湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

育才高中高一数学5月月考试题题号一二三四总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.已知t∈R，a=(1,2)，b=(3,t)，若aA.3 B.4 C.5 D.62.已知复数z满足z1+i=6+4i，则zA.-1 B.-i C.1 3.已知向量a在向量b上的投影向量为12b，且|a|=|b|=1A.1 B.32 C.344.已知正四面体的表面积为43，则它的体积为(

)A.3 B.223 C.25.在▵ABC中，A=60°，b=1，其面积为3，则A.33 B.2633 6.已知正三棱锥P-ABC，PA=32，A.276π B.813π7.如图，圆内接四边形ABCD中，DA⊥AB,∠D=45°,AB=2，BCA.162+16π B.2828.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，▵ABC的面积为S，S=12b2A.120∘ B.135∘ C.150∘二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数z=5+i1+A.z=13

B.z的虚部为-2

C.z在复平面内对应的点在第四象限

D.z10.已知圆锥的高为1，母线长为2，S为顶点，A，B为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是(

)A.圆锥的体积为π

B.圆锥侧面展开图的圆心角大小为3π

C.圆锥截面SAB面积的最大值为3

11.已知▵ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C=π3，A.▵ABC面积的最大值为3

B.bcosA+acosB=三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.已知圆锥底面半径为2，侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的母线长为

．13.已知O为▵ABC所在平面内一点，且点P满足， AP·AC=AC，则14.复数z1，z2满足，|z2-2|=1，则z四、解答题：本大题共5小题，共67分。15.(本小题13分)已知向量a=(-1,-1)，b(1)求向量a与b的夹角θ的大小；(2)若向量c=(x,y)满足16.(本小题15分)已知▵ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足bsinB-asinA(1)求B；(2)若AB=1，BC=2，BD⊥AE17.(本小题15分)在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中CD:BC=1:2(1)要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，AD、AB的长度分别是多少？(2)求烧烤区占地面积的最大值．18.(本小题17分)记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知▵(1)若∠ADC=π(2)若b2+c219.(本小题17分)如图，设▵ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b(1)求b边的长度；(2)求▵ABC(3)设点E,F分别为边AB,AC上的动点，线段EF交AD于G，且▵AEF的面积为▵答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因为t∈R，a=(1,2)，b=(3,t故选：D．2.【答案】A

【解析】解：因为z1+i=6+4因此，复数z的虚部为-1故选：A．3.【答案】D

【解析】解：设向量a与向量b的夹角为θ，因为|a所以向量a在向量b上的投影向量为，则cosθ=所以．故选：D．4.【答案】B

【解析】解：设正四面体A-BCD的棱长为则该正四面体的表面积为4×12将正四面体A-BCD补成正方体AB因此正四面体A-BCD的体积为故选：B．5.【答案】C

【解析】解：由题意知，S=12bcsin由余弦定理得，即a=由正弦定理为三角形外接圆半径)，可得：．故选：C．6.【答案】A

【解析】解：正三棱锥P-ABC，PA=32，AB因此正三棱锥P-ABC的侧棱以线段PA,PB,该球的直径为3PA=3所以该三棱锥的外接球的体积．故选：A．7.【答案】C

【解析】解：在圆内接四边形ABCD中，∠DAB所以BD是四边形ABCD外接圆的直径，所以∠DCB=90°延长AB，过C作CE⊥AB，垂足为E；过C作CF⊥则∠CBE=45°所以BE=由于CE//AF,AE//CF，在等腰直角三角形CDF中，DF=所以AD=6,将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体是圆台挖掉一个圆锥，其表面积为．故选：C．8.【答案】A

【解析】【分析】本题考查利用余弦定理解三角形，三角形面积公式，正弦定理及变形，逆用两角和与差的正弦公式，利用同角三角函数基本关系化简，属于中档题．

由面积公式得到b=2c，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到sin2B【解答】解：

因为S=12所以12bcsinA=12所以bc=b2-2c2，即b因为1tan A+1tan C=cos A所以sin2B=2sin又由余弦定理b2=a2+所以4c2=由余弦定理得cosA又0∘<故选：A．9.【答案】BC

【解析】【分析】根据复数的除法运算法则求出z，再根据复数的模长公式、复数的概念、复数的几何表示以及共轭复数的概念可得答案．【详解】z=|z|=z的虚部为-2，故Bz=3-2i在复平面内对应的点(3,-z=3-2i的共轭复数为z=3+2故选：BC10.【答案】ABD

【解析】【分析】根据题意，求出圆锥的底面半径，体积，侧面展开图的弧长，轴截面面积，外接球体积，即可得出结论．【详解】解：因为圆锥的高为1，母线长为2，所以圆锥的底面半径为r=2对于A，圆锥的体积V=13对于B，设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为α，则2π×3=α对于C，SA=SB=2S▵ASB=截面SAB的面积最大，S▵ASB=对于D，圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，即圆锥的外接球，设圆锥外接球半径为R，由球的性质可知：R2即R2=(2-所以外接球的体积V=43故选：ABD．11.【答案】AC

【解析】【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，利用余弦定理计算可判断；C选项，利用余弦定理和基本不等式求解周长的最大值；D选项，用cosB=-cos(A+C)【详解】解：对于A，由余弦定理得：cosC=a由基本不等式得：a2+b所以ab≤4，故S▵ABC对于B，bcosA+对于C，由余弦定理得：cosC=a所以(a+b解得a+b≤4所以，▵ABC周长l=a+b+c

对于D，cosB因为A∈0,2所以32tan故选：AC．12.【答案】6

【解析】解：设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，则2π×2=2故答案为：6．13.【答案】3【解析】解：由，得，则，整理得，即，解得，而∠BAC∈(0,π故答案为：314.【答案】2【解析】解：设z1=x+yi,整理得x-y=0，即在复平面内z由|z2-2|=1，得在复平面内z2过点C作CA⊥l于点A，线段AC交圆C于B，则▵OAC而z1-z所以z1-z故答案为：215.【答案】解：(1)因为向量a=(-1,-因为0⩽θ⩽(2)因为向量c=(所以x=yy=y+1【解析】详细解答和解析过程见【答案】16.【答案】解：(1)在▵ABC中，由b即a2+c2-所以B=(2)在▵ABC中，AB由AD=tAC由E是BC的中点，得AE=由BD⊥AE，所以t=

【解析】详细解答和解析过程见【答案】17.【答案】解：(1)在▵ABD中，BD由余弦定理可得，所以，AB+当且仅当AB=所以，要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，AB=(2)设CD=x米，则在▵BCD中，由余弦定理可得cos所以，sinθ所以，≤10000当且仅当x=所以，烧烤区面积的最大值为100003

【解析】详细解答和解析过程见【答案】18.【答案】解：(1)方法1：在▵ABC中，因为D为BC中点，∠

则S▵ADC=在▵ABD中，∠ADB=即c2=4+1sinB所以tanB方法2：在▵ABC中，因为D为BC中点，∠ADC=则S▵ADC=在▵ACD中，由余弦定理得b即b2=4+1-2C=π6，过A作AE⊥BC于E所以tanB(2)方法1：在▵ABD与整理得12a2+2又S▵ADC=12×所以b=方法2：在▵ABC中，因为D为BC中点，则2AD=于是4AD2+CB2又S▵ADC=12×所以b=

【解析】(1)方法1，利用三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出a，作出BC边上的高，利用直角三角形求解作答．(2)方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出∠ADC即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出∠19.【答案】解：(1)∵2由余弦定理：2ca⋅c2+(2)因为D为中点，所以AD→=1∴|又AB→∴217解得cosθ=12或cosθ=-11∴▵ABC的面积为(3)设|AE