上海市华东师大二附中2025年高二下数学期末教学质量检测试题含解析

上海市华东师大二附中2025年高二下数学期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知O为坐标原点,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则的值是A． B． C．3 D．32．设，，则与大小关系为()A． B．C． D．3．已知随机变量X服从正态分布Na,4，且PX>1=0.5A．1B．3C．2D．44．已知椭圆，点在椭圆上且在第四象限，为左顶点，为上顶点，交轴于点，交轴于点，则面积的最大值为()A． B． C． D．5．下列说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍；②设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位；③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为，则位于区域内的概率为⑤在线性回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好；其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．函数在处的切线方程是()A． B． C． D．7．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到（）A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行8．函数的图象是（）A． B．C． D．9．定义在上的函数为偶函数，记，，则（）A． B．C． D．10．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A． B． C． D．11．已知则复数A． B． C． D．12．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的有理项共有__________项．14．如图，正四棱柱的底面边长为4，记，，若，则此棱柱的体积为______．15．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表的第1行第4列数由左到右由上到下开始读取，则选出来的第5个个体的编号为____．第1行78166571023060140102406090280198第2行3204923449358200362348696938748116．已知随机变量服从正态分布，若，，则．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知为圆上一动点，圆心关于轴的对称点为，点分别是线段上的点，且.（1）求点的轨迹方程；（2）直线与点的轨迹只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于两点，求面积的取值范围.18．（12分）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值及函数的最大值；（2）证明：对任意的.19．（12分）已知向量,满足，．(1)求关于k的解析式f(k)．(2)若，求实数k的值．(3)求向量与夹角的最大值．20．（12分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）随着生活水平的提高，越来越多的人参与了潜水这项活动.某潜水中心调查了100名男性与100女性下潜至距离水面5米时是否耳鸣，下图为其等高条形图：①绘出列联表；②根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系？附：，其中.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.82822．（10分）已知函数在区间上的最大值为3，最小值为-17，求的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】抛物线的焦点为,当直线l与x轴垂直时，,所以2、A【解析】,选A.3、A【解析】试题分析：正态分布曲线关于均值对称，故均值a=1,选A.考点：正态分布与正态曲线.4、C【解析】

若设，其中，则，求出直线，的方程，从而可得，两点的坐标，表示的面积，设出点处的切线方程，与椭圆方程联立成方程组，消元后判别式等于零，求出点的坐标可得答案.【详解】解：由题意得，设，其中，则，所以直线为，直线为，可得，所以，所以，设处的切线方程为由，得，，解得，此时方程组的解为，即点时，面积取最大值故选：C此题考查了椭圆的性质，三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.5、B【解析】

逐个分析，判断正误．①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差变为原来的倍；②设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位；③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数越接近于，两个变量的线性相关性越弱；④服从正态分布，则位于区域内的概率为；⑤在线性回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好．【详解】①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差变为原来的倍，错误；②设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位，正确；③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数越接近于，两个变量的线性相关性越弱，③错误；④服从正态分布，则位于区域内的概率为，④错误；⑤在线性回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好；正确故选B.本题考查的知识点有标准差，线性回归方程，相关系数，正态分布等，比较综合，属于基础题．6、A【解析】

求导函数，切点切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．【详解】求曲线y＝exlnx导函数，可得f′（x）＝exlnx∴f′（1）＝e，∵f（1）＝0，∴切点（1，0）．∴函数f（x）＝exlnx在点（1，f（1））处的切线方程是：y﹣0＝e（x﹣1），即y＝e（x﹣1）故选：A．本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基本知识的考查．7、D【解析】

由平面中的线类比空间中的面即可得解。【详解】平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比方法得：空间中平行于同一平面的两平面平行.故选：D本题主要考查了类比推理，考查平面中的线类比空间中的面知识，属于基础题。8、A【解析】

根据已知中函数的解析式，利用导数法分析出函数的单调性及极值，比照四个答案函数的图象，可得答案．【详解】∵，∴，令得；当时，，即函数在内单调递减，可排除B,D；又时，，排除C，故选A.本题考查的知识点是函数的图象，分析出函数的单调性是解答的关键，属于中档题.9、C【解析】分析：根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递减，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：，，，然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．详解：∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）.∴，∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|，∴（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2，∴mx=0，∴m=0.∴f（x）=∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且,,c=f（0）,∵0＜log21.5＜1∴,故答案为C点睛：（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出函数f（x）=的单调性，此处利用了复合函数的单调性，当x>0时，是增函数，是减函数，是增函数，所以函数是上的减函数.10、C【解析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C11、A【解析】分析：利用复数的乘法法则化简复数，再利用共轭复数的定义求解即.详解：因为，所以，，故选A.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、共轭复数的定义，属于中档题．解答复数运算问题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.12、D【解析】因为曲线，所以切线过点（4，e2）

∴f′（x）|x=4=e2，

∴切线方程为：y-e2=e2（x-4），

令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），

令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2），

∴曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|-e2|=e2.

故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】，，因为有理项，所以，共三项。填3.14、【解析】

建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h，求出的坐标，由数量积为0求得h，则棱柱的体积可求．【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设，又，则，，，，，，，，即．此棱柱的体积为．故答案为．本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量解决线线垂直问题，是中档题．15、02；【解析】

第1行第4列数是6，由左到右进行读取10，06，01，09，02.【详解】第1行第4列数是6，由左到右进行读取10，06，01，09，02，所以第5个个体的编号为02.随机数表中如果个体编号是2位数，则从规定的地方数起，是每次数两位数，如果碰到超出编号范围，则不选；如果碰到选过的，也不选.16、0.8【解析】分析：先根据正态分布曲线对称性求，再根据求结果.详解：因为正态分布曲线关于对称，所以,因此点睛：利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）因为，所以为的中点，因为，所以，所以点在的垂直平分线上，所以，因为，所以点在以为焦点的椭圆上，因为，所以，所以点的轨迹方程为.（2）由得，，因为直线与椭圆相切于点，所以，即，解得，即点的坐标为，因为点在第二象限，所以，所以，所以点的坐标为，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，，当且仅当，即时，有最大值，所以，即面积的取值范围为.点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．18、（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）求出导函数，已知切线方程说明，，代入后可得，然后确定函数的单调区间，得出最大值；（2）不等式为，可用导数求得的最小值，证明这个最小值大于0，即证得原不等式成立．详解：（1）函数的定义域为，，因的图象在点处的切线方程为，所以解得，所以，故．令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以当时，取得最大值．（2）证明：原不等式可变为则，可知函数单调递增，而，所以方程在（0，+∞）上存在唯一实根x0，使得．当x∈（0，x0）时，，函数h（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，，函数h（x）单调递增；所以.即在（0，+∞）上恒成立，所以对任意x＞0，成立．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．19、（1）（2）（3）【解析】

（1）根据向量的数量积即可．（2）根据向量平行时的条件即可．（3）根据向量的夹角公式即可．【详解】(1)由已知，有，．又因为，得，所以，即．(2)因为，，所以，则与同向．因为，所以，即，整理得，所以，所以当时，．(3)设与的夹角为θ，则．当，即时，取最小值，此时．本题主要考查了向量的平以及数量积和夹角，属于基础题．20、（1）；（2）.【解析】

（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到的取值范围，判断，为正，去掉绝对值，转化为在时恒成立,得到，，在恒成立，从而得到的取值范围.【详解】（1）当时，，由，得，即，或，即，或，即，综上：或，所以不等式的解集为.（2），，因为，，所以，又，，，得.不等式恒成立，即在时恒成立，不等式恒成立必须，，解得.所以，解得，结合，所以，即的取值范围为.本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.21、①答案见解析；②能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系.【解析】分析：①.由题意结合等高条形图求得相应的人数，然后绘制列联表即可；②.结合①中的列联表计算的观测值：，则能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系.详解：①由男女生各100人及等高条形图可知耳鸣的男生有人，耳鸣的女生有人，∴无耳鸣的男生有100-30=70人，无耳鸣的女生有100-50=50人，所以列