河南省郑州市四校2025届数学高二下期末学业水平测试试题含解析

河南省郑州市四校2025届数学高二下期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．为了得到的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位2．下列有关命题的说法正确的是A．“”是“”的充分不必要条件B．“x=2时，x2－3x+2=0”的否命题为真命题C．直线：，：，的充要条件是D．命题“若，则”的逆否命题为真命题3．已知，，的实部与虚部相等，则（）A．2 B． C．2 D．4．若离散型随机变量的分布如下：则的方差（）010.6A．0.6 B．0.4 C．0.24 D．15．已知函数是定义在上的偶函数，且，若对任意的，都有成立，则不等式的解集为（）A． B．C． D．6．盒子里共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个红球个白球，从盒子中任取个球，则恰好取到个红球个白球的概率为（）．A． B． C． D．7．函数的图象在点处的切线方程是，若，则（）A． B． C． D．8．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式,人们还用过一些类似的近似公式,根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（）A． B． C． D．9．若复数满足，其中为虚数单位，则（）A． B． C． D．10．在钝角中，角的对边分别是，若，则的面积为A． B． C． D．11．是单调函数,对任意都有，则的值为（）A． B． C． D．12．已知复数(为虚数单位)，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，，，则________．14．设复数满足，则＝__________.15．观察下列恒等式：，，，，请你把结论推广到一般情形，则得到的第个等式为___________________________________.16．已知为虚数单位，则复数_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）若，求函数的单调区间；（2）若不等式恒成立，求实数k的取值范围.18．（12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．19．（12分）已知集合，函数的定义域为，值域为.（1）若，求不同的函数的个数；（2）若，（ⅰ）求不同的函数的个数；（ⅱ）若满足，求不同的函数的个数.20．（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）试比较与的大小，并说明理由；（3）设的两个极值点为，证明.21．（12分）已知关于x的方程的两个根是、.（1）若为虚数且，求实数p的值；（2）若，求实数p的值.22．（10分）已知数列的前项和，通项公式，数列的通项公式为.（1）若，求数列的前项和及的值；（2）若，数列的前项和为，求、、的值，根据计算结果猜测关于的表达式，并用数学归纳法加以证明；（3）对任意正整数，若恒成立，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

先利用诱导公式统一这两个三角函数的名称，再利用函数的图象变换规律，得出结论．【详解】将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，故选D．本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．2、D【解析】A选项不正确，由于可得，故“”是“”的必要不充分条件；B选项不正确，“时，”的逆命题为“当时，”，是假命题，故其否命题也为假；C选项不正确，若两直线平行，则，解得；D选项正确，角相等时函数值一定相等，原命题为真命题，故其逆否命题为真，故选：D．3、C【解析】

利用待定系数法设复数z，再运用复数的相等求得b.【详解】设（），则即.故选C.本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题.4、C【解析】分析：由于已知分布列即可求出m的取值，进而使用期望公式先求出数学期望，再代入方差公式求出方差．详解：由题意可得：m+0.6=1，所以m=0.4，所以E（x）=0×0.4+1×0.6=0.6，所以D（x）=（0﹣0.6）2×0.4+（1﹣0.6）2×0.6=0.1．故选：C．点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键．5、D【解析】

构造函数，判断函数的单调性和奇偶性，根据其性质解不等式得到答案.【详解】对任意的，都有成立构造函数在上递增.是偶函数为奇函数，在上单调递增.当时：当时：故答案选D本题考查了函数的奇偶性，单调性，解不等式，构造函数是解题的关键.6、B【解析】由题意得所求概率为．选．7、D【解析】分析：先求出和，再求即得.详解：由题得因为函数的图象在点处的切线方程是，所以所以故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是8、B【解析】

利用球体的体积公式得，得出的表达式，再将的近似值代入可得出的最精确的表达式.【详解】由球体的体积公式得，，，，，，与最为接近，故选C.本题考查球体的体积公式，解题的关键在于理解题中定义，考查分析问题和理解问题的能力，属于中等题．9、A【解析】

由，得，则，故选A.10、A【解析】

根据已知求出b的值，再求三角形的面积.【详解】在中，，由余弦定理得：，即，解得：或.∵是钝角三角形，∴（此时为直角三角形舍去）.∴的面积为.故选A.本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11、A【解析】

令，根据对任意都有，对其求导，结合是单调函数，即可求得的解析式，从而可得答案.【详解】令，则，.∴∵是单调函数∴∴，即.∴故选A.本题考查的知识点是函数的值，函数解析式的求法，其中解答的关键是求出抽象函数解析式，要注意对已知条件及未知条件的凑配思想的应用．12、D【解析】分析：化简复，利用复数模的公式求解即可.详解：因为，所以=，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据特殊角的三角函数值得到，，再由二倍角公式得到结果.【详解】∵，，，∴，∴，即.∵，∴，由二倍角公式得到：，∴.故答案为.这个题目考查了特殊角的三角函数值的应用，以及二倍角公式的应用属于基础题.14、【解析】

分析：由可得，再利用两个复数代数形式的除法法则化简，结合共轭复数的定义可得结果.详解：满足，，所以，故答案为.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.15、.【解析】

观察等式右边代数式的结构与的关系可得出结果.【详解】由，，，由上述规律，归纳出第个等式为.故答案为：.本题考查归纳推理，解题的关键主要是找出式子的规律，考查推理能力，属于中等题.16、【解析】

由复数乘法法则即可计算出结果【详解】.本题考查了复数的乘法计算，只需按照计算法则即可得到结果，较为简单三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的单调递增区间是，单调递减区间是（2）【解析】

1利用导数求单调区间；2先分离参数，转化为在恒成立利用导数求最值即可求解．【详解】（1），，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．综上，的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）．令，则在恒成立．，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的最大值在时取得，．所以．本题主要考查了函数导数的应用，函数恒成立问题，分离参数，属于基础问题基础方法．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

试题分析：（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值.试题解析：（1）因为向量与平行，所以，由正弦定理得，又，从而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c>0，所以c＝3.故△ABC的面积为bcsinA＝.考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.19、（1）36；（2）（ⅰ）81；（ⅱ）19【解析】

（1）当定义域有4个元素，值域有3个元素，把4个元素分成2，1，1的三组，再对应值域里的3个元素，有；（2）（ⅰ）分值域有1个元素，2个元素，3个元素，讨论函数个数；（ⅱ）满足条件的有0，0，2，2或0，1，1，2或1，1，1，1三类，分三类求满足条件的函数个数.【详解】（1）函数的定义域是，值域是定义域里有2个数对着值域里面一个数，另外两个数是1对1，不同的函数的个数是个.（2）（ⅰ）值域不能为空集，当是单元素集合时，，，，定义域是，此时定义域里4个元素对应的都是值域里的一个数，此时有3个函数；当是双元素集合时，此时定义域里两个元素对应值域里一个元素，有个函数；当定义域里有3个元素对应值域里一个元素，定义域里第4个元素对应值域里一个元素时有个函数；当集合是三个元素时，如（1）有36个函数，一共有3+18+24+36=81个函数；（ⅱ）满足，的有0，0，2，2，函数个数是个，0，1，1，2时，函数个数是个，1，1，1，1时，函数个数是1个，共有个.本题考查排列组合的应用，意在考查转化和推理，以及分类讨论和计算求解能力，属于中档题型.20、(1)；（2）；理由见解析；（3）证明见解析【解析】

（1）根据函数在定义域内有两个不同极值点可知方程有两个不等正根，将问题转化为与在上有两个不同交点；利用过一点曲线的切线的求解方法可求出过原点与相切的直线的斜率，从而可得，解不等式求得结果；（2）令，求导后可知在上单调递减，从而可得，化简可得；（3）易知是方程的两根，令，可整理得到，从而将所证不等式化为，采用换元的方式可知只需证，恒成立；构造函数，，利用导数可知在上单调递增，可得，进而证得结论.【详解】（1）由题意得：定义域为；在上有两个不同极值点等价于方程有两个不等正根即：与在有两个不同的交点设过的的切线与相切于点则切线斜率，解得：过的的切线的斜率为：，解得：即的取值范围为：（2）令，则时，；时，在上单调递增；在上单调递减，即：即：（3）由（1）知，是方程的两根即：，设，则原不等式等价于：即：设，则，只需证：，设，在上单调递增即在上恒成立所证不等式成立本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据极值点个数求解参数范围、通过构造函数的方式比较大小、利用导数证明不等式的问题；利用导数证明不等式的关键是能够将所证不等式转化为与两个极值点有关的函数的最值的求解问题，通过求解最值可确定不等关系.21、(1).(2)或.【解析】分析：（1）根据韦达定理得到=25，进而求得结果；（2）分两种情况和，再结合韦达定理得到结果.详解：（1），，，∴；（2），，若，即，则，∴；若，即，则，∴；综上，或.点睛：这个题目考查的是韦达定理在二次方程中的应用，无论是有两个实根,还是既有实根也有虚根的情况，韦达定理均试用.22、（1），；（2），，，；证明见解析（3）.【解析】

（1）根据等比数列的求和公式和极限的定义即可求解。（2）求出，可求，，的值，猜想的表