复合函数知识总结及例题

复合函数问题

一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若A=B,则y关于x函数的y=f

[g(x)]叫做函数f与g的及合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

(1)、已知/(x)的定义域，求/[g(x)]的定义域

思路：设函数/(幻的定义域为D,即所以/的作用范围为D,又f对g(X)作用，作用范围

不变，所以g(X)£D,解得xwE,E为f[g(x)]的定义域。

例1.设函数/(〃)的定义域为(0,1),则函数/(Inx)的定义域为。

解析：函数/(〃)的定义域为(0,1)即“W(0,1),所以/的作用范围为(0,1)

又f对Inx作用，作用范围不变，所以Ovlnxvl

解得了£(1,e),故函数/(Inx)的定义域为(1,e)

例2.若函数/(x)=」一,则函数/[/(x)]的定义域为______________。

X"I"1

解析：先求f的作用范围，由/(x)=,，知

X+1

即f的作用范围为｛x£R|xW-1｝,又f对f(x)作用所以/(x)GRQ.fMw-1,即/[/(X)]中K应

1xH-I

满足《即4I,解得xw—I且XW—2

/U)^-1——工一1

葭+1

故函数/[/*)]的定义域为｛A£E\x工-1JU工-2)

(2)、已知了加(切的定义域，求/(X)的定义域

思路：设/口(切的定义域为D,即XE。，由此得g(X)£七，所以f的作用范围为E,又f对X作

用，作用范围不变，所以xwE,E为/(对的定义域。

例3.已知/(3-2工)的定义域为2],则函数/(x)的定义域为o

解析：/(3-2幻的定义域为卜1,2],即工£卜1,2],由此得3-2次£卜1,5]

所以f的作用范围为[一1,5],又f对x作用，作用范围不变，所以5]

1

即函数/*)的定义域为[1,5]例4.已知/(/-4)二馆则函数/(x)的定义域为

解析：先求f的作用范围，由，(/-4)=怆/—,知f—>()

X2-8x2-8

解得/一4>4,f的作用范围为(4,+oo),又f对x作用，作用范围不变，所以xe(4,+8),

即/(X)的定义域为(4,+00)

(3)、已知/[g(切的定义域，求川仆)]的定义域

思路：设/[g(x)]的定义域为D,即xw”由此得g(x)eE,7的作用范围为E,又f对/?(x)作

用，作用范围不变，所以/2(X)WE,解得xw尸，F为了例切的定义域。

例5.若函数"2')的定义域为卜1,1],则/(logzX)的定义域为o

解析：/(2、)的定义域为[一1,1],即xj—l,1],由此得2

2

/的作用范围为2,又f对log2不作用，所以log2icL，2,解得4

22L

即/(log2r)的定义域为卜方，4

评注：函数定义域是自变量x的取值范围(用集合或区间表示)f对谁作用，则谁的范围是f的作用范

围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”

的感觉，值得大家探讨。

三、复合函数单调性问题

(1)引理证明

已知函数y=/(g(x)).若〃=g(x)在区间(。力)上是减函数，其值域为(c,d),又函数)，=/(〃)在

区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数)，=/('式幻)在区间(。力)上是增函数.

证明：在区间(。力)内任取两个数X],W，使。<芭<々<人

因为〃=g(%)在区间上是减函数，所以g(项)>g(%2)，记%=g(再)»“2=g(±)即

W]>〃2.且〃|，〃2€(c,d)

2

因为函数y=/(〃)在区间(c,d)上是减函数,所以/(«,)<f(u2),即/(g(内))<f(g(%2))，

故函数y=/(g*))在区间(〃/)二是增函数.

(2).复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

y=/(〃)增/减、

〃=g(x)增/减、增7减、

y=f(gM)增/减\减、增/

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

(3)、复合函数y=/(g(x))的单调性判断步骤：

i确定函数的定义域；

ii籽复合函数分解成两个简单函数：>=/(〃)与〃=且&)。

iii分别确定分解成的两个函数的单调性；

iv若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数，或都是减函数)，则复合后的函数

),=/(g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异(却一个是增函数，而另一个是减函

数)，则复合后的函数)，=/(g(x))为减函数。

(4)例题演练

例1、求函数y=log](x2—2x—3)的单调区间，并用单调定义给予证明.

2

解：定义域12-2工一3>()=>工>3或¥<-1

单调减区间是(3,+00)设X，£€(3，+°°)且为<当贝IJ

y=bg」(X；-2.5-3)%=bg,(才-2工2-3)

22

2

(%|—2X|—3)—(A-2'—2x?-3)=(x,—X|)(x)+为—2)

w>再>3，/一X>0x2+X]-2>0

3

-

(.t|~—2x,3)>(xj-2X2-3)又底数0<5<1

：,歹2一%<°即>2<M

J)，在(3,+8)上是减函数.

同理可证：y在(一8,—1)上是增函数.

［例］2、讨论函数/(x)=bg〃(3x2-2x-l)的单调性.

［解］由35—统一1>0得函数的定义域为

{x\x>l,oJU<--}.

3

则当〃>1时，若X>1,•・・〃二35一2¥-1为增函数，.・../'(工)=1。8“(3/一2X一1)为增函数.

若x<—»N=3炉—2»v—1为减函数.

3

2

/(X)=loga(3x-2x-l)为减函数。

当0<avl时，若x>l,则/(x)=loga(3x2—2x—l)为减函数，若x<--,则

/(x)=log0。/一2x-1)为增函数.

例3、.已知y=log”(2-优)在［0,1］上是x的减函数，求a的取值范围.

解：•.、>()且aWl

当a>l时，函数t=2-aD0是减函数

由y=bg〃(2-优)在［0,1］上X的减函数,知y=logat是增函数,

Aa>l

由xe［0,1］时，N2-a>0,得aV2,

Al<a<2

当0<a<l时，函数1=2-4”>0是增函数.

由y=log。(2-优)在［0,1］上x的减函数,知y=logqt是减函数,

・・・0Q<L

由XE［0,1］时，2-ax>2-1>0,.\0<a<l

综上述，0<a<l或lVa<2・

例4、已知函数/。-2)=处2一(〃一3八+4-2(。为负整数)的图象经过点(〃L2,0),meR,设

g(x)=flfM］,F(x)=〃g(x)+/(x).问是否存在实数〃(p<0)使得r(x)在区间(-coj(2)［上是减函

数，且在区间(/(2),())上是减函数？并证明你的结论。

2

［解析］由己知f(m-2)=0>得am-(a-3)m+a-2=0r

4

其中用eR,a工0.・•・AN0即3/一2a-9M0,

解得包工找上空.

33

••%为负整数，・・・a=T.

••・f(x-2)=-x2+4x-3=-U-2)2+1,

EP/(.t)=-x2+1.g(x)=/[/(x)]=-(-x2++1=-x4+2x-,

F(x)=pg(x)+/(*)=-px4+(2p-l)x2+1.

假设存在实数p(〃<0),使得产(x)满足条件，设西<应，

■一(所)-F(X2)=(X；-后)[_p(X]2+石)+2p_1].

V/(2)=-3,当为,必£(一8,—3)时，F(x)为减函数，

2

/.F(xi)—F(X2)>0,/.Xj-x?>0,-/?(xf+)+2/?-1>0.

*.*X[<-3,X2<—3,:.为2+方>18,

/.-p(x:+x?)+2p-l>-16/7-l,

/.-16p-l>0.①

当为,刈e(-3,0)时，—(x)增函数,・•・F(x,)-F(X2)<0.

X]2-后>0,/.-〃(X[24-X^)+2p-l<-16p-l/

A-16p-l<0.®

由①、②可知〃=一，，故存在〃=一，.

指数备粼马对欲诙熬

.同底的指数函数y=ax与对数函数)，=log,x互为反函数；

(二)主要方法：

1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；

2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论；

3.比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差.

(三)例题分析：

例1.(1)若/则log〃2,log/,a,log,常从小到大依次为：

a

(2)若2、=3>=5z,且-y,z都是正数，则21，3)，，5z从小到大依次为—

(3)设x>0,且(。>0,人>0),则。与〃的大小关系是(

(A)b<a<\(B)a<b<\(C)i<b<a(D)1<a<b

解：(1)曰得2<。，故]og〃—<log匕a<\<log<(b.

aa

5

(2)令2'=3'=5'=，则x=思，y=—,z=—,

Ig2lg3lg5

_21gr31gr_lgr(lg9-Ig8)

21lv)一京-必-怆2.电3>0,2x>3y：

同理可得：2x-5z〈0,/.2x<5z,/.3y<2x<5z.(3)取JV=1,知选(8).

例2.已知函数/（此二优+忙2

x+1

求证：（1）函数/（x）在（一1,y）上为增函数；（2）方程/（x）=0没有负数根.

证明：（1）设-1<X]<工2，

则/(%)-/(%)=〃

X1+1X,4-1

一优。=_。巧+3(xf),,

%+1W+1(X]+l)(x24-1)

-1<Xj<x2,Xj+1>0,+1>0,-x2<0,

...3区一为)<0；

(Xj+l)(x2+1)

r,rz2

V<x]<x2,且。>1,a<a,a''-a'<0,

•­fW-f（x2）<0f即/（%）</（芍），・••函数/（x）在（-l,+oo）上为增函数;

（2）假设/是方程/。）=0的负数根，且玉产一1,则产+也■二二0，

%+1

即=2^=3一（凡+1）=二_一],①

Xo+1Xo+1Xo+1

33

当一lv玉<0时，0<x（）+l<l,------->3,，-------1>2,而由。>1知a"vl,

%+1/+1

・•・①式不成立；

33

当x°v—1时，xo+l<0,・•・-------<0,A———1<-1,而〃">0,

毛+1%+1

工①式不成立.

综上所述，方程/"）=0没有负数根.

例3.已知函数/（x）=log“（/—l）（。>0且。工1）.

求证：（1）函数/（X）的图象在y轴的一侧；

（2）函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0.

证明：（1）由"一1>0得：ax>1,

，当a〉l时，工〉0,即函数/（幻的定义域为（0,+8）,此时函数/（工）的图象在y轴的右侧；

当0<4<1时，x<0,即函数）（无）的定义域为（—8,0）,此时函数/（x）的图象在y轴的左侧.

・•・函数/（X）的图象在y轴的一侧；

（2）设人区，,）、8（々,%）是函数/（X）图象上任意两点，且不</，则直线A3的斜率％=上匚&

%一々

6

/1-1

y->，2=log”（优।-1）一log”-1）=log”--，

a--\

当时，由（1）知0<玉<々，，<''，0<ax,-1<6f'2-1,

-1

0<—―-<1,）\-y2<0,又办一々〈O，***/：>0：

当0va<1时，由（1）知％<占v0，，>1，*,•-1>，卢一1>0，

ax'-1

/.-------->1,.•.y-KcO,又不-％<0,>0.

cix'_1

・•・函数/（外图象上任意两点连线的斜率都大于0.

7

同步练习

(二)同步练习：

1、已知函数f(X)的定义域为［°，1］,求函数f(X?)的定义域。

答案：1］

2、已知函数f(3-2x)的定义域为［-3,3］,求f(x)的定义域。

答案：［-3,9］

3、已知函数y=f(x+2)的定义域为(T,°),求f(l2x-l|)的定义域。

13

0)51,-)

答案:22

4、设/(%)=ig,则《3+D的定义域为•

)

A.(-4,0)U(0,4)B.(-4-l)U(l,4)

C.(-2,-l)U(h2)I).(-4,-2)U(2,4)

-2<-<2,

2+x\，解得

解：选c.由初二>0得，/(x)的定义域为｛划―2<工<2｝。故，

-2<-<2.

x

(T-1)U(L4)。故/的定义域为(T,—1)U(L4)

I3v

5、己知函数/(x)的定义域为XG(-一,一),求g(x)=f(or)+/(—)(a>0)的定义域。

22a

1313

—<ax<—,-----<x<一,

［解析］由已知，有422口la2a

1x3a3

——<x<—a.

[2a222

13

(1)当。=1时，定义域为

331

(2)当—>—a>即0<。<1时，有---->

2a22a2

定义域为｛x\-^<x<^a｝；

1a

(3)当上■<'〃，即。>1时，有-一<——，

2a2la2

8

I3

定义域为｛x|———<x<——).

2ala

故当〃21时，定义域为“|一二-</<3｝；

2ala

当Ova<1时，定义域为｛x|-

22

［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

练习二

(5)同步练习：

1.函数y=bg］(X2—3x4-2)的单调递减区间是()

2

A.(一8,1)B,(2,+8)

33

C.(一8,-)D.(-,+~)

22

解析：先求函数定义域为(一。，1)u(2,+8),令t(X)=X2+3X+2,函数t(X)在(一8,1)

上单调递减，在(2,+8)上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y=log］(x2—3X+2)在

2

(2,+8)上单调递减.

答案：B

2找出下列函数的单调区间.

(1)y=a~xl^2(a>1)；

(2)y=

33

答案：(1)在(一8,耳］上是增函数，在弓，十oo)上是减函数。

(2)单调增区间是［-U］，减区间是［13。

3、讨论)，=bg“(〃一1),(。>0,且QW0)的单调性。

答案：a>1,时(0,+8)为增函数，1>〃>0时，(—8,0)为增函数。

4.求函数y=log］(X2-5X+4)的定义域、值域和单调区间.

3

解：曰"(X)=X2—5x+4>0,解得X>4或XVI,所以x£(—8,1)U(4,当XW(—

8,1)U(4,+8),｛〃I〃=x2—5x+4｝=R+,所以函数的值域是R+.因为函数y=log］(X：-5X

3

+4)是由y=log］〃(x)与〃(x)=x2—5x+4复合而成，函数y=log［〃(x)在其定义域上是单调

33

递减的，函数〃(x)=x2-5x+4在(-8,—)上为减函数，在［2,+°°］上为增函数.考虑到函数

22

9

的定义域及复合函数单调性，y=logj(x2—5x4-4)的增区间是定义域内使y=log[/J(x)为减函数、〃

33

(X)=X2-5X4-4也为减函数的区间，即(-8,1)；y=log](x2—5x+4)的减区间是定义域内使y=log]〃

33

(X)为减函数、〃(X)=x2—5x+4为增函数的区间，即(4,+8).

变式练习

一、选择题

1.函数/(x)=^log|(X—1)的定义域是()

A.(1,+°°)B.(2,+00)

C.(一8,2)D.(L2J

解析：要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0，

A-1>0

所以,log[*—1)20解得1VXW2.

,2

答案：D

2.函数y=log|"-3X+2)的单调递减区间是()

2

A.(—8,1)B.(2,+00)

33

C.(一8,-)D.(-,4-00)

22

解析：先求函数定义域为(—0，1)u(2,+8),令t(x)=x?+3x+2,函数t(x)在(一8,1)

上单调递减，在(2,+8)上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y=log1(x2-3x+2)在

2

(2,+8)上单调递减.

答案：B

3.若21g(x-2y)=1gx+1gy,则上的值为()

X

A.4B.1或一

4

C.1或4D.—

4

10

v1r

错解：由21g(x-2y)=lgx+lgy,得(x-2y)2=xy,解得x=4y或x=y,则有2=一或一=1.

x4y

答案：选B

正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x-2y>0,所以x>2y.所以x=y舍掉.只有x=4y.

答案：D

4.若定义在区间(一1,0)内的函数f(x)=hg2a(x+1)满足f(x)>。，则。的取值范围为()

A.(0,-)B.(0,1)

2

C.(-,4-oo)D.(0,+8)

2

解析：因为x£(-1,0),所以x+iw(0,1).当/(X)>0时，根据图象只有0V2GVI,解得0

<a<-(根据本节思维过程中第四条提到的性质).

2

答案：A

2

5.函数y=lg(--1)的图象关于()

1-x

A.V轴对称B.X轴对称

C.原点对称D.直线V=X对称

21-l-v1-4-Y1Y

解析：y=1g(―-1)=lg—,所以为奇函数.形如y=lgL'或y=lg±=的函数都为奇

1—x1-xLx1-x

函数.

答案：C

二、填空题

已知y=log”(2—ox)在［0,1］上是x的减函数，则。的取值范围是.

解析：。>0且。=〃(x)=2—ox是减函数，要使y=bgq(2-ax)是减函数，则。>1,又2

2

—nx>C］=>a<—(0<X<1)zz>a<?,所以。£(1,?).

x

答案：QW(1,2)

7.函数f(x)的图象与g(x)=(！)x的图象关于直线y=x对称，则/(2x—x2)的单调递减区间

3

为.

解析：因为/(x)与g(x)互为反函数，所以f(x)=log1x

3

11

则/(2x—x2)=log1(2x—X2),令〃(x)=2x—X2>0,解得0<X<2.

3

〃(x)=2x—x2在(o,i)上单调递增，则/(x)］在(0,1)上单调递减；

〃(X)=2x—在(1,2)上单调递减，则/(X)］在［1,2)上单调递增.

所以/(2X—X2)的单调递减区间为(0,1).

答案：(0,1)

8.已知定义域为R的偶函数/(X)在［0,+8］上是增函数，且/(；)=0,

则不等式/(log/)>o的解集是.

解析：因为f(x)是偶函数，所以/(一；)=/(1)=0.又fix)在［0,+8］上是增函数，所

以/(x)在(-8,o)上是减函数.所以/(logd)AOnlog/〉,或Iog4xv一」.

22

解得X>2或OVxvL.

2

答案：X>2或0Vx〈L

2

三、解答题

9.求函数y=log1(x2—5X+4)的定义域、值域和单调区间.

3

解：曰〃(X)=X2-5x+4>0,解得X>4或XV］，所以XW(—8,1)u(4,+~),当XW(~

8,1)U(4,+8),{4|〃=X2-5X+4}=R+,所以函数的值域是R+.因为函数y=log］(X2-5X

3

+4)是由y=log］〃(x)与〃(x)=x2-5x+4复合而成，函数y=log］〃(x)在其定义域上是单调

33

递减的，函数〃(x)=x2-5x+4在(-8,—)上为减函数，在［3,+8］上为增函数.考虑到