上海市师范大学附属中学2025届数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题含解析

上海市师范大学附属中学2025届数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为A． B． C． D．2．如图，表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，那么该系统正常工作的概率是（）．A．0.994 B．0.686 C．0.504 D．0.4963．已知实数，满足条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据()A．一样稳定 B．变得比较稳定C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断5．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（）A．8 B．10 C．12 D．166．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A． B． C． D．7．设函数定义如下表：1234514253执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A．4 B．5 C．2 D．38．的值等于（）A．1 B．－1 C． D．9．已知，则()A．11 B．12 C．13 D．1410．（）A．2 B．1 C．0 D．11．函数在区间上的图象如图所示，，则下列结论正确的是（）A．在区间上，先减后增且B．在区间上，先减后增且C．在区间上，递减且D．在区间上，递减且12．设离散型随机变量的概率分布列如表：1234则等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若不等式|x－a|<1的解集为{x|1<x<3}，则实数a的值为________．14．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．15．已知全集,集合,,则______.16．双曲线:的左右焦点分别为，过斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于点、，若，则该双曲线的离心率是_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知关于的方程（）的两根为，且，求实数的值.18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，∥，，．为的中点，点在上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．19．（12分）某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取株作为样本进行研究．株高在及以下为不良，株高在到之间为正常，株高在及以上为优等．下面是这个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁．请根据可见部分，解答下面的问题：（1）求的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；（2）通过频率分布直方图估计这株株高的中位数（结果保留整数）；（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量的分布列（用最简分数表示）．20．（12分）我校食堂管理人员为了解学生在校月消费情况，随机抽取了100名学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知，，金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.（1）求m，n值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“高消费群”与性别有关？高消费群非高消费群合计男女1050合计附：，其中0.100.050.0100.005K02.7063.8416.6357.87921．（12分）已知椭圆：的离心率为，点，分别为椭圆的左右顶点，点在上，且面积的最大值为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为的左焦点，点在直线上，过作的垂线交椭圆于，两点.证明：直线平分线段.22．（10分）如图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，，且，为线段的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

取BD中点,可证，为直线AC与底面BCD所成角。【详解】取BD中点，由，，又侧面底面BCD，所以。所以为直线AC与底面BCD所成角。,所以。选A.本题考查线面角，用几何法求线面角要一作、二证、三求，要有线面垂直才有线面角。2、B【解析】

由题中意思可知，当、元件至少有一个在工作，且元件在工作时，该系统正常公式，再利用独立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率．【详解】由题意可知，该系统正常工作时，、元件至少有一个在工作，且元件在元件，当、元件至少有一个在工作时，其概率为，由独立事件的概率乘法公式可知，该系统正常工作的概率为，故选B．本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，在处理至少等问题时，可利用对立事件的概率来计算，考查计算能力，属于中等题．3、A【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行平移，结合图象得到的取值范围.【详解】解：由得，作出实数，满足条件对应的平面区域，如下图所示：平移直线，由图象可知当直线经过点时，值最小.由，解得，，由，解得，..故选：A.本题考查线性规划的基本应用，利用数形结合的方法，属于基础题.4、C【解析】

根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断．【详解】由题可得：平均值为2，由，，所以变得不稳定.故选：C.本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．5、C【解析】

数列，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项，得通项公式，从而得结论．【详解】最下层的“浮雕像”的数量为，依题有：公比，解得，则，，从而，故选C．本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．6、C【解析】

首先确定流程图的功能为计数的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果.【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为，，.本题选择C选项.识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．7、B【解析】

根据流程图执行循环，确定周期，即得结果【详解】执行循环得：所以周期为4，因此结束循环，输出，选B.本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.8、B【解析】

根据复数的计算方法，可得的值，进而可得，可得答案．【详解】解：根据复数的计算方法，可得，则，故选：．本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方，属于基础题．9、B【解析】∵，∴，整理，得，；解得,或(不合题意,舍去)；∴n的值为12.故选：B.10、C【解析】

用微积分基本定理计算．【详解】．故选：C.本题考查微积分基本定理求定积分．解题时可求出原函数，再计算．11、D【解析】

由定积分，微积分基本定理可得：f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x增大时，面积增大，减小，g（x）减小，故g（x）递减且g（x）＜0，得解．【详解】由题意g（x）f（t）dt，因为x∈（0，4），所以t∈（0，4），故f（t）<0，故f（t）dt的相反数表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x增大时，面积增大，减小，g（x）减小，故g（x）递减且g（x）＜0，故选：D．本题考查了定积分，微积分基本定理，属中档题．12、D【解析】分析：利用离散型随机变量X的概率分布列的性质求解.详解：由离散型随机变量X的分布列知：，解得.故选：D.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意离散型随机变量X的概率分布列的性质的灵活应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2.【解析】分析：由题意可得，1和3是方程|x－a|＝1的根，代入即可.详解：由题意可得，1和3是方程|x－a|＝1的根，则有解得a＝2.故答案为：2.点睛：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的应用.14、【解析】试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．考点：二项式定理．15、【解析】

利用集合补集和交集的定义直接求解即可.【详解】因为全集,集合,,所以.故答案为：本题考查了集合的补集、交集的定义,属于基础题.16、【解析】

根据，由定义得，由余弦定理得的方程求解即可【详解】根据，由双曲线定义得，又直线的斜率为，故，中由余弦定理得故答案为本题考查双曲线定义及几何性质，余弦定理，运用定义得是本题关键，是中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、或【解析】

分与两种情况分类讨论，当时，由根与系数关系求解，当时，设，则，根据根与系数关系求解.【详解】①当即时，由可知两根都是非负实根，；②当即时，此时方程两根为共轭虚根，设，则，；综上，或.本题主要考查了实系数的一元二次方程的解法，分类讨论的思想，属于中档题.18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）结合线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）采用建系法，以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再由向量夹角的余弦公式求解即可；【详解】（Ⅰ）由于平面，平面，则，由题意可知，且，由线面垂直的判定定理可得平面．（Ⅱ）以点为坐标原点，平面内与垂直的直线为轴，，方向为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，，，，由可得点的坐标为，由可得，设平面的法向量为：，则，据此可得平面的一个法向量为：，很明显平面的一个法向量为，，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．本题考查线面垂直的证明，向量法求解二面角的平面角大小，属于中档题19、（1），补图见解析（2）估计这株株高的中位数为82（3）见解析【解析】

根据茎叶图和频率直方图，求出中位数，得离散型随机变量的分布列．【详解】解：（1）由第一组知，得，补全后的频率分布直方图如图（2）设中位数为，前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，∴，∴，得，∴估计这株株高的中位数为82.（3）由题设知，则的分布列为012本题考查频率直方图及中位数，离散型随机变量的分布列，属于中档题.20、（1），（2）没有90%的把握【解析】分析：（1）由题意知且，得，用每个矩形的中点值乘以面积求和可得平均值；（2）由题知数据完善2×2列联表，计算，查表下结论即可.详解：（1）由题意知且解得所求平均数为：(元)（2）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表：高消费群非高消费群合计男153550女104050合计2575100根据上表数据代入公式可得所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况.（2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.21、(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.【解析】分析：（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆方程.（2）由题意设，，，线段的中点.则，①易知平分线段；②，，因点，在椭圆上，根据点差法整理得，所以，直线平分线段.详解：解：（Ⅰ）由椭圆的性质知当点位于短轴顶点时面积最大.∴有，解得，故椭圆的方程为.（Ⅱ）证明：设，，，线段的中点.则，，由（Ⅰ）可得，则直线的斜率为.当时，直线的斜率不存在，由椭圆性质易知平分线段，当时，直线的斜率.∵点，在椭圆上，，整理得：，又，，∴，直线的斜率为，∵直线的斜率为，∴直线平分线段.点睛：题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时，就要想到“点差法”.（1）设点，其中点坐标为，则（2）把代入曲线的方程，并作差，利用平方差公式对结果因式分解，得到与两点斜率和中点坐标有关的方程，再根据具体题干内容进行分析.（3）点差法常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨