若则锐角a为()

A.30°B.60°

C.45°D.75°

5.已知向量Q=(1,3),b=(2,l),若。+2b与3Q+劝平行,则一的值等于()

A.-6B.6

C.2D.-2

6.若a=(l,2),&=(-3,0),(2a+b)//(a—mb),则m=()

A.—2B.2

C.2D.-2

二、填空题

7.己知向量a=(1,2),力=(1,0),c=(3,4),若文为实数，(a+劝)〃c,则力的值为一

8.已知向量a=(l,2),Z>=(-2,3).若〃+时与a+b共线,则2与"的关系为一

三、解答题

9.平面内给定三个向量：0=(3,2),*=(-1,2),c=(4,l).

⑴求3a+Z>—2c；

(2)求满足a=，wb+”c的实数m和〃；

(3)若(a+/c)〃(2b-a),求实数k.

10.已知向量才1=(3,-4),OB=(6,一3),OC=(5-x,~3~y).

(1)若点A,B,C不能构成三角形，求x,y满足的条件.

(2)若启=2元，求x,y的值.

B级素养提升

一、选择题

1.已知向量。=(—2,4),8=(3,-6),则Q和『的关系是()

A.共线且方向相同B.共线且方向相反

C.是相反向量D.不共线

2.已知向量。=(1,0),6=(0,1),c=ka+b(k^R),d=a-b,如果c〃d,那么()

A.k=l且c与d同向B.%=1且c与d反向

C.左=一1且c与d同向D.忆=-1且c与d反向

3.已知向量a=(l,l),b=Q,x),若a+b与4b—2a平行，则实数x的值是()

A.-2B.0

C.1D.2

4.己知向量集合M={a|a=(l,2)+2(3,4),A£R},N={a|a=(-2,—2)+〃(4,5),蚱

R},则MAN=()

A.{(1,1)}B.{(1,2),(-2,-2))

C.{(-2,-2)}D.0

二、填空题

5.(北京高考)已知向量a=(小，1),