2025年江西省大余县新城中学高二下数学期末达标检测模拟试题含解析

2025年江西省大余县新城中学高二下数学期末达标检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示，程序框图算法流程图的输出结果是A． B． C． D．2．已知函数的最小正周期为4π，则（

）A．函数f（x）的图象关于原点对称 B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增3．若随机变量的数学期望，则的值是()A． B． C． D．4．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项5．设i是虚数单位，复数a+i1+i为纯虚数，则实数a的值为A．-1B．1C．-2D．26．已知双曲线E：上的四点A，B，C，D满足，若直线AD的斜率与直线AB的斜率之积为2，则双曲线C的离心率为A． B． C． D．7．下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是（）（1）在大量随机试验中，事件出现的频率与其概率很接近；（2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；（3）计算频率通常是为了估计概率．A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）8．若关于的一元二次不等式的解集为，则（）A． B． C． D．9．若圆锥的高等于底面直径，侧面积为,则该圆锥的体积为A． B． C． D．10．下列命题①多面体的面数最少为4；②正多面体只有5种；③凸多面体是简单多面体；④一个几何体的表面，经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知，是双曲线的上、下两个焦点，的直线与双曲线的上下两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．12．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．36种 B．24种 C．22种 D．20种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在极坐标系中，直线被圆ρ＝4截得的弦长为________．14．设复数，则的最小值为__________．15．定义在上的偶函数满足，且，则______.16．已知，其中为实数，为虚数单位，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在长方体中，底面是边长为2的正方形，是的中点，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值.18．（12分）已知函数fx（1）讨论函数fx（2）当n∈N*时，证明：19．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若，求证：当时，.20．（12分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）设点为圆上一点，且点的极坐标为，射线绕点逆时针旋转后得射线，其中也在圆上，求的最大值．21．（12分）设，．（Ⅰ）如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（Ⅱ）如果对于任意的都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．22．（10分）已知函数.（1）证明：函数在内存在唯一零点；（2）已知，若函数有两个相异零点，且（为与无关的常数），证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

模拟程序图框的运行过程，得出当时，不再运行循环体，直接输出S值．【详解】模拟程序图框的运行过程，得S=0,n=2,n<8满足条件，进入循环：S=满足条件，进入循环：进入循环：不满足判断框的条件，进而输出s值，该程序运行后输出的是计算：．故选D．本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．根据程序框图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．2、C【解析】分析：函数的最小正周期为4π，求出，可得的解析式，对各选项进行判断即可.详解：函数的最小正周期为4π，，，，由对称中心横坐标方程：，可得，A不正确；由对称轴方程：，可得，B不正确；函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位，可得：，图象关于原点对称，C正确；令，可得：，函数f（x）在区间（0，π）上不是单调递增，D不正确；故选C.点睛：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，注意图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．3、C【解析】分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p的值即可.详解：随机变量则的数学期望，据此可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4、C【解析】解：n=k时，左边="1"/k+1+1/k+2++1/k+k，n=k时，左边="1"/(k+1)+1+1/(k+1)+2++1/(k+1)+(k+1)="(1/"k+1+1/k+2++1/k+k)-1/k+1+1/2k+1+1/2k+2故选C5、A【解析】a+i1+i=(a+i)(1-i)6、A【解析】很明显，A，B，C，D四点组成平行四边形ABDC，如图所示，设，则：，点A在双曲线上，则：，据此可得：，结合可得双曲线的离心率为.本题选择A选项.点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．7、D【解析】

利用频率和概率的定义分析判断得解.【详解】（1）在大量随机试验中，事件出现的频率与其他概率很接近，所以该命题是真命题；（2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限，所以该命题是真命题；（3）计算频率通常是为了估计概率，所以该命题是真命题.故选D本题主要考查频率和概率的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8、D【解析】

根据一元二次不等式与二次函数之间的关系，可得出一元二次不等式的解集为的等价条件.【详解】由于关于的一元二次不等式的解集为，则二次函数的图象恒在轴的下方，所以其开口向下，且图象与轴无公共点，所以，故选：D.本题考查一元不等式在实数集上恒成立，要充分利用二次函数的开口方向和与轴的位置关系进行分析，考查推理能力，属于中等题.9、B【解析】

先设底面半径，然后根据侧面积计算出半径，即可求解圆锥体积.【详解】设圆锥的底面半径为，则高为，母线长；又侧面积，所以，所以，故选：B.本题考查圆锥的侧面积公式应用以及体积的求解，难度一般.圆锥的侧面积公式：，其中是底面圆的半径，是圆锥的母线长.10、D【解析】

根据多面体的定义判断．【详解】正多面体只有正四、六、八、十二、二十，所以①②正确．表面经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体．棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体．所以③④正确．故：①②③④都正确根据多面体的定义判断．11、D【解析】根据双曲线的定义，可得是等边三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得双曲线的渐近线方程为.故选D．【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．12、B【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有=12种推荐方法；②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，共有=12种推荐方法；故共有12+12=24种推荐方法，故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】将直线及圆分别化成直角坐标方程：，．利用点到直线距离求出圆心到直线的距离为1．∴长等于14、【解析】分析：复数分别对应点经过A,B的直线方程为设复数,则复数对应的点的轨迹为圆，其方程为，判断选择和圆的位置关系可得到的最小值.详解：复数分别对应点经过A,B的直线方程为设复数,则复数对应的点的轨迹为圆，其方程为，圆心到直线的距离为即直线和圆相切，则的最小值即为线段AB的长，即答案为.点睛：本题考查复数的几何意义，直线和圆的位置关系，属中档题..15、【解析】

根据题意，分析可得有，即函数是周期为6的周期函数，进而可得，结合函数的奇偶性分析可得答案．【详解】根据题意，函数满足，则有，

则函数是周期为6的周期函数，

则，

又由为偶函数，则，

故；

故答案为：．本题主要考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于中档题．16、【解析】

将左边的复数利用乘法法则表示为一般形式，然后利用复数相等，得出虚部相等，求出的值．【详解】，所以，故答案为．本题考查复数相等条件的应用，在处理复数相等时，将其转化为“实部与实部相等，虚部与虚部相等”这一条件，考查对复数概念的理解，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）由于长方体中，因此只要证，这由中位线定理可得，从而可得线面平行；（2）以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得．【详解】（1）证明：连接，∵分别为的中点，∴∵长方体中，，，∴四边形是平行四边形，∴，∴∵平面，平面，∴平面（2）解：在长方体中，分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，∴，，，设平面的一个法向量，则，取，则同样可求出平面的一个法向量∴∴二面角的正弦值为.本题考查线面平行的证明，考查用空间向量法求二面角．本题属于基础题型．18、（1）答案不唯一，具体见解析（2）见解析【解析】

（1）利用导数求函数单调区间的套路，确定定义域，求导，解含参的不等式；（2）由（1）赋值放缩可以得到一函数不等式，再赋值将函数不等式转化为数列不等式，采用累加法即可证明不等式。【详解】（1）解：因为f'x①当a≤0时，总有f'x所以fx在0,+∞上单调递减.②当a>0时，令2ax-1x>0故x>12a时，f'x>0，所以fx同理2ax-1x<0时，有f'x<0，所以（2）由（1）知当a>0时，fx若fxmin=0，则1因为fx≥fx当n∈N*时，取x=n+1所以2故22本题主要考查了导数在函数中的应用，利用导数求函数的单调区间，涉及到含参不等式的讨论，以及利用放缩法证明数列不等式，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力。19、（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）依题意，的定义域为，，分类讨论可求的单调性；（2）当时，要证明，即证明，只需证明.设，利用导数研究其性质，即可证明详解：（1）依题意，的定义域为，，（1）当时，，在单调递减；（2）当时，当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增；（3）当时，当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减；综上，当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）当时，要证明，即证明，因为，所以只需证明，只需证明.设，则，设，则，所以当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增；所以，所以当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增；所以，所以当时，.点睛：本小题考查导数与函数的单调性、不等式等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）先求出圆的普通方程，再，由求得极坐标方程。（Ⅱ）设，则由都在圆上知且，借助两角和的余弦公式与辅助角公式化简可得，再结合角的取值范围得到答案。【详解】（Ⅰ）由题意知圆的普通方程为，由得，，即圆的极坐标方程为；（Ⅱ）设，则由都在圆上知且，于是，又，所以，所以当，即时，．本题考查参数方程与极坐标方程的转化，以及通过三角函数求最值问题，属于一般题。21、（Ⅰ）M＝4；（Ⅱ）[1，＋∞).【解析】分析：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M；（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max，进一步利用分离参数法，即可求得实数a的取值范围；详解：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增∴g（x）min=g（）=﹣，g（x）max=g（2）=1∴g（x）max﹣g（x）min=