专题03 与圆有关问题的压轴题之五大题型(原卷版)

专题03与圆有关问题的压轴题之五大题型目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一与圆中三角形全等的有关问题】 1【题型二与圆中三角形相似问题的有关问题】 5【题型三与圆中证明直线是切线的有关问题】 29【题型四与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】 41【题型五与圆中求函数表达式的有关问题】 50【典型例题】【题型一与圆中三角形全等的有关问题】例题：（2023·浙江杭州·统考二模）如图，四边形内接于，点C是弧的中点，延长到点E，使得，连结．

(1)求证：．(2)若，，，求的长【变式训练】1．（2023·浙江·一模）如图1，为的直径，于点，，与交于点．(1)求证：．(2)若，求的长．(3)连结，如图2，求证：．【题型二与圆中三角形相似问题的有关问题】例题：（2023·浙江宁波·校考一模）如图，已知是的直径，点D为延长线上的一点，点A为圆上一点，且，．

(1)求证：；(2)求证：是的切线．【变式训练】1．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，点是外接圆上一点，其中．过点作的平行线交延长线于点，已知平分．

(1)求证：．(2)若为中点，求的长．2．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考三模）如图，内接于，且，是的直径，，交于点，为的延长线上一点，且．

(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)若为的中点，求的值．3．（2023·浙江·统考三模）如图，是的直径，半径，点在上，连接并延长交于点，连接．

(1)求的值．(2)当时，求的值．(3)若，与的面积分别记为，，求的值．4．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．

(1)求的度数．(2)①求证：．②若，求的值，(3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长．5．（2023上·浙江温州·九年级期末）等腰三角形中，且内接于圆O，D、E为边上两点（D在F、E之间），分别延长、交圆O于B、C两点（如图1），记，．

(1)求的大小（用α，β表示）；(2)连接，交于H（如图2）．若，且．求证：；(3)在（2）的条件下，取中点M，连接、（如图3），若，①求证：，；②请直接写出的值．6．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．

(1)求证：；(2)若，求的值；(3)连结交于点，若的半径为5①若，求的长；②若，求的周长；③若，求的面积．7．（2023下·浙江·九年级校联考阶段练习）如图，四边形内接于，，为直径，为一动点，连结交于点，交于点，连结．

(1)设为，请用表示的度数．(2)如图1，当时，①求证：．②当时，求半径的长．(3)如图2，当过圆心时，若，直接写出的值（用含的代数式表示．）【题型三与圆中证明直线是切线的有关问题】例题：（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）如图，以的一边为直径作，与边的交点恰好为的中点，过点作．

(1)求证：为圆O的切线；(2)连接交于点F，若，求的值．【变式训练】1．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）如图，直线经过上的点M，并且，交于点N．(1)求证：直线是的切线；(2)当时，求的度数．2．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）如图，是的直径，是的切线，切点为B，连接PO，过点C作交于点A，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为3，求的长．3．（2023·浙江金华·统考一模）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E．作于点F，于点G．

(1)求证：是的切线．(2)已知，，求的半径．4．（2023·浙江杭州·校联考二模）如图①，是的外接圆，点在上，延长至点，使得．

(1)求证：为的切线；(2)若的角平分线交线段于点，交于点，连接，如图②，其中，，求．5．（2023·浙江杭州·校考三模）如图是的直径，A是上异于C、D的一点，点B是延长线上的一点，连接，且．

(1)求证：直线是的切线；(2)若，①求的值；②作的平分线交于点P，交于点E，连接，若，求的值（用含k的代数式表示）．【题型四与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】例题：（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，为边上一点，连结．以为半径的半圆与边相切于点，交边于点．(1)求证：．(2)若．①求半圆的半径．②求图中阴影部分的面积．【变式训练】1．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，已知，在中，，以为直径作，交边的中点．于点，连结．

(1)求证：是的切线．(2)请你给添加一个条件，并求弧的长．2．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连接并延长交圆于点．

(1)求证：；(2)若，求阴影部分的面积．3．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，以等腰的底边为直径作半圆，交、于点D、E．(1)证明：；(2)若，，求阴影部分面积．4．（2023·浙江衢州·统考一模）如图，在等腰中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线交于点E．(1)求证:．(2)若，，求阴影部分面积．5．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，直线与相切于点C，射线与交于点D，E，连结．连结．

(1)求证：；(2)若，，求弧的长．【题型五与圆中求函数表达式的有关问题】例题：（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，的直径垂直弦于点E，点P为上的一点，连接并延长交于点Q，连接，过点P画交的延长线于点F．若的直径为10，．(1)求的长；(2)如图2，当时，求的正切值；(3)如图1，设．①求y关于x的函数解析式；②若，求y的值．【变式训练】1．（2023·浙江台州·统考一模）已知点P在的直径上，四边形内接于，且，，连接．

(1)如图1，求证：；(2)如图2，连接，①试说明与的面积相等；②已知，设．记与的面积分别为，．设，求的最大值，并求此时x的值．2．（2023·浙江温州·温州市第四中学校考二模）如图，在中，为直角，点O在上，以为半径的圆与相切于点E，与相交于点D，已知，，点P，Q分别在上（不与端点重合），且满足．设，．

(1)求圆O的半径．(2)求y关于x的函数表达式．(3)如图2，过点Q作于点R，连结．①当为直角三角形时，求x的值．②把线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，当落在圆O上时，直接写出的值．3．（2023·浙江宁波·一模）如图1，中，边上的中线，延长交的外接圆于点，过点作交圆于点，延长交的延长线于点，连接．(1)若，，求和的长；(2)①求证：；②设，，求关于的函数表达式；(3)如图2，作交线段于，连接，当的面积是面积的6倍时，求的值．4．（2023·浙江·统考中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第8