高校自主招生数学试卷二

自主招生数学试卷（二）

一、选择题:

1.“9二卢”是“tan9=2cos(⑥+9))|”的().

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件1）.既不充分也不必要条件

2.右图是计算L+2+J+...」的道的一个程序框图，其中判

246100

断框内应填入的条件是（）

A.i三50B.i>50c.iH100D.i>100

3.若a=i+i2+……+I2022（j是虚数单位），则a[+的值为

1-a

A.iB.1-ic.-1+iD.-1-i

（"J]

4.将函数y=cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移二■个单位,

所得函数图象的一条对称轴为（）

nitif

A.X=-B.X=—C.XD.X二

982

5.已知实数x,y满足ax<ay（0<a<1）,则下列关系式恒成立的是（）.

、---->-----B.ln（X2+1）>In（y2+1）c.sinx>sinyD.X3>V3

A.X2+1y2+1

（yHx

6.若X、y满足约束条件[x+y三a，其中a=j"（sinx+cosx）dx，则z=x+2y的最大值为（）

l|y之-1°

A.1B.3C.-3D.5

1

7.已知正项数列｛a｝的前n项的乘积等于T=（力（n=N*）,b=loga,则数列｛b｝的前n项和

nn4n2nn

s中最大值是（)

A.SB.SC.SD.S

(2x-1,x共0

8.已知函数f(X)=。(x・1)+1X>0'把函数§(X)=f(x)-X的零点按照从小到大的顺序排成一

个数列｛a1,则该数列的通项公式为().

A.a=n^n(n=N-)B.a=n(n-1)(n=N-)

n2n

C.a=n-1(n=N)D,a=2n-2(n=N-)

二、填空题：

9.一个几何体的三视图如所示，则这个几何体的表面积

为_____.正视图侧视图

10.函数y=log（x+3）・1（a>0且a丰1）的图象恒过定点A,

a

若点A在直线mx+ny+1=0其中mn>0,则L/的鸟瞰图

mn

最小值为

11.定义a*b是向量a和b的“向量积”，它的长度|2*"=|2|.2|6祈9,其中9为向量2和6的夹角,

若F=(2,0),u-v=(1,-^,则Iu-*(u+v)|=

12.如图，PA是圆。的切线，A是切点，直线PO交圆。于

B、C两点，D是OC的中点，连结AD并延长交圆。于点E,

若PA=翥，ZAPB=30,则AE=.

13.圆C：p=-4sin9上的动点P到直线I:psin（9+乎）2的最短距离为

14.关于实数x的不等式X2+25+|X3—5x21>ax在［1,12］上恒成立，则实数a的取值范围是.

三.解答题

-3-

(15)已知向量a=(sinx,)rb=(cosx,-1).

(I)当a//t舟,求28s2x—sin2x的值；

--几

(H)求f(x)=(a+b).b在［一,0］上的值域.

2

(16)袋中装有黑球和白球共7个，从中狂取2个球都是白球的概率为2.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取

7

1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…”，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每一个球在

每一次被取出的机会是等可能的,用飞表示取球终止时所需要的取球次数.

(I)求袋中原有白球的个数；

(II)求随机变量飞的概率分布及数学期望E飞：

(III)求甲取到白球的概率.

(17)己知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//CD,三DAB=900,PAj底面ABCD,且PA=AD=DC=1

2

AB=1,M是PB的中点。

(I)证明：平面PAD］平面PCD

(II；求AC与PB所成的角余弦值

(in：求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值

(18)各项均为正数的数列｛a｝中，a=1,S是数列｛a｝的前n项和，对任意n=N*,有

n1nn

2S=2pa2+pa—p(p=R)

nnn

(I)求常数P的值；(II)求数列｛a｝的通项公式；

(HI)记b=49i2n,求数列｛b｝的前n项和T。

nn+3nn

2bx

zx已知函数f(x)(xCR)满足f(X)=--a±0,f(1)=1,使f(x)=2x成立的实数X惟独一

1Qax——1

21,

个.(I)求函数f(x)的表达式：(H)若数列｛a｝满足a=「a=f(a),b=一1,n仁N•，证明

n13n+lnna

n

数列｛b｝是等比数列，并求出｛b｝的通项公式；(HD在⑵的条件下，证明：ab+ab++ab想1

nn1122nn

(20)设函数f(x)=Inx+X2+ax.

(I:诺x=/,f(x)取得极值，求a的值；

(II)若f(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围；

(n:)设g(x)=f(x)-X2+1,当a=-1时，证明g(x)o在其定义域内恒成立，并证明

西+皿+L+皿v2n2.」・1(口纬N02)

2232ri22(n+1)

fp(x)=—+2x+a,

x

参考答案

1—5：ACDCD6—8DC

9.2、2io.811.2氏12.——13.2宓~214.(—w,10]

15.C)a//b,:—cosx+sinx=0,:tanx=—

28S2X—sin2x28s2X—2sinx8sx——2tanx_20

sin2x+cossx1+tan2x13

-1---J2几

(2)a+b=(sinx+cosx,,f(x)=(a+b).b=sin(2x+一

224

几什什八3几HC几H＞几…,公几\什战

共x共0,:r—共2x+—^―,:一1共sin(2xJ)共一

244442

：—共f(x),，，函数f(x)的值域,-]

2222

n(n-1)

2_C2_2_n(n—1)

16.(I)设袋中原有n个白球，由题意知:7=c7=7人6=5XT.所以n(n—1)=12,解得n=4(舍

2

去n=—3),即袋中原有4个白球

(II)由题意，飞的可能取值为1,2,3,4

473A人46f2--=^354er八3人2人1人41

P(飞=1)=-；P(飞=2)、一；P(飞二4)=---:---：—=—所以，取球次

7

数飞的分布列为:

E飞=3

5

(【ID因为甲先取,所以甲惟独可能在第1次和第3次取球，记“甲取到白球”为

事件为A,则P(A)=P("飞=1"或者“飞=3”)，所

以

24

P(A)=PCI$=1)+PflS=3)=—

35

17.解：因为PA1PD,PA±AB,AD1AB,以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则

各点坐标为

1

A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,-).

2

(I)证明：因AP二(0,0,1),DO^(0,1,0),故亚［55=0,所以AP」DC.

由题设知AD1DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC_L面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD_L面PCD.

(H)解：因AC=(1,1,0),PB"[(0,2—1),

故|AC|=>/2,|PB.PU=2,所以

cos想AC,PB>=_一

|AC|.|PB|5

2

(HI；r-

3

18.解：⑴由a=1及2s=2pa2+pa—p(n=N*),得:

1nnn

2=2p+p—p:p=1

⑵由2s=2a2+a—1①得2s=2a2+a—1②

nnnn+1n+1n+1

由②一①，得2a=2(a2—a2)+(a—a)

n+1n+1nn+1n

np.2(a+a)(a——a)—(a+a)=0

n+1nn+1nn+1nt\

:(a+a)(2a-2a-1)=0由于数列包)各项均为正数，

n+1nn+1nn

:2a-2a=1即a—a=—

n+1nn+1n2

:数列匕｝是首项为1,公差为2的等差数列，

n2

:数列｛a｝的通项公式是a=1+(n—1)人士二七」

nn22

小+/_n+1/曰e_n(n+3)..4s

；3)由a-,得：S——.b=n.2n=n.2n

n2n4nn+3

:T=1人2+2人22+3人23+......+n.2n

2.T=2+22+23+......+(n—1)人2+n人2+1

2(1—2n)

—T=2+2+23+...+2n-n.2n+i=------n人2n+i=—(n-1).2n+i—2

n1—2

T=(n—1).2n+i+2

is.解：(1)f(x)=2bx=2x,f(1)=1,得a=2b+1.由f(x)=2x只有一解，即2bx二"

ax—1ax—1

2x

2ax2—2(1+b)x=0(a±0)惟独一解，：b=—1,a=一1:f(x)=---,

x+1

2a1ba_—a+1_1

(2)a=f(a)=—c—(n=N*),b=,i

1_/2(1-a)2

n+1na+1nabn

a

:｛b｝为等比数列，q=—,a=_,：b=——1=1,：b=bqn-i=>

n2131a2nl2

1

12n1

(3)ab=a(——1)=1—a=1———=----,

nnnan2i+12n+1

11

:ab+ab+...+ab=--------1---------1-...++-c1——Jffl1

1122nn2l+122+12n+12222n2n

20.(I)因为x=二时，f(x)取得极值.所以f,(V=0,

即2+1+a=0,故a=—3.

(II)f(x)的定义域为(0,+w).

f,(x)=12x+a>0在x仁(0,+w)上恒成立

x

1

参数分离得：一a共2x+-,