物理实验 误差分析与数据处理

目录

^熹分析⑨敢据处理............................................................2

」测量与误差......................................................................2

2误差的处理......................................................................6

3不确定度与测量结果的表示.......................................................10

4实验中的错误与错误数据的剔除...................................................13

5有效数字及其运算规则...........................................................15

6实验数据的处理方法.............................................................17

习题..........................................................................25

安空孤差分析幺数弱处理

1测量与误差

1.1测量及测■的分类

物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证物理原理都需要

进行测量。麻宿涮拿,‘日亮意得曲而乐施直耳二流速柬柞为标港而向亲船4行必也;落山为打

而宿救亲索而过理。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测

量值等于测量数值与单位的乘积。

在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多

不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和大等。为了便于国际交流，国际计量

大会于1990年确定了国际单位制(SI),它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎

德拉作为基本单位，其他物理量(如力、能量、电压、磁感应强度等)均作为这些基本单位的导

出单位。

1.直接测量与间接测量

测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单

位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长

度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测

量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。如单

摆测量重力加速度时，需先直接测量单摆长/和单摆的周期八再应用公式g=专，求得重力

加速度g。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直

接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才

能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行

操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。

2.等精度测量与不等精度测量

同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测

量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只

能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度

测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在

物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格

地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当其一条件的变化对测量结果的影响不

大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。

1.2误差及误差的表现形式

1.误差

物理量在客观上有着确定的数值，称为真值。测量的最终目的都是要获得物理量的真值。

但由于测量仪器精度的局限性、测量方法或理论公式的不完善性和实验条件的不理想，测量人

员不熟练等原因，使得测量结果与客观真值有一定的差异，这种差异称之为误差。若某物理量

测量的量值为X,真值为A，则产生的误差?不为：

?x=x-A

任何测量都不可避免地存在误差。在误差必然存在的条件下，物理量的真值是不可知的。所以

在实际测量中计算误差时，通常所说的真值有如下几种类到：

（1）理论真值或定义真值。如用平均值代替真值，三角形内角何等于180°等。

（2）计量约定真值。如前面所介绍的基本物理量的单位标准，以及国际大会约定的基本物

理量。

（3）标准器相对真值（或实际值）。用比被标准过的仪器高一级的标准器的量值作为标准

器相对真值。例如：用0.5级的电流表测得某电路的电流为1.200A,用0.2级电流表测得的电流

为1.202A,则后者可示为前者的真值。

2.误差的表示形式

误差的表示形式有绝对误差和相对误差之分。绝对误差是测量值和真值的数值之差：

?=x-A（1-1）

根据绝对误差的大小还难以评价•个测量结果的可靠程度，还需要考虑被测量本身的大

小，为此引入相对误差，相对误差七定义为绝对误差？与被测量量的真值x的比值，即：

E=-xl00%（1-2）

x

相对误差常用百分比表示。它表示绝对误差在整个物理量中所占的比重，它是无单位的一

个纯数，所以既可以评价量值不同的同类物理量的测量，乜可以评价不同物理量的测量，从而

判断它门之间优劣。

如果待测量有理论值或公认值，也可用百分差来表示测量的好坏。即：

百分差与=型甥料U叽（.-3）

公认值

1.3误差的分类

既然测量不能得到真值，那么怎样才能最大限度的减小测量误差并估算出误差的范围比？

要解决这个问题，首先要了解误差产生的原因及其性质。测量误差按其产生的原因与性质可分

为系统误差、随机误差和过失误差。

1.索统银亲

在一定条件下（指仪器、方法和环境）对同一物理量进行多次测量时，其误差按一定的规律

变化，测量结果都大于真值或都小于真值。系统误差产生的原因可能是已知的，也可能是未知

的。产生系统误差的原因主要有：

（1）由于仪器本身存在一定的缺陷或使用不当造成的。如仪器零点不准、仪器水平或铅直

未调整、砧码未校准等。

（2）实验方法不完善或这种方法所依据的理论本身具有近似性。例如用单摆测量重力加速

度时，忽略空气对摆球的阻力的影响，用安培表测量电阻时，不考虑电表内阻的影响等所引入

的误差。

（3）实验者生理或心理特点或缺乏经验所引入的误差。例如有人读数时，头习惯性的偏向

一方向，按动秒表时，习惯性的提前或滞后等。

2.随抗镇亲

同一物理量在多次测量过程中，误差的大小和符号以不可预知的方式变化的测量误差称为

随机误差，随机误差不可修正。随机误差产生的原因很多，归纳起来大致可分为以下两个方

面：

（1）由于观测者在对准目标、确定平衡（如天平）、估读数据时所引入的误差。

（2）实验中各种微小因素的变动。例如，实验装置和测量机构在各次调整操作上的变动

性，实验中电源电压的波动、环境的温度、湿度、照度的变化所引起的误差。

随机误差的出现，单就某一次观测来说是没有规律的，其大小和方向是不可预知的。但对

某一物理量进行足够多次测量，则会发现随机误差服从一定的统计规律，随机误差可用统计方

法进行估算。

1.4测量的精密度、准确度、精确度

我们常用精度反映测量结果中误差大小的程度。误差小的精度高，误差大的精度低，这里

精度却是一个笼统的概念，它并不明确表示描写的是哪一类误差，为描述更具体，我们把精度

分为精密度、准确度和精确度。

1.精密度

精密度表示测量结果中的随机误差大小的程度。它是指在一定条件下进行重复测量时，所

得结果的相互接近程度。它用来描述测量得重夏性。精密度高，即测量数据得重复性好，随机

误差较小。

图1-1测量的精密度、准确度、精确度图示（以打靶为例）

2.准确度

准确度表示测量结果中系统误差大小得程度。用它来描述测量值接近真值得程度。准确度

高，即测量结果接近真值得程度高，系统误差小。

3.精确度

精确度是对测量结果中系统误差和随机误差的综合描述。它是指测量结果的重复性及接近

真值的程度。

为了形象地说明这三个概念的区别和联系，我们以打靶为例说明（图：

（i）精密度高而准确度较差；

<ii）准确度高而精密度较差；

（iii）精密度和准确度都很高，即精确度很高。

2误差的处理

误差的产生有其必然性和普遍性，误差自始至终存在于一切科学实验中，一切测量结果都

存在误差。本节主要介绍上述两类误差的处理方法。

2.1系统误差

一个实验结果的优劣，往往在于系统误差是否已经被发现或尽可能消除，所以预见一切可

能产生的系统误差的因素，并设法减小它们是非常重要的。­般而言，对于系统误差可以在实

验前对仪器进行校准，对实验方法进行改进，在实验时采取一定的措施对系统误差进行补偿和

消除，实验后对结果进行修正等。

系统误差的处理是一个比较复杂的问题，它没有一个简单的公式，主要取决于实验者的经

验和技巧并根据具体情况来处理。从实验者对系统误差掌握的程度来分，又可分为已定系统误

差和未定系统误差两类。

1.已定系统误差

已定系统误差是指绝对值和符号都已确定的，可以估算出的系统误差分量。例如：对一个

标准值为50亳克的三等祛码，就无法知道该硅码的误差值是多少。只知道它对测量结果造成的

未定系统误差限为±2mg,但如果在使用前用高一级的袪码进行校准，就可得到已定系统误差

得值。

2.未定系统误差

未定系统误差是指符号或绝对值未经确定的系统误差分量。例如，仪器出厂时的准确度指

标是用符号?仪表示的。它只给出该类仪器误差的极限范围。但实验者使用该仪器时并不知道该

仪器的误差的确切大小和正负，只知道该仪器的准确程度大会超过?仅的极限（例如上面所举祛码

中的±2mg）。所以这种系统误差通常只能定出它的极限范围，由于不能知道它的确切大小和正

负，故无法对其进行修正。对于未定系统误差在物理实验口我们一般只考虑仪器测量仪器的（最

大）允许误差?仅（简称仪器误差）。

2.2随机误差的估算

随机误差的特点是随机性。也就是说在相同条件下，对同一物理量进行多次重复测量，每

次测量的误差的大小和正负无法预知，纯属偶然。但是实践和理论证明，如果测量次数足够多

的话，大部分测量的随机误差都服从一定的统计规律。本书只着重介绍随机误差的正态分布。

1.正态分布的特征与数学表达

遵从正态分布的随机误差有以下几点特征:

(1)单峰性。绝对值大的误差出现的可能性（概率）比绝对值小的误差出现的概率小。

(2)对称性。绝对值相等的正负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧。

(3)有界性。在一定的条件卜，误差的绝对值不会超过一定的限度。

(4)抵偿性。当测量次数很多时，随机误差的算术平均值趋于零，即处Z"=o

r=l

正态分布的特征可用正态分布曲线形象地表达。如图2-1所示。

横坐标表示误差?=xi-xo式中即为被测量量的真值，纵坐标为一个与误差出现的概率有

关的概率密度函数/（?）。根据概率论的数学方法可以导出：

(2-1)

(b)

图2-1概率密度函数曲线图

测量值的随机误差出现在？至IJ?+d?区间内可能性为即图(a)中阴影所含的面

积元。上式中？是一个与实验条件有关的常数，称为标淮锭亲，其值为:

(2-2)

式中〃为测量次数，8次测量的随机误差为4,i=1,2…〃。

2.标准误差的物理意义

由式2-1可知，随机误差的正态分布曲线的形状与？值有关，如图(b)所示，？值越小，

分布曲线越尖锐，峰值/(?)越高，说明绝对值小的误差占多数，且测量值的离散性较小，重

复性好，测量精密度较高：反之？值越大，则曲线越平坦，该组测量值的离散性大，测量精密

度低。标准误差反映了测量值的离散程度。

由/(b)db是测量值随机误差出现在小区间(5S+d3)的可能性(概率)，即〃次测量

值误差出现在(-CF.+O-)内的概率为：

p(-<j<B<er)=J/⑹dS=J——e2bds=68.3%(2-3)

这说明对任一次测量，其测量值误差出现在7到+?区间内的概率为6g.3%。从概率

密度分布函数的曲线图来看：设曲线下面积为1即100%，则介于(~a,+a)间的曲线下的面

积为68.3%o用同样的方法计算可得介于(-25+20)间的概率为95.5%,介于(-3。,+女T)

间的概率为99.7%。显然，测量误差的绝对值大于3?的概率仅为0.3%.在通常情况下的有限

次测量测量误差超出±3?范围的情况几乎不会出现，所以把37称为极限误差。

3.近真值一算术平均值

尽管一个物理量的真值是客观存在的，但由于误差的存在，企图得到真值的愿望仍然不能

实现。那么是否能够得到一个测量结果的最佳值，或者说得到一个最接近真值的数值呢？根据

随机误差具有抵偿性特点，我们可以求得真值的金隹余讣值一一近真值。

设在相同条件下对一个物理量进行多次没量，测量值分别为七,々，与，…，£，则该没量值

的算术平均值：

In

J=—Vx.(/=1,2,3,)(2-4)

〃r=l

而各次测量的随机误差为：

式中回为真值，K为第，次测量值，对〃次测量的绝对误差求和有：

等式两边各除以〃可得：

当测量次数〃T8由随机误差具有抵偿性的特点，所以有：

故根据以上推导可得：

由此可知，测量次数愈多，算术平均值接近真值的可能性愈大。当测量次数足够时，算术

平均值是真值的最佳估计值。

2.3标准误差的估算一标准偏差

由于真值不知道，误差？无法计算，因而按照式2-2标准误差？也无从估算。根据算术平

均值是近真值的结论，在实际估算误算时采用算术平均值代替真值，用各次测量值与算术平均

值的差值匕=为一元来估算各次测量的误差，差值称为极套。当测量次数〃有限时，如用残差

来表示误差时，其计算公式为：

S,称为任一次测量的标准偏差，它是测量次数有限多时，标准误差的一个估计值。其代表

的物理意义为：如果多次测量的随机误差遵从正态分布，那么，任一次测量的测量值误差落在

-S,到+S,区域之间的可能性（概率）为68.3%.通过误差理论可以证明，平均值元的标准偏差

为:

23-元）2

57=i=l（2-6）

〃（〃一1）

上式说明算术平均值的标准偏差是〃次测量中的任意•次测量值标准偏差的1

忑SjJ、于

S',因为算术平均值是测量结果的最佳值，它比任意一次测量值为更接近真值，所以双差要

小。SF的物理意义是在多次测量的随机误差遵从正态分布的条件下，真值处于上士S,区间内的

概率为68.3%。

3不确定度与测量结果的表示

3.1测■不确定度

由于测量误差的存在，难以确定被测量的真值。测量不确定度是与测量结果相关联的参

数，它表征测量真值在某一个量值范围内不能泞定程度的一个估计值。也就是说不确定度是测

量结果中无法修正的部分，反映了被测量的真值不能肯定的误差范围的一种评定，测量不确定

度包含A类标注木确定鹿和B夹底淮木病比鹿。

1.A类标准不确定度

由于偶然因素，在同一条件下对同一物理量X进行多次重复测量值玉,电，43,…，Z，将是分

散的，从分散的测量值出发用统计的方法评定标准不确定度，就是标准不确定度的A类评定。

设A类标准不确定度为u/j),用统计的方法算出平均值的标准偏差为S,,不确定度的A类分

量就取为平均值的标准偏差，即:

E区-工)

j-l

uW=(3-1)

n(n-1)

按误差理论的正态分布，如不存在其他影响，则测量值范围11八(幻］中包含

真值的概率为68.3%。

2.B类标准不确定度.

测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度。在实际计算时，有的依据计

量仪器的说明书或鉴定书，有的依据仪器的准确度，有的则粗略的依据仪器的分度值或经验，

从中获得仪器的极限误差，?«(或允许误差或示值误差)此类误差一般可视为均匀分布，则B

类评定不确定度为：

△仪、

uB(x)=(3・2)

例：使用量程为0—300mm,分度值为0.05mm的游标卡尺，测量长度时，其示值误差在

±0.05mm以内，即极限误差为？w=0.05mm,则由此游标卡尺引入的标准不确定度口■工)

为：

3.合成标准不确定度

(I)直接测量结果不确定度的估算

物理实验的测量结果表示中，总不确定度u(x)的估算方法行为两类，即多次重重测量用

统计方法算出的A类分量u八(x)和用其它方法估算出的B类分量Us。)。用方和根的方法合成

为总不确定度u(x)：

u(x)=Ju：(x)+u；(x)(3-3)

例：已知游标卡尺。佚=0.005cm)的初始读为0.05cm,测量圆环内径数据如下表所示,试

求其测量的不确定度。

测量次数123456

d(cm)3.2553.2503.2603.2553.2503.255

计算出：

则零点修正后：

所以有：

(2)间接测量不确定度的估算

物理实验的结果一般都通过间接测量获得的，间接测量是以直接测量为基础的，直接测量

值不可避免地有误差存在，显然由直接测量值根据一定的函数关系，经过运算而获得的间接测

量的结果，必然也有误差存在。怎样来计算间接测量的误差呢？这实质上是要解决一个误差的

传递问题，即求得估算间接测量值误差的公式，称为误差的传递公式。

设间接测量量N是〃个独立的直接测量量A、B、C,H的函数，即

N=f(A,B,C,…，H)

若各直接测量值A、B、C,H的不确定度分别为以(■),u(B),u(C),u(H),

它们使N值也有相应的不确定度u(N),由于不确定度都是微小量，相当于数学中的“增量”，

囚此间接测量的不确定度公式与数学中的全微分公式基本相同，利用全微分公式，则间接测量

的不确定度：

如果先对函数表达或取对数，再求全微分可得:

当间接测量量N是各直接测量量A、B、C,…，”的和或差的函数时，则用(3-4)式计算

较为方便，当间接测量量N是各直接测量量八、B、C,〃的积或商的函数时，则用(3-4)

式先计算N的相对不确定度也，然后再计算u(N)比较方便。

N

在一些简单的测量问题中，有时要求不需太精确的测景问题中可以用绝对值合成方法，即

+%u(8)+且u(C)+...+义u(H)

MN)啜"A)(3-6)

oBdedH

u(N)_

++挈u©+…+(3-7)

NdAdBdCdH

当然这种绝对值合成的方法所得结果一般偏大。与实际的不确定度合成情况可能也有较大

出入。但因其计算比较简，在要求不高，作粗略做算时，往往采用绝对值合成法，但在科学实

验中，一般都采用“方和根”合成来计算间接测量结果的不确定度，常用函数的方和根合成与

绝对值合成公式见下表：

函数表达式方和根合成公式绝对值合成公式

N=AXB、N=A

B

N=KA（K为常数）

3.2测量结果的一般表示

一个完整的测量的结果不仅要给出该量值的大小（数值和单位）同时还应给出它的不确定

度。用不确定度来衣征测量结果的可信赖程度，丁是测量结果应写成下列标准形式：

式中工为测量值的最佳估计值，对等精度多次测量而言，工为多次测量值的算术平均值，u

（X）为不确定度，Ur为相对不确定度。

4实验中的错误与错误数据的剔除

实验中有时会出现错误，尽早发现实验中的错误是实验得以顺利进行的前提保障，数据分

析就是发现错误的重要方法。

例1：三次单摆摆50个周期的时间,得出98.4s,96.7s,97.7s。从数据可知摆的周期接近

2s,但前面两个数据相差17s,而后两个相差1.0s,它们都在半个周期以上，显然这样大的差异

不能用手按稍表稍或滞后的操作误差去解释，即测量有误差。

例2：用静力称衡法测一块玻璃的密度？，所用公式为夕=」一。，式中叩=5.78g为

网-m2

玻瑞质量，”n=4.77g为玻病悬挂在水中的质量.这次测量显然有错误，因为在此如与心之差

近似为1g;?值接近6g/cn?,没有这样大密度的玻璃。

4.1拉依达判据

在一组数据中，有一、二个稍许偏大或偏小的数值，如果简单的数据分析不能判定它是否

为错误数据，就要借助于误差理论。在前面标准误差的物理意义中已提到对于服从正态分布的

随机误差，出现在土？区间内概率为68.3%,与此相仿，同样可以计算，在相同条件下对某一

物理量进行多次测量，其任意一次测量值的误差落在-3?到+3?区域之间的可能性(概率)

为：

PJ3B3B)='/(Ar)JAr=99.7%(4-1)

如果用测量列的算术平均替代真值，则测量列中约有99.7%的数据应落在f±35区间内，

如果有数据出现在此区间之外，则我们可以认为它是错误数据，这时我们应把它舍去，这样以

标准偏差&的3倍为界去决定数据的取舍就成为一个剔除坏数据的准则，称为拉依达准则。但

要注意的是数据少于10个时此准则无效。

4.2格罗布斯判据

对于服从正态分布的测量结果，其偏差出现在±3?附近的概率已经很小，如果测量次数

不多，偏差超过±3?几乎不可能，因而，用拉依达判据剔除疏失误差时，往往有些疏失误差

剔除不掉。另外，仅仅根据少量的测量值来计算？，这本身就存在不小的误差。因此当测量次

数不多时，不宜用拉依达判据，但可以用格罗布斯判据。按此判据给出一个数据个数〃相联系

的系数Gn，当已知数据个数〃，算术平均值工和测量列标准偏差则可以保留的测量值M的

范围为

(4-2)

G”系数表

N345678910II1213

G„1.15i.461.671.821.942.032.112.182.232.282.33

N14151617181920222530

G„2.372.412.442.482.502.532.562.602.662.74

也可用拟合式计算G”值

G“Jn(〃—2.65)+]Jos

n<30时取

2.31

In(〃-3)

n>30时取G'=+1.36---

2.30550

例：测得一组长度值1单位：cm)

98.2898.2698.2498.2998.21

98.3098.9798.2598.2398.25

计算出：

数据98.97在此范围之外应舍去。舍去后再计算有

5有效数字及其运算规则

5.1有效数字

在物理量的测量中，测量结果都是存在一定的误差，这些值不能任意地取舍，它反映出测

量量的准确程度。如何科学地，合理地反映测量结果，这就涉及到有效数字的问题。有效数字

在物理实验中经常使用。什么是有效数字，有效位数如何确定，有效数字的运算规则有什么不

同，在用有效数字表示测量结果时，如何与误差联系起来。可以说，误差决定有效数字。例

如：实验测得某一物理量，其测量列的算术平均值为1=1.674cm,算得其不确定度u(x)=

0.04cm„从u(.V)数值中可知，这一组测曷量在小数点后面第二位就已经有误差，所以工等于

1.674中“7”已经是有误差的可疑数，表示结果工时后面一位“4”已不必再写上，上述结果正

确的表示应为x=1.67±0.04cm。也就是说，我们表示测量结果的数字中，只保留一位可疑数，

其余应全部是确切数。

有效数字的定义为：有效数字是由若干位准确数和一位可疑数构成。这些数字的总位数称

为有效数字。

一个物理量的数值和数学上的数有着不同的意义。例如在数学上0.2500m=25.00mm。但在

物理测量上0.2500mW25.000cm。因为0.2500的有效位数是四位，而25.000cm的有效位数是五

位。实际上，这两种不同的写法表示了两种不同精度的测昼结果。所以在实验中记录数据时，

有效数字不能随意增减。

5.2有效数字运算规则

有效数字的正确运算关系到实验结果的精确表达，由7运算条件不•样，运算规则也不•

样。

1.四则运算

四则运算，一般可以依据以下运算规则：①参加运算的各数字可以认为仅最后一位数码是

有误差的，其他位的数码是无误差的；②无误差的数码间的四则运算结果仍为无误差数码；③

有误差的数码参加四则运算结果有误差的数码，进位和借位认为是无误差数码；④最后结果按

四舍五入法仅保留一位有误差数码。

(1)加减法

[例I]5.345+30.2

(数字下面是指误差所在位的数码)

取：5.345+30.2=35.5

[例2]35.48-20.3

取:35.48-203=15.2

(2)乘除法

[例1]4.178x10.1

取:4.178x10.1=42.2

[例2]482164-123

取：48216^-123=392

用以上竖式才能得到计算结果的四则运算，对我们来讲，不现实，为了提高运算速度，又

保证一定精度的误差估计，可把上面加减运算和乘除运算分别总结为如卜运算规则：

1）加搬注病算庭血：若干项加减运算时，仍然按正常运算进行；计算结果的最后一位，应

取到与参加加减运算各项中某项最后一位靠前的位置对齐。

如3.14+1056.73+103-9.862=1153参加运算的各项最后一位最靠前的是103的个位,其

计算结果的最后一位就保留在个位上。

2）泉康束/竟琬血：计算结果的有效数字位数保留到与参加运算的各数中有效数字位数最

少的位数相同。

如2.2x3.902+3.456?=30,参加运算的2.7有效数字是两位，为最少，计算结果也就取

两位。这一规则在绝大多数情况下都成立，极少数情况下，由于借位或进位可能多一位或少一

位。如0.9§乂1.!=1.03就多一位。

2.函数运算有效数字取位

函数运算不像四则运算那样简单，而要根据误差传递公式来计算。

［例］已知x=56.7,y=Inx,求y«

因x的有误差位是十分位上，所以取？x20.1,利用误差传递公式与。，*）回去估计），

的误差位△），='=£L。0.002,说明y的误差位在千分位上，故），=hu=ln56.7=4.038。

x56.7

由上可知函数运算有效数字取位的规则：已知x,计算y=/（x）时，取?x为x的最后一位

的数量级，利用误差传递公式△），=|广。）|纨估计y的误差数码位置，），的计算结果最后一位对

应？），的那个位置。

6实验数据的处理方法

测量获得了大量的实验数据，而要通过这些数据来得到可靠的实验结果或物理规律，则需

要学会正确的数据处理方法。本节将介绍在物理实验中常月的列表法、作图法、逐差法和最小

二乘法等数据处理的基本方法。

6.1列表法

在记录和处理实验测量数据时，经常把数据列成表格，它可以简单而明确地表示出有关物

理量之间的对应关系，便于随时检查测量结果是否正确合理，及时发现问题，利于计算和分析

误差，并在必要时对数据随时杳对.通过列表法可有助于找出有关物理量之间的规律性，得出

定量的结论或经验公式等。列表法是工程技术人员经常使月的一种方法。

列表时，一般应遵循下列规则

(1)简单明了，便于看出有关物理量之间的关系，便于处理数据。

(2)在表格中均应标明物理量的名称和单位。

(3)表格中数据要正确反映出有效数字。

(4)必要时应对某些项目加以说明，并计算出平均值、标准误差和相对误差。

例用千分尺测量钢丝直径，列表如下：

初读数未读数直径Diu(D)

次数(mm)U

(mm)(mm)(mm)(mm)r

10.0022.1472.145

20.0042.1482.144

30.0032.1492.146

2.1450.0010.06%

40.0012.1452.144

50.0042.1492.145

60.0032.1472.144

6.2作图法

物理实验中所得到的一系列测量数据，也可以用图线直观地表示出来，作图法就是在坐标

纸上描绘出一系列数据间对应关系的图线。可以研究物理昼之间的变化规律，找出对应的函数

关系，求经验公式的常用方法之一。同时作好一张正确、实用、美观的图是实验技能训练中的

一项基本功，每个同学都应该掌握。

1.图示法

物理实验所揭示的物理量之间的关系，可以用一个解析函数关系来表示，也可以用坐标纸

在某一坐平面内由一条曲线表示，后者称为实验数据的图形表示法，简称图示法。

图示法的作图规则如下：

(1)选取坐标纸

作图一定要用坐标纸，根据不同实验内容和函数形式无选取不同坐标纸，在普物实验中最

常用的是直角坐标纸。再根据所测得数据的有效数字和对测量结果的要求来定坐标纸的大小，

原则上是以不损失实验数据的有效数字和能包括所有实验点作为选择依据，•般图上的最小分

格至少应是有效数字的最后一位可靠数字。

(2)定坐标和坐标标度

通过以横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。写出巨标轴所代表的物理量的名称和单

位。为了使图线在坐标纸上的布局合理和充分利用坐标纸，坐标轴的起点不一定从变量的“0”

开始。图线若是直线，尽量使图线比较对称地充满整个图纸，不要使图线偏「一角或一边，为

此，应适当放大(或缩小)飒坐标轴和横坐标轴的比例。在坐标轴上按选定的比例标出若干等距

离的整齐的数值标度，标度的数值的位数应与实验数据有效数字位数一致。选定比例时，应使

最小分格代表“I”、“2”或“5”，不要用“3”、“6”“7”、“9”表示一个单位。因为这

样不仅使标点和读数不方便，而且也容易出错。

(3)标点

根据测量数据，找到每个实验点在坐标纸上的位置，月铅笔以“X”标出各点坐标，要求

与测量数据对应的坐标准确地落在“X”的交点上。一张图上要画儿条曲线时，每条曲线可用

不同标记如“+”、等以示区别。

(4)连线

用直尺、曲线板、铅笔将测量点连成直线或光滑曲线，校正曲线要通过校正点连成折线。

因为实验值有一定误差，所以曲线不一定要通过所有实验点，只要求线的两旁实验点分布均匀

且离曲线较近，并在曲线的转折处多测几个点，对个别偏禺很大的点，要重新审核，进行分析

后决定取舍。

(5)写出图纸名称

要求在图纸的明显位置标明图纸的名称，即图名、作者姓名、日期、班级等。

2.图解法

图解法就是根据实验数据所作好的图线，用解析法找U相应的函数形式，如线性函数，二

次函数、辕函数等，并求出其函数的参数，得出具体的方程式。特别是当图线是直线时，采用

此法更为方便。

(1)直线图解法

①取点

在直线上任取两点A(X1，＞'|),B(X2,)，2)，其坐标值最好是整数值。用“？”符号表示所

取的点，与实验点相区别。一般不要取原实验点。所取两点在实验范围内应尽量彼此分开一

些，以减小误差。

②求斜率k

在坐标纸的适当空白的位置，由直线力程丁=心+力，马出斜率的计算公式：

k=^^~(6-1)

将两点坐标值代入上式，写出计算结果。

③求截距〃

如果横坐标的起点为零，其截距〃为x=0时的y值，其直线的截距即由图上直接读出。如

果起点不为零，可由下式求出截距：

人=上上二至1(6-2)

例：己知电阻税的阻值R与温度，的关系为：

其中R。、〃是常数。现有一电阻丝，其阻值随温度变化如卜.表所示。请用作图法作R-f直线，并

求Ro、&仪的值。

((℃)15.020.025.030.035.040.045.050.0

R(Q)28.0528.5229.1029.5630.1030.5731.0031.62

解：由上表可知

max=50.0-15.0=35.0(℃)

1.62—28.05=3.57(Q)

即温度/的变化范围为35C,而电阻值次的变化范围为3.57Q。根据坐标纸大小的选择原

则，既要反映有效数字又能包括所有实验点，选40格X40格的图纸。取自变量/为横坐标，起

点为10C,每一小格为1℃；因变量A为纵坐标，起点为28。，每一小格为0.1Q,描点连线

图，得Rl直线如图6-1,所示。

图6-1

在直线上取两点(19.0,28.40),(43.0,30.90)则：

30.90-28JO=0|()4IQ。

43.0-19.0

43.0x28.40-19.0x30.90“，,小、

D%=-------------------------------------=ZO.4()

543.0-19.0

故有/?=26.4+0.10/(0)

(2)曲线的改直

在实际工作中，许多物理量之间的函数关系形式是复杂的，并非都为线性，但是可以经过

适当变换后成为线性关系，即把曲变成直线，这种方法叫曲线改直。例如：

①尸V=C,C为常数

由R=GL作/?-工图得直线，斜率即为c

vv

②S=+。为常数。

两边除以t得：1q=%+：1(〃，作］q一图为直线，其斜率1为截距为%。

③y=axb,其中a,b为常数

两边取对数，得lg)，=lga+blgx,以檎)，为横坐标，1gy为纵坐标作图得一直线，截距为

Iga,斜率为九

3.作图法的优点

直观：这是作图法的最大优点之一，可根据曲线形状，很直观很清楚地表示在一定条件

下，某一物理量与另一物理量之间的相互关系，找出物理规律。

简便：在测量精度要求不高时，由曲线形状探索函数关系，作图法比其他数据处理方法要

简便。

可以发现某些测量错误：若在曲线上个别点偏离特别大，可提醒人们重新核对。

在图线上，可以直接读出没有进行测量的对应于某工的丁值(内插法)。在一定条件下，也

可以从图线的延伸分部读出测量数据范围以外的点(外推法)。

但也应看到作图法有其局限性。特别是受图纸大小的限制，不能严格建立物理量之间函数

关系，同时受到人为主观性进行的指点、连线的影响，不可避免地会带来误差。

6.3逐差法

逐差法是对等间距测量的有序数据进行逐项或相等间隔项相减得到结果的一种方法。它计

算简便，并可充分利用测量数据，及时发现差错，总结规律，是物理实验中常用的一种数据处

理方法。

1.逐差法的使用条件

（1）自变量X是等间距离变化的。

中

（2）被测的物理量之间的函数形式可以写成x的多项式，即），=£4了”。

m=0

2.逐差法的应用

以拉伸法测弹簧的倔强系数为例，说明如下：

设实验中等间隔地在弹簧下加祛码（如每次加1克），共加9次，分别记下对应的弹簧卜端

点的位置%,Li，L2,…，L9,则可用逐差法进行以下处理。

（1）验证函数形式是浅性关系

把所测的数据逐项相减，即

看?小,?心，？心，…，？工9是否基本相等。而当?。均基本相等时，就验证了外力与弹簧的伸长

量之间的函数关系是线性的，即

用此法可检查测量结果是否正确，但注意的是必须要逐项逐差。

（2）求物理量数值

现计算每加1克祛码时弹簧的平均伸长量：

从上式可看出，中间的测量值全部低消了，只有始末二次测量值起作用，与一次加9克祛码的

测量完全等价。

为了保证多次测量的优点，只要在数据处理方法上作一些组合，仍能达到多次测量来减小

误差的目的。因此一般使用逐差法的规则应用如下方法：

通常可将等间隔所测量的值分成前后两组的，前一组为L/、L2、L八乙,后一组为

“、Lc、L7、Ls、L9,将前后两组的对应项相减为

再取平均值

由此可见，与上面•般求平均值方法不同，这时每个数据都用上了。但应注意，这里的正是

增加5克祛码时弹簧的平均伸长量。故对应项逐差可以充分利用测量数据，具有对数据取平均

和减小的效果。

6.4最小二乘法

由一组实验数据找出一条最佳的拟合直线（或曲线），常用的方法是最小二乘法。所得的变

量之间的相关函数关系称为回归方程。所以最小二乘法线性拟合亦称为最小二乘法线性回归。

本章只讨论用最小二乘法进行一元线性回归问题，有关多元线性回归和非线性回归，请参考其

他书籍。

1.一元线性回归

最小二乘法所依据的原理是：在最佳拟合直线上，各相应点的值与测量值之差的平方利应

比在其他的拟合直线上的都要小。

假设所研究的变量只有两个：X和y,且它们之间存在着线性相关关系，是一元线性方程

y=4+Ax（6-3）

实验测量的一组数据是

需要解决的问题是：根据所测得的数据，如何确定（&3）式中的常数Ao和Ai。实际上，

相当于作图法求直线的斜率和截距。

由于实验点不可能都同时落在（6-3）式表示的直线上，为使讨论简单起见，限定：

①所有测量值都是等精度的。只要实验中不改变实验条件和方法，这个条件就可以满足。

②只有一个变量有明显的随机误差。因为为和V都含有误差，把误差较小的一个作为变量

x,就可满足该条件。

假设在（6-3）式中的工和），，是在等精度条件下测量的，且y有偏差,记作与，邑后，…，4

把实验数据（41,凶）,。2，%）「一，（/，%）代入（6-3）式后得：

其一般式为：

g=y-y=z-A-4为（6-4）

与•的大小与正负表示实验点在直线两侧的分散程度，＜的值与A）、4的数值有关。根据最

小二乘法的思想，如果A。、Ai的值使£却最小，那么，（6-3）式就是所拟合的直线，即由式

1-1

jnM

X£；=£（X_-（6-5）

i-lr-1

对Ao和4求一阶偏导数，且使其为零得：

VT，婷=—2支（y-A-4王）=0

JE（6-6）

ZW=-2S［（»-4-4菁）切=°

M3=i/f=i

令天为x的平均值，即元二再，»为），的平均值，即y,w为炉的平均值，即

/-I加r-l

——1"?___1"I

x2=~y'xf,xy为个的均值，即,W=—Yx,.

小nm闫

代入（6-6）式中得：

解方程组得:

A）=〉'_幻

2.把非线性相关问题变换成线性相关问题

在实际问题中，当变量间不是直线关系时，可以通过适当的变量变换，使不少曲线问题能

够转化成线性相关的问题。需要注意的是，经过变换等精度的限定条件不一定满足，会产生一

些新的问题。遇到这类情况应采取更恰当的曲线拟合方法。

下面举几例说明

（1）若函数为F+）J=C,其中C为常数，令：

则有:

X,其中4、〃为常数，将原方程化为工=〃+g，令:

（2）若函数为｝，二

atbx

则有:

3.相关系数r

以上所讨论的都是实验在已知的函数形式下进行时，由实验的测量数据求出的回归方程。

因此，在函数形式确定以后，用回归法处理数据，其结果是唯一的，不会像作图法那样因人而

异。可见用回归法处理问题的关健是函数形式的选取。

但是当函数形式不明确时，要通过测量值来寻求经验公式，只能靠实验数据的趋势来推

测。对同一组实验数据，不同的工作者可能会取不同的函数形式，得出不同的结果。

为了判断所得结果是否合理，在待定常数确定以后，还需要计算一下相关系数人对于元线

性回归，,,定义为：

xy-xy.NO、

r=•._(6-8)

7(x2-x2)(/-r)

相关系数「的数值大小反映了相关程度的好坏。可以证明的值介于0和1之间，值

越接近于1,说明实验数据能密集在求得的直线附近，龙、y之间存在着线性关系，用线性函数

进行回归比较合理。相反，如果值远小于1而接近0,说明实验数据对求得的直线很分

散，x、y之间不存在线性关系，即用线性回归不妥，必须用其他函数重新试探。在物理实验

中，一般当|川20.9时，就认为两个物理量之间存在较密切的线性关系。

［例］用本节作图法例子中电阻丝电阻值随温度变化的实验数据，结合最小二乘法做以下内

容：

(1)线性拟合，并写出直线方程：

(2)求出电阻温度系数。和0C时的电阻Ro。

(3)求出相关系数,评价相关程度。

解：金属导体的电阻和温度的关系为

R=%(1+at)=凡+*/»令：

上式可变为：

例中的实验数据填入下表，并进行计算，结果见下表:

115.0225.028.05786.8420.8

220.0400.028.52813.4570.4

325.0625.029.10846.8727.5

430.0900.029.56873.8886.8

535.0122530.10906.01054

640.0160030.57934.51223

645.0202531.00961.01395

750.0250031.62999.81581

平均值