2025年春北师版数学九年级下册 第2章 4 二次函数的应用 第1课时 二次函数与图形面积问题

第二章二次函数2.4二次函数的应用（一）基础导练1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列判断错误的是()a＞0c＜0函数有最小值y随x的增大而减小2．关于二次函数y=x2＋4x－7的最大(小)值叙述正确的是()A．当x＝2时，函数有最大值B．当x=2时，函数有最小值C．当x＝－2时，函数有最大值D．当x＝－2时，函数有最小值3．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣1013y﹣1353下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个4．已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（）ABCD5．把二次函数y＝2x2－4x＋5化成y=a(x－h)2＋k的形式是，其图象开口方向，顶点坐标是，当x＝时，函数y有最值，当x时，y随x的增大而减小．6.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．第6题图第7题图7．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=______．能力提升8．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x＝－3，求此二次函数的解析式．9．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只熊猫的成本为R元，售价为每只P元，且R，P与x之间的函数关系式分别为R＝500＋30x，P＝170－2x.（1）当日产量为多少只时，每日获得的利润为1750元?（2）当日产量为多少只时，每日可获得最大利润?最大利润是多少元?10．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，），点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．11．某商场试销一种成本为60元/件的T恤衫，规定试销期间销售单价不低于成本单价，获利不得高于成本单价的40％．经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y＝kx＋b，且当x＝70时，y＝50；当x＝80时，y＝40．（1）求一次函数y=kx＋b的解析式；（2）若该商场获得的利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润?最大利润是多少?参考答案1．D2．D3．B4．C5．y＝2(x－1)2＋3向上(1，3)1小＜16．07．3﹣8．解：y＝－(x＋3)2＋4＝－x2－x＋.9．解：设每日利润是y元，则y＝Px－R=x(170－2x)－(500＋30x)=－2x2＋140x－500=－2(x－35)2＋1950(其中0＜x≤40，且x为整数)．(1)当y=1750时，－2x2＋140x－500＝1750，解得x1＝25，x2=45(舍去)，∴当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元．(2)∵y＝－2(x－35)2＋1950，∴当日产量为35只时，每日可获得最大利润，为1950元．10．解：（1）∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的解析式为y=ax2，将点A（1，）代入y=ax2得：a=，∴二次函数的解析式为y=x2；（2）证明：∵点P在抛物线y=x2上，∴可设点P的坐标为（x，x2），如图，过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=x2﹣1，PB=x，∴Rt△BPF中，PF==x2+1，∵PM⊥直线y=﹣1，∴PM=x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥x轴，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴x2+1=4，解得：x=±2，∴x2=×12=3，∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．11．解：(1)由题意得解得故所求一次函数解析式为y=－x＋120(60≤x≤84)．(2)w=(x－60)(－x＋120)=－x2＋180x－7200=－(x－90