甘肃省武威市第六中学2025届数学高二下期末调研试题含解析

甘肃省武威市第六中学2025届数学高二下期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，记为，，中不同数字的个数，如：，，，则所有的的排列所得的的平均值为（）A． B．3 C． D．42．已知是虚数单位，，则计算的结果是（）A． B． C． D．3．用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上（）A．增加一项 B．增加项C．增加项 D．增加项4．下列关于曲线的结论正确的是（）A．曲线是椭圆 B．关于直线成轴对称C．关于原点成中心对称 D．曲线所围成的封闭图形面积小于45．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数的“新驻点”分别为那么的大小关系是（）A． B． C． D．6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．0 B．-1 C．-2 D．-87．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（）①若，，且∥，则∥；②若，∥，且∥，则；③若∥，，且，则∥；④若，，且，则.其中真命题的个数是（）A． B． C． D．8．展开式中的常数项为A．B．C．D．9．在等差数列{an}中，若S9=18，Sn=240，=30，则n的值为A．14 B．15 C．16 D．1710．在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换公式是（）A． B． C． D．11．已知向量，，则（）A． B． C． D．12．设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，有下列命题：①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果平面内有不共线的三点到平面的距离相等，那么；其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．②④ D．②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为__________．14．若关于的不等式的解集为，则实数____________.15．已知非零向量满足，且，则与的夹角为______.16．记曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，矩形和等边三角形中，，平面平面．（1）在上找一点，使，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角余弦值．18．（12分）已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若存在实数，，使得，求的最小值.19．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求的取值范围.20．（12分）记为等差数列的前项和，已知，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．21．（12分）（1）证明不等式：，；（2）已知，；；p是q的必要不充分条件，求的取值范围.22．（10分）已知函数，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由题意得所有的的排列数为，再分别讨论时的可能情况则均值可求【详解】由题意可知，所有的的排列数为，当时，有3种情形，即，，；当时，有种；当时，有种，那么所有27个的排列所得的的平均值为.故选：A本题考查排列组合知识的应用，考查分类讨论思想，考查推理论证能力和应用意识，是中档题2、A【解析】

根据虚数单位的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．【详解】解：，，故选A．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3、D【解析】

明确从变为时，等式左端的变化，利用末尾数字作差即可得到增加的项数.【详解】当时，等式左端为：当时，等式左端为：需增加项本题正确选项：本题考查数学归纳法的基础知识，关键是明确等式左端的数字变化规律.4、C【解析】

根据椭圆的方程判断曲线不是椭圆；把曲线中的，同时换成，，判断曲线是否关于直线对称；把曲线中的，同时换成，，判断曲线是否关于原点对称；根据，，判断曲线所围成的封闭面积是否小于1．【详解】曲线，不是椭圆方程，曲线不是椭圆，错误；把曲线中的，同时换成，，方程变为，曲线不关于直线对称，错误；把曲线中的，同时换成，，方程不变，曲线关于原点对称，正确；，，曲线所围成的封闭面积小于，令，所以曲线上的四点围成的矩形面积为，所以选项D错误.故选：．本题主要考查了方程所表示的曲线以及曲线的对称性问题，解题时应结合圆锥曲线的定义域性质进行解答，是基础题．5、D【解析】

由已知得到：，对于函数h（x）=lnx，由于h′（x）=

令，可知r（1）＜0，r（2）＞0，故1＜β＜2

，且，选D.6、B【解析】根据流程图可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第4次循环：；此时程序跳出循环，输出.本题选择B选项.7、B【解析】

根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得出结论.【详解】由且，可得，而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；由于，，所以，则，故②正确；若与平面的交线平行，则，故不一定有，故③错误；设，在平面内作直线，，则，又，所以，，所以，从而有，故④正确.因此，真命题的个数是.故选：B本题考查了空间线面位置关系的判定和证明，其中熟记空间线面位置中的平行与垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查直观想象能力，属于基础题.8、B【解析】解：因为则可知展开式中常数项为,选B9、B【解析】试题分析：由等差数列的性质知；．考点：等差数列的性质、前项和公式、通项公式．10、C【解析】

根据新旧两个坐标的对应关系，求得伸缩变换的公式.【详解】旧的，新的，故，故选C.本小题主要考查曲线的伸缩变换公式，属于基础题，解题关键是区分清楚新旧两个坐标的对应关系.11、C【解析】

由已知向量的坐标运算直接求得的坐标．【详解】∵向量（-2，﹣1），（3，2），∴.故选C.本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题.12、B【解析】

根据线面垂直与线面平行的性质可判断①;由直线与平面垂直的性质可判断②;由直线与平面平行的性质可判断③;根据平面与平面平行或相交的性质,可判断④.【详解】对于①如果,,,根据线面垂直与线面平行性质可知或或,所以①错误对于②如果,,根据直线与平面垂直的性质可知,所以②正确;对于③如果,,根据直线与平面平行的判定可知,所以③正确;对于④如果平面内有不共线的三点到平面的距离相等,当两个平面相交时,若三个点分布在平面的两侧,也可以满足条件,所以错误,所以④错误;综上可知,正确的为②③故选:B本题考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的性质,平面与平面平行的性质,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-10【解析】分析：利用二项式展开式通项即可得出答案.详解：，当时，.故答案为：-10.点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．14、【解析】

由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x＝m，x＝1是方程2x2﹣3x+a＝0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【详解】由题意得：1为的根，所以，从而故答案为本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．15、【解析】

通过，可得，化简整理可求出，从而得到答案.【详解】根据题意，可得，即，代入，得到，于是与的夹角为.本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.16、【解析】

由曲线与直线联立，求出交点，以确定定积分中的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式即可得到答案。【详解】联立，得到交点为，故曲线与直线，所围成封闭图形的面积；故答案为本题考查利用定积分求面积，确定被积区间与被积函数是解题的关键，属于基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明过程见解析；（2）平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【解析】试题分析：(1)分别取的中点，利用三角形的中位线的性质，即可证明面，进而得到；（2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面法向量成的角去求解.试题解析：（1）为线段的中点，理由如下：分别取的中点，连接，在等边三角形中，，又为矩形的中位线，，而，所以面，所以；（2）由（1）知两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，，三角形为等边三角形，．于是，设面的法向量，所以，得，则面的一个法向量，又是线段的中点，则的坐标为，于是，且，又设面的法向量，由，得，取，则，平面的一个法向量，所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．18、（1）；（2）【解析】

（1）由函数，根据函数的单调性证明即可.（2）设，求出，，，令，根据函数的单调性求出其最小值即可.【详解】（1），，由，解得，由，解得，在单调递减，在单调递增，，在上单调递增，当时，的最小值为.（2）设，则.，则，即，故，，，，即，.令，则，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，且，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，取最小值，此时，即最小值是.本题考查了导数在研究函数单调性的应用、导数在求函数最值中的应用，考查了转化与化归的思想，属于难题.19、（1）或（2）.【解析】试题分析：（1）函数去绝对值号化为分段函数即可求解；（2）分离参数得：在上恒成立，利用绝对值性质即可得到m范围内.试题解析：（1）由题意，令解得或，∴函数的定义域为或（2），∴，即.由题意，不等式的解集是，则在上恒成立.而，故.点睛：恒成立问题是常见数学问题，一般可考虑分离参数处理，分离参数后问题转化为求最值，可考虑均值不等式、函数最值，绝对值的性质、三角函数等方法来处理.20、（1），（2），最小值为−1．【解析】

（Ⅰ）根据等差数列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通项公式；（Ⅱ）根据等差数列的求和公式得Sn=n2-8n，根据二次函数的性质，可得Sn的最小值.【详解】（I）设的公差为d，由题意得．由得d=2．所以的通项公式为．（II）由（I）得．所以当n=4时，取得最小值，最小值为−1．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，考查了等差数列前n项和的最值问题；求等差数列前n项和的最值有两种方法：①函数法，②邻项变号法.21、（1）见证明；（2）.【解析】

（1）构造函数，将问题转化为，然后利用导数求出函数的最小值即可得证；（2）解出命题中的不等式，由题中条件得出的两个取值范围之间的包含关系，然后列出不等式组可解出实数的取值范围.【详解】（1）即证：，.令，，则，令，得.当时，；当时，.所以，函数单调递减区间为，单调递增区间为.所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.因此，，因此，对任意的，；（2）解不等式，得，则.由于是的必要不充分条件，则，则有，解得.当时，则，合乎题意.因此，实数的取值范围是.本题第（1）考查利用导数证明函数不等式，一般构造差函数，转化为差函数的最值来证明，第（2）问考查利用充分必要条件求参数的取值范围，一般转化为两