新教材同步备课2024春高中数学第8章成对数据的统计分析82一元线性回归模型及其应用821一元线性回归模型822第2课时回归分析及非线性

第2课时回归分析及非线性回归模型

1.了解残差、残差图的概念.(数学抽象)

学习2.会通过分析残差和利用"判断1可归模型的拟合效果.(数学运算、数据分圻)

任务3.r解非线性回归模型，掌握对数函数模型、指数函数模型和基函数模型的求

解过程.(数学运算、数学建模)

必备知识-情境导学探新知

情境与问题

设某幼苗从观察之日起，第X天的高度为ycm,测得的一些数据如表所示:

你能求出这个函数模型吗？

知识点1残差及残差图

(D对于响应变量匕通过观测得到的数据称为观测值.通过经验回归方程得到的?称为预测

值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果.通过对残差的分析可以判断

模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等.

(2)作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变量的观测值等，这样作出的

图形称为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型

比较合适，这样的带状区域的宽度越空，说明模型拟合精度越高.

(3)残差分析：残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效

果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.

知识点2对模型刻画数据效果的分析

(1)残差图法:在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内,

则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系.

(2)残差平方和法：残差平方和2(%-》)2越小，模型的拟合效果越好.

1=1

轴4)2

(3)决定系数〃法：可以用〃=1――----------来比较两个模型的拟合效果，〃越小,

斗兀-万

模型拟合效果越差，下越大，模型拟合效果越好.

:思考上决定系数"的取值范围是什么？

〔提小〕OW〃W1.

知识点3非线性回归方程

(1)非线性回归分析的思想

研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个

带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来

建立两个变量之间的关系.

(2)非线性经验回归方程

当回归方程不是形如夕=放+式(心5wR)时，称之为非线性经验回归方程.当两个变量不呈

线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利

用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程.

•课审自主他验。

1.思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)残差平方和越接近0,线性回归模型的拟合效果越好.()

(2)在画两个变量的散点图时，响应变量在x轴上，解释变量在y轴上.()

(3)川越小,线性回归模型的拟合效果越好.()

(4)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号.()

[答案](1)J(2)X(3)X(4)V

2.在两个变量y与A■的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的决定系数〃如下，

其中拟合效果最好的模型是()

A,模型1的决定系数〃为0.98

B.模型2的决定系数々为0.80

C.模型3的决定系数"'为0.50

D.模型4的决定系数〃为0.25

A[〃越大拟合效果越好.]

3.从某省“双一流”大学中随机选出8名女大学生，得到其身高x(单位：cm)与体重y(单

位：kg)的数据如下表:

X165165157170175165155170

y4857505464614359

若已知y与x的经验回归方程为9=0.85%—85.71,则选取的女大学生身高为175cm时，相

应的残差为_______kg.

0.96［当x=175cm时，y=0.85X175-85.71=63.04(kg),

・•・相应的残差。=64—63.04=0.96(kg).］

关键能力.合作探究释疑难F疑睢问题解。•学科—

□类型1残差与残差分析

【例1】(1)对变量X.y进行回归分析时.依据得到的4个不同的回归模型画出残差图.

则下列模型拟合精度最高的是()

残差I残差

0.80.8

Q.6

1■【闽间胤猊血间生如机飒侬幺闽向M。；刑荔号

AB

CD

(2)已知一系列样本点(X,//)(2=1,2,3,­•力的经验回归方程为9=2x+6,若样本点

(八1)与(1,s)的残差相司，则有()

A.r=sB.s=2r

C.s=-2r+3I).s=2r+l

(DA(2)CKl)用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,

说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.

(2)样本点(r,1)的残差为1一2「一匾

样本点(1,s)的残差为s—4—2.

依题意得l-2r-6=s—6—2,

故s=-2_r+3.］

反思领悟⑴残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适•这样

的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验问归方程的预报精度越高.

(2)残差是随机误差的估计值，@,=九一％.

［跟进训练］

1.两个线性相关变量x与y的统计数据如表所示:

X99.51010.511

yii10865

其经验回归方程是？=5X+40,则相对应于点（11,5）的残差为（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

B[由于9=RY+40过样本中心点（10,8）,

所以8=10正+40,则片=一3.2,

因此夕=-3.2x+40.

当*=11时,夕=-3.2X11+40=4.8,

所以残差。=5一夕=5—4.8=0.2.]

2.已知某成对样本数据的贱差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第

个.

6[原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即偏离平衡位置过大.]

II类型2残差平方和与决定系数川

【例2】已知某种商品的价格双单位：元）与需求量近单位：件）之间的关系有如下一组

数据:

X1416182022

y1210753

（D求，关于x的经睑回归方程：

（2）借助残差平方和与〃说明回归模型拟合效果的好坏.

［解］(l)x=1x(14+16+18+20+22)=18,y=1x(12+10+7+5+3)=7.4,

5

所以5=R-620-5x18x7.4,,_

---------------r=-1.15

1660-5X182

£

i=l

a=7.4I1.15X18=28.1,

所以所求经验回归方程是夕=-1.15x+28.1.

（2）列出残差表为

yi-y>00.3-0.4-0.10.2

y>~y4.62.6-0.4-2.4-4.4

所以W(%一%)2=0.3,且W(%~y)2=53.2,

i=li=l

5°

R~=1------------=0.994,

w-万

所以回归模型的拟合效果很好.

反思领悟刻画回归效果的三种方法

(1)残差图法：残差点比较均匀地落在水平带状区域内说明选用的模型比较合适.

(2)残差平方和法：残差平方和越小，模型的拟合效果越好.

1=1

轴4)2

(3)决定系数4法：*=1------------越接近I，表明模型的拟合效果越好.

I=1

［跟进训练］

3.为研尢质量M单位：g)对弹簧长度y(单位:C而的影响，对不同质量的6个物体进行测

量，数据如表所示：

X51015202530

y7.258.128.959.9010.911.8

(1)作出散点图并求经验回归方程；

(2)求出川并说明回归模型拟合的程度;

(3)进行残差分析.

［解］(1)散点图如图所示.

样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系.

由表中数据，得元=*X(5+10+15+20+25+30)=17.5,

6

y=-X(7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8)=9.487,

6

W疗=2275,2勺%=1076.2.

i=li=l

计算得0183,626.285.

故所求经验回归方程为夕=6.285+0.183%.

(2)列表如下:

yi—yi0.050.005-0.08-0.0450.040.025

y>—y-2.237-1.367-0.5370.4131.4132.313

可得一%)2X001318，一刃2X14.6783.

i=li=l

所以〃=1一鬻言心09991,回归模型的拟合效果较好.

T4.67B3

(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需耍确认在采集这个数据的时

候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看

出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归

模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系.

D类型3非线性回归分析

【例3】为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数y的变化，收集数据如表所示：

天数V天123456

繁殖个数W个612254995190

(1)用天数作解释变量，繁殖个数作响应变量，作出这曲数据的散点图，根据散点图判断：y

=4+6%与y=sec”哪一个作为繁殖的个数y关于时间AT变化的回归方程类型为最佳？(给

出判断即可，不必说明理由)

666

W(N_±)2^(内一幻，(%一9)W(/i一君，(为一力

XyZ

i=ii=li=l

3.562.833.5317.5596.50512.04

6

其中z..=lny..,2=工,4.

i=l

(2)根据(1)的判断最佳结果及表中的数据，建立y关于x的回归方程.

t(x-x)(y-y)

参考公式小J-----------X.

S(X-X)2

i=i*

［解］(D作出散点图，如图1所示.

1繁殖个数/个

200.

150

100・

50・・

1・♦1・

0246'8天M天

图1

由散点图看出样本点分布在一条指数函数j，=oec。的周围，于是选择/=°叠".

(2)令z=lny,则

X123456

Z1.792.483.223.894.555.25

相应的散点图如图2.

繁殖个数的对数

6

5

4

3

2

1

02~^一’62天曲天

图2

从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合.

6

y（x.-x）（z.-z）

由b二三一------:——-0.69,

Z（x.-%）2

1=1

a=z—bx=1.115,得2=0.69x+1.115,

则有尸e0—.

［母题探究］

（变设问）在本例条件不变的情况下，试估计第7天细菌繁殖个数.

015

［解］Vy=e^",

・••当x=7时，夕比382（个）,

即第7天细菌繁殖个数约为382个.

反思领悟解决非线性回归问题的方法及步骤

（1）确定变量：确定解释变量为x,响应变量为匕

（2）画散点图：通过观察散点图并与学过的函数（幕、指数、对数函数、二次函数）作比较,

选取拟合效果好的函数模型.

（3）变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题.

（4）分析拟合效果：通过计算决定系数等来判断拟合效果.

（5）写出非线性回归方程.

提醒：当数据量较大时，可采用计算器或者数学软件来求回归方程.

［跟进训练］

4.（源自湘教版教材）实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据如表，试建立

转化率y关于反应时间x的回归方程（结果保留三位小数）.

时间6080100120140150160170

020406080100120140160180时间/min

图1

观察散点图可知，样本点并没有分布在某条直线附近，因而变量y与x之间没有明显的线性

相关关系，所以不能直接利用线性回归模型来刻画这两人变量之间的关系.根据已有的数学

知识，可以认为样本点分布在指数曲线7=。/。的附近，其中。和Q是待定参数.

为估计参数和Q,在尸cIeE的两端取对数，得到Iny=InC\+oix.

再令z=lny,a=ln°,b=c2,则得到直线方程z="+a.

050100150200x

图2

从图2中可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，说明z和x之间具有线性相关

关系，因此可以用线性PI归方程来拟合.对上表中的数据，用最小二乘法可得线性回归方程

为2=0.019x+0.686.

再利用y=ez可得到转化率y关于反应时间x的非线性回归方程为夕=

e—・却炽=1.986并叫

学习效果,课堂评估夯基础F课堂如识检测•小结问题点评

I.下面四个残差图中，可以满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（）

A［由残差图显示的分布情况即可看出，图A显示的残差分布比较集中，且成带状分布，满

足一元线性回归模型中对随机误差的假定.］

2.下列说法错误的是（）

A.残差点分布的带状区域越窄，回归方程的拟合效果越好

B.残差平方和越小，决定系数#‘越大

C.决定系数"可以大于1

D.通过经验回归方程得到的预报值是响应变量的可能取值的平均值，不一定是响应变量的

精确值

C［由川的计算公式，知B正确，C错误；A,D均正确.］

3.甲、乙、丙、丁四位同学各自对48两变量的线性相关性作试验，并用回归分析的方法

分别求得相关系数r与残差平方和/〃如表：

甲乙丙T

r0.X20.7Rfl.690.R5

m106115124103

则同学的试验结果体现了48两变量更强的线性相关性.

「［由题表可知，丁同学的相关系数，•最大且残差平方和m最小，故丁同学的试验结果体

现了力，8两变量更强的线性相关性.］

4.在研究两个变量的相关关系时:观察散点图发现样本点集中于某一条曲线的周

围，令z=ln八求得经验回归方程为2=0.25%-2,58,则一亥模型的经验回归方程为.

9=e。-58］由£=O.25%—2.58得In夕=0.25%—2.58,所以夕吗」

小

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1.对模型刻画数据效果的分析有哪些常见方法？

［提示］残差图法，残差平方和法和〃法.

2.决定系数1与相关系数r一样吗？

［提示］在含有一个解释变量的线性回归模型中，决定系数川恰好等于相关系数，•的平

方.在线性回归模型中有0W/W1,因此川和两个变量的相关系数r都能刻画用线性回归

模型拟合数据的效果.r越大，〃就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好.

I________________________________________.

课时分层作业（二十一）I可归分析及非线性回归模型

[A组基础合格练]

一、选择题

i.下列四个残差图中回归模型的拟合效果最好的是（）

CD

B[B选项显示的残差分布比较集中，且成窄带状分布，满足一元线性回归模型中对随机误

差的假定.]

2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对48两变量做回归分析，分别得到散点图与

n

残差平方和2（%一%）2如表:

i=i

甲乙丙T

H・Bli

散点图■•

■•

•*■・•___,••

a

0101AAaA

残差平方

115106124103

和

试验结果体现拟合力，5两变量关系的模型拟合精度高的同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

D[残差平方和越小，拟合效果越好.]

3.若对于变量筋y的1C组统计数据的回归模型中，计算得『=0.95,又知残

10

差平方和为120.55,那么2（%-刃2的值为（）

i=i

A.241.1R.245.1

C.2411D.2451

C［由题意知残差平方和

10

W(%-£)2=120.55,

i=l

io，

斗…)

又|=1-七----------=0.95,

斗兀

I=1'

10

所以乏3一/2=2411.］

i=l

4.若一函数模型为夕=$皿2a+2sin。+1,为将y转化为1的线性经验回归方程，则需作

变换［等于()

A.sin2aB.(sinc7+1)2

C.sii?a+lD.以上都不对

B［因为y是关于£的线性经验回归方程，实际上即尸是关于t的一次函数，又因为"一(sin

。+1)2,若令£=(sin。+1)2,则可得y与［的函数关系式为y=3此时变量y与变量七

是线性相关关系.］

5.某同学将收集到的六组数据(必，/>)(；=1,2,3,4：5,6)制成如图所示的散点图，并

通过计算得到其经验回归直线人的方程为尸0.68x+6,其样本相关系数为打，决定系数为

/??.经过残差分析确定点尸为“离群点”(对应残差过大的点)，把它去掉后，再利用剩下

的五组数据计算得到其经验回归直线人的方程为9=6'-0.68,其样本相关系数为a决定

系数为段.则以下结论中不正确的是()

y

•尸(6,5)

°(4,2.5),皿5,2.8)

•C(3,2.1)

.'BQ.1.5)

4(1,1.1)

~Ox

A.>0»r2>0B.R1>Rj

C.8=0.12D.0不<0.68

B［由题图可知两变量正线性相关，故人>0,n>0,且水人故储〈布，故A中结论正确，

B中结论不正确.经计算可得，在去除点前，x=3.5,y=2.5,去除点产后,x=3,y

=2.又经验回归直线，1：9=0.68%+6必经过点(3.5,2.5),所以6=2.5—0.68X3.5=

0.12,故C中结论正确.经验回归直线%夕=版+0.68必经过点(3,2),所以2=6X3+

0.68,所以5=0.44,故D中结论正确.故选B.］

二、填空题

6.已知经验回归方程夕=2>+1,而试验得到一组数据是(2,4.9),(3,7.1),(4,9.1),

则残差平方和是.

0.03［因为残差篦=%一%,所以残差平方和为(4.9—5)'+(7.1—7)*+(9.1—9)'=0.03.］

7.已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数尸3小”的图象

附近，设〃=lny,则可通过转换得到经验回归方程.

w=l+ln3+2x［由y=3/I得In/=ln(3e2x+1),即iny=ln3+2x+l.

则经验回归方程为〃=l+ln3+2x.1

8.(2023•河南郑州期末)2022年9月1日至23日(日期代码分别为1,2,23),某餐

馆在区域.”内投放广告单数量以万张)与日期代码x的数据满足回归方程夕=0。38+以，则6=

(精确到小数点后两位).

参考数据：71/273.....国=€猊1x=12.

0.29［对夕=e038+5x的两边取自然对数，得［门j)=6x-().38,所以Iny与*具有线性相

关关系.

因为In(y必必....现3)=lneS97=89.7,

所以|"1+1"2+g为+~+1”23-3%

所以3.9=3+0.38,所以29.故答案为0.29.］

三、解答题

9.已知x与y之间的数据如表:

X23456

y2.23.85.56.57.0

(1)求y关于x的经验回归方程；

(2)完成下面的残差表，并判断(1)中线性回归模型的拟合效果是否良好.(若/>0.9,则认

为回归模型拟合效果良好)

X23456

y>-y>

2久北-nxy

1

Zx2-nx

-1I

-孕XT)

a=y—bx,1=1-------------

t/r-y)2

t=1

5

2(为一夕,)2=0.651.

i=l

［解］(1)由题中表格数据可得元=4,9=5,

5

xf=90,W芍％=112.3,

Zi=li=l

则8=1寸会？5=].23,a=y-bx=O.08,

90-SX42J

故夕=1.23x+0.08.

(2)设加=%一％,所以加=一0.34,62=0.03,e3=0.5,a=0.27,e5=-0.46,则残差表

如表所示，

X23456

匕一%-0.340.030.50.27-0.46

因为W(为一?)2

i=l

=(2.2-5)2+(3.8—5尸+(5.5—5y+(6.5—5尸+(7-5)2=15.78,

所以片=1^0.96XL9,

15.78

所以该线性回归模型的拟合效果良好.

［B组能力过关练］

10.以模型卜=比公去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,将其变换后

得到经验回归方程z=0.2x+3,则c,4的值分别是()

A.e2,0.6B.e2,0.3

C.e*0.2D.el0.6

C［因为尸ce知

所以等式两边同时取对数可得Iny=ln(ce*1)=lnc+lne*=Ax+lnc.

因为z=lny,所以上式可化为z=4x+lnc.

因为z=0.2x+3,则衣=D.2,Inc=3,

所以c=e\A=0.2.］

II.某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如表

所示：

广告支出费用X2.22.64.05.35.9

销售量y3.85.47.011.612.2

根据表中的数据可得经验回归方程9=2.27x—1.08,^0.96,以下说法正确的是()

A.第三个样本点对应的残差—回归模型的拟合效果一般

B.第三个样本点对应的残差曲=1,回归模型的拟合效果较好

C.销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的

D.销售量y的多少有4%是由广告支出费用引起的

C［由题意得缶=7—（2.27X4—1.08）=-1,

由于#0.96,所以该回归模型拟合的效果比较好，故A,B错误：

在线性回归模型中，尸表示解释变显对于响应变量的贡献率，^0.96,

则销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的，C正确，D错误.］

12.已知变量y关于x的非线性经验回归方程为?=/“。-5,其一组数据如表所示:

X1234

3t6

ypAeP

若x=5,则预测y的值可能为（）

A.e’B.e~2C.e'D.eT

D［将式子两边取对数，得到Iny=6x—0.5,

令£=ln%得到E=5AT—0.到

列出筋。的取值对应的表格如下:

X1234

乞1346

1+2+3+40e—1+3+4+6C<-

则无=------=2.5z=------=3.5

V(%,力满足£=5尸0.5,

A3.5=bX2.5-0.5,解得5=1.6,

Az=1.6x-0.5,，尸产吃

当＞=5时，?=产川=泼.］

13.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得

到如下的表格：

地区A区6区。区〃区£区

外来务工人员数5()0040003500300()2500

留在当地过年的人数占比80%90%80%80%84%

根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的经验回归方程为夕

=0.8135x+6.该市对外来务工人员中选择留在当地过年的人员每人补贴1000元，该市

尸区有10000名外来务工人员，根据经验回归方程估计尸区需要给外来务工人员中选择留

在当地过年的人员的补贴总额为万元.（参考数据：0.8135X36^29.29）

818,6［由题意得，£=5°°°+4000+35。。+3。。。+25。。=360°,

5

一5000x0.8+4000x0.9+3500x0.8+3000x0.8+2500x0.84八八。八

y=------------------------------------------=298（）,

因为经验回归直线一定过样本的中心点（后切，

所以2980=0.8135X3600+6,解得6k51,即夕=C.8135x+51.

当>=1（）000时，夕=0.8135X10000+51=8186,

所以估计补贴总额为8186X0.1=818.6（万元）.]

14.耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻.海水稻的灌溉是将

海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度近％。）对亩产量y（吨）的影响，通过在

试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，

可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x

之间的经验回归方程为y=5x+0.88.

海水浓度xj%。34567

亩产量%/吨0.620.580.490.40.31

残差击

（1）求5,并估计当浇灌海水浓度为8%。时该品种的亩产量；

（2）①完成上述残差表；

②统计学中常用决定系数户来刻画回归效果，"越大，模型拟合效果越好，如假设^=0.8,

就说明预报变量y的差异有80爷是由解程变量x引起的.请计算决定系数"（精确到0.01）,

并指出亩产量的变化多大程度上是由海水浓度引起的？

附：残差公式篦=六一%,

£(兀可)2

决定系数/r=1--------------------

t/y-y)2

1=1

［解］(D经计算,x=5,y=0.48,

由0.48=55+0.88可得,6=-0.08,

当x=8时，y=-0.08X8+0.88=0.24,所以当浇灌海水浓度为8%。时，该品种的亩产量

约为Q24吨.

⑵①由⑴知夕=一。08升088,从而有

海水浓度尤（％。）34567

亩产量力（吨）0.620.580.490.40.31

残差自一0.02