倾斜角与斜率

第二章《直线和圆的方程》2.1.1倾斜角与斜率【划重点】1．了解直线的斜率和倾斜角的概念.2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．【知识梳理】知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.知识点二直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<03．过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【例题详解】一、直线的倾斜角例1(1)过两点和的直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线的斜率公式计算即可求出.【详解】斜率，倾斜角为，，．故选：D(2)直线的倾斜角为（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】利用直线与轴垂直即可求得答案【详解】因为直线与轴垂直，故直线的倾斜角为故选：C跟踪训练1(1)直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系即可.【详解】直线；；故选：C(2)下列图形中，对直线的倾斜角与斜率描述正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角定义及倾斜角与斜率的关系可以判断.【详解】对于:倾斜角为钝角,且,则,与已知矛盾,故错误;对于:倾斜角定义:轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角,倾斜角错误,故错误;对于:倾斜角为钝角,且,则,,故正确;对于:倾斜角定义:轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角,倾斜角错误,故错误;故选:.二、直线的斜率例2(1)下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．【答案】D【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.【详解】对于:直线的倾斜角,,所以错误；对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误；对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误；对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确.故选：.(2)已知点，直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据斜率公式列式计算即可.【详解】因为直线的倾斜角为，，可得直线的斜率为，可得.故选：C跟踪训练2(1)如图，直线l的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由图中求出直线l的倾斜角，再根据斜率公式求出直线l的斜率.【详解】如图，直线l的倾斜角为30°，tan30°，所以直线l的斜率为.故选：B.(2)直线过点，，则直线的斜率为______，倾斜角为______.【答案】1/【分析】根据斜率和倾斜角的定义求解即可.【详解】因为直线过点，，所以直线的斜率，由斜率可得倾斜角为，故答案为：；三、斜率与倾斜角的变化关系例3(1)如图，已知直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：设直线的倾斜角分别为，由题图知，直线的倾斜角为钝角，.又直线的倾斜角均为锐角，且，，.故选：D.(2)设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，由图可得的范围，即可得答案.【详解】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，如图所示：由此可得.故选：A.(3)经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角，可知，且，解得，即实数m的范围是，故选：C跟踪训练3(1)已知直线l的斜率为，则直线l的倾斜角（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案.【详解】因为，为锐角，所以．故选：C(2)若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是_________________.【答案】【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系来得答案.【详解】，且，或，即的取值范围是.故答案为：.四、直线与线段的相交关系求斜率范围例4(1)已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据两点斜率公式，结合图形以及倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】直线的斜率分别为,结合图形可知：直线过点且与线段相交时，，故选：B(2)已知两点，过点的直线与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别求出点与线段端点所成直线的斜率，即可得直线的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系求倾斜角范围即可求解.【详解】由题意：如下图所示：所以，，则，若直线的倾斜角，则，所以，故选：.跟踪训练4(1)直线与线段没有公共点，其中，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】数形结合即可求得的取值范围.【详解】直线化为，由题可知，当直线经过点时，解得，当直线经过点时，解得，若直线与线段没有公共点，则有或，即.故选：A(2)已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】表示点与与直线的斜率取值范围，先求出与点连线斜率，再结合题意即可得出答案.【详解】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围，如图所示：∴与点连线斜率为，与点连线斜率为，∴可得斜率取值范围为．故选:A．【课堂巩固】1．以下四个命题，正确的是（

）A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°B．经过两点的直线的倾斜角为锐角C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应【答案】D【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念依次判断选项即可.【详解】A：直线的斜率为1，则直线的倾斜角为，故A错误；B：过点A、B的直线的斜率为，即(为直线的倾斜角)，则为钝角，故B错误；C：当直线的倾斜角为时，该直线的斜率不存在，故C错误；D：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D正确.故选：D.2．已知直线的斜率为,则的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据斜率和倾斜角之间的关系即可得倾斜角.【详解】解:因为斜率为1,设直线倾斜角为,,所以,即.故选:D3．已知直线经过点，，该直线的倾斜角为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两点表示直线斜率求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得倾斜角.【详解】因为直线过点，，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：C.4．若直线l的斜率k=2，又过一点(3，2)，则直线l经过点（

）A．(0，4) B．(4，0)C．(0，4) D．(2，1)【答案】B【分析】利用斜率公式逐个验证即可【详解】对于A，，不符合题意；对于B，，所以B正确；对于C，，不符合题意；对于D，，不符合题意，故选：B5．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线的斜率，又因为直线的倾斜角为锐角，所以，解得.故选：C6．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】画出坐标系，连接，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解.【详解】如图所示，设直线l的倾斜角为，，则，，∵直线l与连接，的线段总有公共点，∴，即，∴．故选：A．7．已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果.【详解】设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是，故选：A.8．已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围.【详解】过点作，垂足为点，如图所示：设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，此时；当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故选：D.9．已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解.【详解】如图所示，，因为为的边上一动点，所以直线斜率的变化范围是.故选：D.10．若正方形一边对角线所在直线的斜率为，则两条邻边所在直线斜率分别为______，______.【答案】【分析】建立直角坐标系，由已知可设，根据图象结合正方形的性质可知，两条邻边所在直线的倾斜角分别为，，根据两角和与差的正切公式，以及直线的倾斜角与斜率的关系，即可得出答案.【详解】正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为，建立如图直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为，则，由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，故，.故答案为：；.11．已知三点三点共线，则实数的值为__________.【答案】6【分析】依题意可得，根据斜率公式计算可得.【详解】解：因为三点共线，所以，即，解得；故答案为：12．直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为___________.【答案】【分析】根据已知两点求斜率，以及直线斜率计算即可.【详解】因为直线经过两点所以直线的斜率为所以直线的倾斜角为又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，所以直线的倾斜角为，所以的斜率为故答案为：.13．直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．【答案】【分析】作出图形，求出、，观察直线与线段的交点运动的过程中，直线的倾斜角的变化，可得出直线的取值范围.【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，此时，；当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，此时，.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故答案为：.14．已知，，三点.(1)若直线的倾斜角为135°，求的值.(2)是否存在，使得三点共线？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，使得三点共线，【分析】（1）根据题意得，再解方程即可得答案；（2）根据三点共线时，列方程求解即可.【详解】（1）解：因为，，直线的倾斜角为135°所以，，解得故的值为（2）解：因为，，三点.所以，当三点共线时，，即，解得所以，存在，使得三点共线，【课时作业】1．直线经过，两点，则直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出直线的倾斜角，求出其正切值，即斜率，进而可得出倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，由已知可得直线的斜率，又，所以倾斜角是，故选：B.2．若直线l的斜率为，则该直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据斜率的定义求解.【详解】由定义：斜率，其中为直线l的倾斜角，，又；故选：C.3．若直线的倾斜角为α，则α为（

）A．0 B． C． D．不存在【答案】C【分析】为常数，所以直线的倾斜角为，得出结果.【详解】解：为常数，所以直线的倾斜角为.故选：C4．倾斜角为的直线经过点和，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由倾斜角和两点坐标分别表示出斜率，由此可构造方程求得的值.【详解】直线斜率，.故选：C.5．已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合正切的二倍角公式，可得答案.【详解】由直线的斜率为，设其倾斜角为，则，由直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，设直线的倾斜角为，则，，，解得或，由倾斜角的取值范围为，则，故直线的斜率为.故选：C.6．经过两点，的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直线的倾斜角是钝角，则斜率小于0，列不等式解实数m的范围【详解】直线的倾斜角是钝角，则直线斜率，解得或．故选：D．7．已知直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由直线不过第四象限，可画出所有符合要求的直线，观察可得.【详解】如图，，，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故.故直线的斜率的最大值为2．故选：A.8．经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】画出坐标系，连接，，，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解.【详解】由题知，直线的倾斜角为，则，，，且直线与连接点，的线段总有公共点，如下图所示，则，即，.故选：B9．已知点，若点在线段上，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解【详解】可看作与的斜率，则，，因为点在线段上，所以的取值范围为，故选：A10．已知直线的斜率不存在，且，则直线的斜率为___________.【答案】0【分析】由直线的倾斜角结合垂直关系得出直线的斜率.【详解】直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为0，则斜率为0故答案为：011．若直线的斜率为，则直线的倾斜角的取值范围是______.【答案】【分析】根据正弦函数的取值范围，结合直线斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】由题意可得直线的斜率，令直线的倾斜角为，则，解得，故答案为：12．线段AB，其中，，过定点作直线l与线段相交，则直线l的斜率的取值范围是______.【答案】【分析】计算，，得到范围.【详解】，，，故，，两点之间横坐标不包含，故直线l的斜率的取值范围是.故答案为：13．已知实数