数学-高二年级下册开学摸底考试卷（人教A版）

绝密★考试结束前

20222023学年高二下学期开学摸底考试卷（B卷）

（人教A版2019）

数学

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡I.对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.三楂锥0A8C中，OA=a,OB=b,OC=c»点G是*A8C的重心，则OG等于（）

A.a+b-cB.a+b+c

C.D.-(£Z+Z?+c)

【答案】D

【详解】延长AG,交BC于D,由于点G是.MAC的重心，所以。是3C的中点,

2

所以OG=QA+AG=Q4+：4D

Q11

=OA+-x-^AB+AC)=OA+-(OB-OA+OC-OA)

323

=-OA+-OB+-OC=-(a+b+c).

3333、J

故选:D

o

=l-j，则々2022=（）

2.已知数列｛%｝满足4=2,。向

A.1B.2C.-1D.1.5

【答案】C

【详解】生=号号必二号1，%=」=2,

6

所以数列｛q｝是周期为3的周期数列，

所以。2022=474x3=%=T・

故选：c

3.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔•致.如下图

是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间比

I单3,…,9）约为4.4m,拉索下端相邻两个锚的间距14AM（i=1,2,3,…,9）均为16m.最短拉索的锚

P,,A满足|OR|=57m,|OA|=86m,则最长拉索所在直线的斜率为（）

【答案】B

【详解】解：如图，以。为原点是系,

根据题意，最短拉索的锚匕，A满足用=57m,川=X6m,

且|*/(i=123,L,9)均为4.4m,拉索下端相邻两个锚的间距|44/(i=l,Z3,L,9)均为16m,

则QAO|=QA|+1AAo|=86+9X16=230m,即点A。(230,0),

同理4。（—230,0）,

又|。制二|O用+忸闱=57+9x4.4=96.6,即点儿(0,96.6),

…96.6-0„..…篝＞2

所以p=-----------=-0.42,

4岛0-230

即最长拉索所在直线的斜率为±0.42.

故选:B.

修。

上J

8]。B[0A\A]Qx

2

X\，2

4.已知双曲线一.广（。川，则该双曲线的离心率的取值范围是（）

A.（l,+oo）B.（（）,6）

C.（72,75]D.[技+8）

【答案】c

[详解】

a>\,故:+le（l,2],故

故选:C

5.如图，在正四棱锥P-A8C。中，P/l=A8=l,点Q,R分别在棱/W,PC上运动，当QR取得最小值时,

三棱锥Q-ACH的体积为（）

P

QB

A.无B.包C.也D,包

2748916

【答案】A

【详解】连接8。，与AC相交于点0,连接P。，则AC_L8。，

因为四棱锥P-A8CD为止四棱锥，所以OP_L底面A8CQ,

以。为坐标原点，OA,08,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴1,建立空间直角坐标系,

正方形A8CO的边长为1,则A0=30="，

2

附=,四2一四2=jpc『—12,要使S,%C8=，2|PA|.|AC|最小，需使|PC|min="，故

7,设椭圆。：*+£=1（。＞匕＞。）的左、右顶点为A、4,左、右焦点为6、尸2,上、下顶点为4、%,

关于该椭圆，有下列四个命题:

甲：|A周=1；乙：离心率为泉丙：|4用=4；T：四边形AB6层的面积为36.

如果只有一个假命题，则该命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.7

【答案】C

£2

a2

%"|=〃+c=4

【详解】若命题甲为假命题,则该方程组无解，故命题甲不为假命题;

S四边形A46B=；（〃+c）x2匕=36

b=yja1-c1

|A闾=〃-c=l

|A㈤="+c=4

若命题乙为假命题,则该方程组无解，故命题乙不是假命题;

Sf«i边形=Z（"+c）x»=30

b=\la2-c2

|AK|=a-c=l

c1

e=—=—a=2

a2

若命题丙是假命题，则,解得沙=G,此时Id耳I=a+c=3合乎题意;

S|n|边形人与尸四=5（4+C）X%=3Gc=1

b=\Ja2-c

同用=a-c=1

2K|=a+c=4

若命题内为假命题，则cI,该方程组无解，故命题丙不为假命题.

a2

b=\]a2-c

故选：C.

8.艾萨克牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”

X"+i=x"一务4,我们把该数列称为牛顿数列.如果函数

的方法求函数/（x）零点时给出一个数列｛x｝：

n小）

x—2

/。）=©2+法+°（4>0）有两个零点i,2,数列｛乙｝为牛顿数列.设勺=小七］已知q=1,x„>2,｛an｝

的前〃项和为则S值+1等于（）

A.2022B.2023D.2的

【答案】D

【详解】/（切=加*+加+。（。>0）有两个零点1,2,

a+b+c=0

则2+c5解之得

则f(x)="2-3or+Z7(4>0),则//(x)=2ax-3a(a>0)

叫23吗+2°_与22

则加

MfM~n孙,一3。2工一3

V-22

J-2_2x”-3_一4\二4_{x“—2

则

x”+|TV-2ix:-2x”+l1乙一1

二7

Fh%=ln上。，可得勺7=in%==ln-2

=2Infl=2af,l

%一1

故q川=2%,乂q=l,则数列｛4｝是首项为1公比为2的等比数列

则通项公式=2”T,前〃项和S“=—=2"-1

1—2

贝lj$21=2*1+1=2的

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在同一平面直角坐标系中，表示直线点>=6+）与小），=麻-。的图象可能是（）

【答案】AC

【详解】A选项：由乙的图象可知a>(),〃<0,乙经过一、三、四象限，则乙需经过二、三、四象限，故A

选项正确；

B选项：由4的图象可知。>0,占>0,4经过一、二、三象限，则/，需经过一、三、四象限，故B选项错

误；

C选项：由乙的图象可知a<0,人>0,乙经过一、二、四象限，则&需经过一、二、三象限，故C选项正确；

D选项：由4的图象可知〃<0,8<0,乙经过二、三、四象限，则需经过一、二、四象限，故D选项错误；

故选：AC.

10.已知等差数列｛q｝的公差为d,前〃项和为S。，且£=£。<如，则()

A.d<()B.4。=0C.、8<0D.S,>S.

【答案】BCD

【详解】由于59=5。=Sg+%)，所以%=0,B选项正确.

由于S10vS”=$o+4],所以为>0,所以”>(),A选项错误.

由于4>(),〃=0,所以当lW〃49,〃eN"时，%<0,所以Sg>S。=怎+%,D选项正确.

心=巧组x18=9(佝+4。)=9%<。，C选项正确.

故选：BCD

22

11.设椭圆+=1的右焦点为尸，直线)，=〃?(0<〃?<石)与椭圆交于人，B两点,贝I」()

A.|/1刁+忸F|为定值B.产的周长的取值范围是(6/2)

C.当〃?=@时，ZXAB/为直角三角形D.当〃?=1时，AAB尸的面积为不

2

【答案】AB

【详解】解：设椭圆的左焦点为耳，连接AK，由椭圆的对称性得|明|=忸3，

所以|AF|+忸可=|"j+|伍1=6为定值,A正确;

△AB产的周长为IABI+IAFI+IMI,因为14用+1B/|为定值6,

所以|AB|的范围是(0,6),所以A4B尸的周长的范围是(6,12),B正确;

将),=亭与椭圆方程联立，可解得A1-乎，告｝彳孚,*),又因为尸(2,0),

所以,所加(一挈一2)(乎.2)+净=一|<0,即加为钝角,

所以AAA/为钝角三角形，C错误;

将y=l与椭圆方程联立，解得A(-苧,1'］苧,11所以S谢=夫竽乂1=竽，D错误.

故选：AB

12.如图，在长力体ABCD—A5CR中，AD=2A6=2AA=4：七尸,“分别是棱人。,坊6,8。的中点，点

夕在侧面AAOQ内，且8〃=xBE+yB/(苍ytR),则()

B.A.HIBP

C.三棱锥夕-人8厂的体积是定值

D.三棱锥尸-仍尸的外接球表面积的取值范围是［12兀44可

【答案】BCD

【详解】解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

则A(4,0,0),5(4,2,0),石(2,0,0),尸(2,2,2),"(2,2,0),4(4,0,2),〃(0,0,2),

设P(a,O,〃)(OWaW4,OW〃W2),

则8P=(〃-4,一2力),BE=(-2-2,0),BF=(-2,0,2),

因为8P=xBE+yBF(x,yeR),

x=\

得《a=2-2y,所以a=2-〃,

b=2y

0<2-/?<4

则，,得oy

0<Z?<2

DiP=(aAb-2)=(a,0-a\PE=(2-aA-b)=(2-a90,a-2),

当a=2时，PE=。，则RP〃尸石，

当aw2时，则4〃二」一尸则RP〃PB,

2-a

综上，D.P//PE,

所以。,忆七一：点共线，

即点/，的轨迹即为线段。I，

对卜A,AP=yl(a-4)2+b2=V2PTF+4>2,

即AP的最小值是2,故A错误：

对于B,4”=(-2,2,-2),8尸=(〃-4,一2力)，

则4，0=一2〃+8-4一处二一2(2-々)+4-2〃=0,

所以故B正确；

对于C,BF=2>/2»则SAM=§x2x2>/^=2\/^为定值，

由点尸的轨迹即为线段石4，

W.ED,=(-2,0,2).BF=(-2,0,2)=ED,,

所以BF〃ED「

又B/u平面4?歹，ERu平面4g产，

所以ED］，平面AM,

所以点P到平面A8尸的距离为定值，即三棱锥A3产的高为定值,

所以三棱锥夕的体积是定值，故C正确；

又寸丁D,设防的中点为/W,

则在RlBB/中,Rt7外接圆的圆心即为点"，

则三棱锥P-照产的外接球的球心在过点M邑垂直于平面明产的直线上,

设球心为0,0(3,〃?」)，

则8=08,

即+1)-+〃/+(1-=yj\+(/«-2)-+1,所以m=~,

贝|JO8。=I+(〃7-2)2+l=；Z/+/+3,

因为04〃《2,所以04«3,11],

即三棱锥。-”的外接球的半径Re[G,而],

所以三棱锥P-BB.F的外接球表面积的取值范围是[12兀44可，收D正确.

故选：BCD.

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在各项均为正数的等比数列几｝中，出仆=16,则log?%-咋2。=.

【答案】4

【详解】因为数列｛4｝为等比数列，所以6249=仆生3，

乂42%=16,所以=16,

所以1唱％+1唱%3=4〃23=4，

故答案为：4.

14.已知圆(4+1『+()，-2『=9上存在两点关于直线办-办+4=0(1>0乃>0)对称，则/+4//的最小值是

【答案】8

【详解】圆（x+l『+（y-2）2=9上存在两点关于直线奴-办+4=0（稣0/>0）对称，

所以直线过圆心，有-a-2力+4=0,即。+2方=4,a2+4b2=a1+（2b）2>2-a-2b=4ab,

当且仅当a=»,即a=2,b=l时等号成立.

・•・16=（a+2/?）2=a2+4b2+4ab<a2+4b2+a2+4b2,即a2+4b2>S，

所以a=2,人=1时，/+4从的最小值为义

故答案为：8.

15.如图，已知四棱柱ABC。-A8GA的底面为平行四边形，=AF=^-AD,AG=2G\,

DJ

AM

AG与平面EPG交于点M,则丁=.

/'ILxI

【详解】解：由题设AM=/MG（O<U<1）,

因为AG=A8+AO+M=3AE+3AF+^AG,

3

所以4W=32AE+3/UF+,

又因为M,E,F,G四点共面，

所以3/t+34+|/l=l,

2

解得%

故答案为：

16.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面.上到两定点A,8的距离之比为常数4（%>0,/1¥1）的点的轨迹是一

个圆心在直线A8上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体ABC。-A4GA中，A8=24O=2AA=6,

点E在棱A8上，BE=2AE,动点P满足=若点P在平面48C。内运动，则点P对应的轨迹的

面积是___________;尸为GQ的中点，则三棱锥P-MCF体积H勺最小值为.

【答案】12兀y-3x/6

【详解】分别以ABMDe为x,y,z轴建系，设P(x,y,0),而3(6,(),()),E(2,Q0).4(6,0,3),

。(6,3,0),尸(3,3,3).

一

AEBx

由8P=&E，有J(x—6)2+()，—0产+(0_o)2=6*J(x—2>+(y—0)2+(0-0)2，化简得〃对应的轨迹方程为

f+V=12.所以点P对应的轨迹口勺面积是4•(26)2=124.

易得△gC”的三个边B}C=BF=CF=3丘

即△BQ/是边长为为3丘的等边一:角形，其面积为竽，

CB,=(0,-3,3),CF=(-3,0,3),设平面瓦。尸的•个法向量为〃=(x,y,z),

则有{2C可取平面与CF的一个法向量为”=(山)，

根据点P的轨迹，可设尸(26COS8,2Gsine,O),

CP=(26cos6-6,2百sin6-3,0),CPn=2y/3cos0+2石sin6一9,

I2\/6s\v\o{0+——9t—

所以点P到平面B.CF的距离d_|C尸叫_II9-246,

H-G-73

所以y=』S/?=1S〃之幺一3几.

332

故答案为：124；y-376

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步果。

17.如图，在楂长为1的正方体A8CQ-A4CQ中，£为线段。。的中点，尸为线段84的中点.

(1)求直线FC、与直线四石的所成角的余弦值;

(2)求点尸到平面A3卢的距离.

【答案】(1)4

【洋解】(1)建立如图所示空间直角坐标系，

\**/\/

设直线FC,与直线同E的所成角为巴

FG%E

所以cos。=

|明|•屏——X—

22

(2)/(1,1g),片(1，1),尸耳=(0.0,1,

2

4(1,0,0),£^0,0,11^=[-1,0^1^,=(0,1,1),

设平面AB|E的法向量为〃=(x,y,2),

AZ-AE=-x+—z=0

2故可设〃=。,-2,2).

nA3[=y+z=0

设F到平面48道的距离为d,

G

18.古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比

为定值M归0且埠1)的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.己知点4(0,6),8(0,3)、

动点M满足犒=3，记动点M的轨迹为曲线C

(1)求曲线C的方程；

(2)过点M。、4)的直线/与曲线C交于P,Q两点,若尸为线段NQ的中点，求直线/的方程.

【答案】⑴/+()」7)2=4

二4

(2)y=±

3

/、41MAi1Jx2+(y-6)2|

【详解】(1)设例(尤丁)，由点A(0，6),8(0,3)、动点M满足=彳得/,=彳，两边平方

\MB\2次+()，-3)22

化简得:x2+y2-14y+45=0,

故曲线C的方程/+()，—7『=4

(2)当首线/无斜率时：此时百.线与圆相交P,。两点,则尸((\5).Q(0⑼或者Q(().5),尸(0.9).均不符合尸

为线段NQ的中点，

当直线/有斜率时；设/.•、=依+4,

y=kx+4

联立直线与圆的方程,化简得(1+&2卜2—6辰+5=0,

x2+(y-7)2=4

△二36公一20(1+公)=16公一20>0,故/

ALS

设。(/)。。(七,必)，则占+内=1^,'-①

1I入i十t\

x,+0

"2k2_5

若P为线段NQ的中点，则,，所以W=2»,将其代入①中得：^=7-7%"2(")进而

V,+4I+K

满足小,

所以％=±半，因此/的方程为）:=±半1+4

19.已知椭圆。:=+与=1（4>〃>0）的焦距为26，设椭圆的上顶点为8,左右焦点分别为£、入，且.耳叫

crb-

是顶角为120的等腰三角形.

⑴求椭圆C的标准方程；

（2）已知M,N是椭圆。上的两点，以椭圆中心。为圆心的圆的半径为半，旦直线MN与此圆相切.证明：以

M/V为直径的圆过定点0.

【答案】（1）《+），=1

4

（2）证明见解析

2c=26

【详解】（1）由题意可知|&=tan30=£,

c3

a2=b2+c2

解得a=2,2=1

所以椭圆C的标准方程—+/=1.

4

（2）①当直线MN垂直于x轴时，不妨设M=-，=-，NE-，一=-

V7k

此时QWON=0，

:.OMLON,

故以MV直径的圆过定点。；

②当直线MN不垂直于x轴时，

设直线MN的方程为），=京+"1,M（x,,y）N（电,/），

因为直线与圆。相切,

所以。到直线MN的距离-}===竺

即5评一4,2—4=0,

y=kx+m

由正,可得（软2+1卜2+8,,依+4〃Z2-4=°，

-4+V=

-8mk_4"尸-4

所以为+占=必2+1'**2-4公+1

OMON=.£上+ytyz=.rrv2+（上。+，，）（左q+

(F+1)x}x2+k/n(%+多)+

(「(4m1-4]<—8mk、

A+km+"

W+L

3、4m2-4]'—8mk、

+km+〃厂

<4^+1；

5ni2-4k2-4八

=--------；--------=C

4产+1

所以OMON=0,

即OM_LOM

故以MN为直径的圆过定点O,

综上所述：以MN为宜径的圆过定点0.

20.已知数列｛%｝的前〃项和为S“.S”=2a”一3〃.

⑴求数列｛%｝的通项公式勺；

4+3,〃为正偶数

(2)若々=(=4+d+4++%,求%;

2/2-1,〃为正奇数

⑶记C.=2唾2(等•)+]，若数列｛%｝中去掉数列｛4｝中的项后余下的项按原来的顺序组成数列｛4｝,求

4+4++4)0的值.

【答案】⑴凡=32-3

(2)4194531

(3)42522

【详解】(1)由S。=2勺-3〃,当〃=1时，$=4=2q-3,解得4=3,

当〃之2时，Srt.1=2^.1-3(n-l),两式作差得⑸=2〃“—21-3；

即%=2al+3,凡+3=2(%+3),

所以数列｛q+3｝为等比数列，公比为列所以勺+3=(q+3>21=32,

所以数歹U｛4｝的通项公式凡=3⑵-3.

,一优+3,〃为正偶数,山(3・2”，〃为正偶数

2〃-1,〃为止奇数〃为正奇数

所以弓=(伉+4++%)+(%+“++%,)

二(1+41)x11+34(1-4)=4"—4+23]=4"+227=4194531；

21-4

(3)%=21og2(^^[+l=2〃+lq=3-(2"T，

因为q=3g=9,%=21,q=45,%=93q=189必=381<c200=401,

所以4+4+…+"200=(0+62++0207)-(4+%++%)

=(3+4⑸x207_g+21=42522.

21-2

21.如图，已知四棱锥A8co的底面是平行四边形，侧面是等边三角形,

⑴求CP与平面ABCD所成角的正弦值；

(2)设Q为侧楂上一点，四边形8EQ尸是过江Q两点的截面，且AC"平面6EQF,是否存在点Q,使得

平面8田2产_L平面A4Q?若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由.

【答案】(1)手

?

⑵在侧棱P。上存在点。且当。。=］。尸时，使得平面BEQFJ_平面PAD.

【详解】(1)证明：取棱A4长的一半为单位长度.

则在，ABC中，AB=2,BC=4,Z,4fiC=60°,根据余弦定理，

得AC?=AB2+BC2_2AB•BCcos60。=4+16-16x-=12

2

得AC=2X/5,AB1+AC2=liC1ABVAC.

又P8_LAC,PBCAB=B,尸8u平面PAA,A8u平面出从故AC_L平面PAB.

乂ACu平面4ACO,AC_L平面PAB,则平面人8。。_L平面/MB.

取AB中点H,连接尸”，CH.

因是等边三角形，则""_LA&又P”u平面PA8,

平面ABCD0平面/MB=A3.平面ABC。J_平面PAB,故P〃_L平面ABCD.

得NPCH是CP与平面/1BCO所成的角.

在直角三角形中，PH=5

CH=yjAH2+AC2=\l\+12=而，此=4.

故sinNPCH=曳=叵,即为所求.

PC4

（2）假设存在点Q,使得平面BEQF_L平面PAD.

如图，以A为原点，分别以ABAC为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz,

则A（0,0,0）,8（2,0,0）,D（-2,2y/3,0）,P（1,0,石），

AD=（-2,2瓜0卜AP=（1,0,4BD=（-4,20,0）,DP=（3,-2后出）,

设％=(.%y,zj是平面PA。的法向量，则

fn-,-AD=-2x.+2>/3y.=0((-\

1

'r'，取〃i=&，1,7.

[n}-AP=X]+V3Z]=0''

设。Q=入DP，其中OW/IW1.

则BQ=BD+DQ=BD+入DP=02-4,243-2区,向)

连接ER因AC〃平面&TQF,ACu平面PAC,T;®PACC\'P®BEQF=EF,

故AC〃石F,则取与EF同向的单位向量J=（0,1,0）.

设的=（%,%,Z2）是平面BEQ厂的法向量，