“双减”背景下的小学数学建模实践研究

【摘要】源于真实情境的数学建模实践，有助于学生模型意识的形成与发展，能帮助学生体验数学在解决真实问题中的价值和作用，发展核心素养。文章论述“午休睡垫与桌椅摆放再优化”数学建模实践项目的实施过程，为小学数学建模的开展提供参考。【关键词】“双减”小学数学建模模型意识核心素养数学建模作为数学应用的一种方式，为学生提供了自主学习的空间，建立了数学与现实世界的双向联系，响应了数学课程改革的落地实施需求，贯彻落实立德树人根本任务。在此背景下，笔者所在项目组选取“午休睡垫与桌椅摆放再优化”这一现实问题，在六年级开展了数学建模实践活动。学生经历了选题、开题、做题、结题四个阶段，在建模实践过程中开阔数学视野，形成思维习惯，提升数学水平，增强实践意识。本项目设计思路具体如图1。一、源于真实生活情境的数学建模实践数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。现实情境是问题的基础。在小学阶段进行数学建模实践，更需要关注该学段学生在研究数学建模问题时对现实生活经验和几何直观的高需求。在学生自主开展数学建模研究时，若情境与经验脱离学生的认知，则研究是很难进行的。新课标提出，“引导学生在真实情境中发现问题和提出问题”，也同样强调了真实情境的重要性。数学建模实践的开展首先要创设真实的生活情境，在实际问题中提炼出需要研究的核心问题。（一）真实的生活情境自学校实行午休在班全面躺睡以来，每班在校参加午休的学生人数不等，班级中参加的人数最少的只有十几个，人数多的甚至超过40个。高年级学生体型较大，在校午休人数较多，而教室内面积有限，按照目前的睡垫摆放方式进行躺睡，学生间较拥挤，容易相互影响，降低午睡质量。（二）面临的实际问题在校午休的过程中，学生根据自己的生活体验和现实需求，对能否在现有条件下进一步提高午休舒适度进行了思考，发现要想提高午休舒适度，最可行的方法是调整课桌椅和睡垫的摆放，提高教室的空间利用率，从而尽可能多地在教室内铺设睡垫，让每个人躺睡的位置变得更宽敞些。经过讨论，学生将本次建模实践活动的核心问题确定为“如何对午休时睡垫和课桌椅的摆放位置进行再优化”。二、有别于问题解决的数学建模实践同样源于真实生活情境、用数学方法解决问题，数学建模与问题解决既有联系又有区别。常见的数学问题，是在现实情境基础上进行提炼和加工，进而呈现出一个条件充分、一定有解的理想化问题。而数学建模要面对的现实生活情境往往还包含了一些非数学的现象，需要我们对问题发生的情境进行提炼，对问题的影响因素加以区分。建模过程中，如何获得数学信息、形成解题思路，都需要学生自行探索、设计、思考和完成。在这个过程中涉及的知识点也可能是多元的，甚至未必存在明确的最优解。因此，数学建模的难度远高于一般的问题解决。为确保数学建模实践活动的顺利开展，在做题之前，学生需要对数学建模核心问题的影响因素进行全面分析，区分有关变量和无关变量，针对相应的影响因素进行合理假设。（一）分析影响因素学生对“如何对午休时睡垫和课桌椅的摆放位置进行再优化”这一问题的影响因素进行了讨论。经讨论和整理，明确本项目的影响因素如下：教室的长和宽，桌椅的长和宽，已有睡垫的长和宽，睡垫的数量，桌椅的数量，参加午休的男女生人数（需要分区安排躺睡），铺睡垫后要留出人通过的走道宽度。（二）提出合理假设在研究解题方案的过程中，上述影响因素的变化会对解题方案的探索产生影响，为了凸显问题本质，在正式开展研究前需要对其中的一些因素进行量化。学生在讨论解题步骤时，进行了以下假设：假设1：教室、课桌椅、睡垫都看作一个规则的长方形，教室讲台与地面的高度差不可忽略；测量课桌椅的长和宽时需要将书包的大小等考虑在内。假设2：每班男女人数比例为3∶2，躺睡区域应至少能满足40人的躺睡需求。假设3：每个人躺睡的面积一样多，以六年级学生中体型最大的人作为参考，每张睡垫可躺下4名学生。假设4：每班有50套课桌椅，午休时需要放置在教室内。假设5：睡垫的数量足够多。（三）讨论实施步骤，形成解题思路根据对问题的理解、对影响因素的把握和提出合理假设后对问题的进一步明确，学生在教师的指引下确定了后续的实施步骤（图2）。三、在检验中不断完善的数学建模实践对于数学建模而言，检验模型是否符合实际是必须认真对待的，如果在检验的过程中发现与实际情况相差较大，则需要修改假设，从头再来。经过反复检验数学模型，能大大提高其与现实情况的吻合度。（一）初次建立模型1.测量教室数据学生经历了测量、交流数据、复测确认后，根据实际测量数据和平面图绘制用纸的大小，选择了1∶50的比例尺，绘制了教室的平面图。学生在测量过程中发现，教室前门角落处、后门角落处各有一根柱子，教室后方有一排储物柜，均无法移动，规划方案时不可将教室整体看作一个规则的长方形；与地面存在高度差的讲台部分是一个不规则的多边形，规划讲台的面积使用时可将其看作是长方形与三角形的组合，需要考虑两个三角形转角的位置能否利用。根据以上的发现，学生对假设1进行了修改。2.测量桌椅数据学生在测量桌椅的长和宽时，发现每个学生的书包厚度不一，会导致桌椅摆放在一起时的占地面积发生改变，书包内容物越多，所需要的占地面积越大。那么在设计方案时，是该按照平均值来计算桌椅的占地面积，还是按照最大值来计算呢？学生就此问题展开了进一步的讨论和研究，并在研究过程中发现了将桌椅占地面积最小化的方法：午休需要挪动桌椅时，将书包放在桌面上，就能使得每一套桌椅的占地面积都一样，并且占地面积最小。由此，学生确定了将每套桌椅的占地图形看作是一个长60厘米、宽50厘米的长方形，并修改了假设1。3.测量睡垫数据睡垫是统一购买的180cm×200cm的垫子，经测量，数据无误。在使用过程中，可以整张使用（一般可供4人躺睡）或拆分成两个半张在位置较小的区域使用（每半张可安排1～2人躺睡）。4.初次规划优化方案最初思考优化方案时，部分学生会将这个问题看作是铺地砖问题，认为可以按照铺地砖问题的解题方案，用“（教室面积－桌椅总占地面积）÷睡垫面积”来计算可以铺多少张垫子，但这样的计算方式忽略了桌椅和睡垫的整体性和可移动性。桌椅和睡垫都是完整的整体，长和宽都是固定的，并且50套桌椅可以分开摆放，睡垫也可以分开摆放。比起纸上谈兵，在找不到思路的时候，动手摆一摆是更好的操作，但桌椅太多、太重，如果要用实物进行操作并不方便。因此，学生按照1∶50的比例尺将桌椅和睡垫等比例缩小，制作成可移动的纸片，在教室平面图中尝试摆放和移动，规划优化方案。方案一：将所有桌椅堆放于教室外侧，讲台及教室内侧空地用于摆放睡垫，教室内侧共铺设完整睡垫12张，每张睡3人；讲台铺设2张半张睡垫，每半张睡2人，合计可满足40人躺睡且比之前每张睡垫睡4人宽松。方案二：将桌椅分别摆放于教室两侧，讲台及教室中间位置用于摆放睡垫，同样摆放了12张整张睡垫和2张半张睡垫，教室中间共铺设完整睡垫12张，每张睡3人；讲台铺设2张半张睡垫，每半张睡2人，合计可满足40人躺睡。比之前每张睡垫睡4人宽松。方案三：将桌椅分别摆放于讲台上、教室两侧、教室中间（用于隔断）。剩余空间共摆放了8张完整睡垫和2张半张睡垫。按照原来每张睡垫睡4人，仅能满足36人躺睡，不满足要求。5.初稿汇报展示，互评提议学生在各组汇报初稿设计模型后对呈现的方案进行了讨论和分析，提出了一些修改建议。方案一和方案二的人均躺睡面积实现了优化，但在设计桌椅摆放时未考虑留出疏散的安全通道，将教室前后门堵住了，需要加以改进。方案三尽管利用了讲台的边角位置，但走道留空太多，空间利用率降低了，方案仅适用于一些午休人数较少的班级，需要调整。除此以外，方案一和方案二在制作缩小模型时误差较大，导致可摆放睡垫数据明显偏大，与现实情况存在较大偏差，需要进行修正。（二）再次建立模型学生根据初稿的互评提议，对优化模型方案进行了调整，提出了如下方案：方案一：讲台上放空间用于摆放桌椅，经实测，当所有书包放置于桌面上时可摆放两排。其余桌椅靠墙摆放或用于隔断分区。共能摆放10张完整睡垫和2张半张睡垫。方案二：桌椅摆放于讲台上方、教室靠外侧和用于隔断，共能摆放11张完整睡垫和1张半张睡垫。学生认为午休时要脱鞋，可以光脚踩在睡垫上通行，因此走道预留空间较少。方案三：桌椅摆放于教室前后两侧及中间隔断，共能摆放9张完整睡垫和3张半张睡垫，并考虑用课桌桌面搭建二层区域，可再摆放3张半张睡垫。以上方案经过实际测试，均能够实现。每张睡垫能睡3～4人，方案一能满足34～44人躺睡；方案二能满足35～46人躺睡；方案三不考虑二层空间情况下能满足32～42人躺睡。四、总结反思，拓宽视野经历本次建模实践后，学生真正感知到数学有“用武之地”，学生的数感、量感、运算能力和应用意识有了明显的提高，对于数学模型解决问题的普适性也有了初步的感悟，形成了一定的模型意识，在数学学习的主动性和兴趣方面也有了明显的正反馈。本项目共经历两轮检验，得到了一个应用于学生生活实际的优化模型，学生在此过程中掌握了解决此类优化问题的方法和思路，获得了较强的知识运用与