山东省济南三中2024-2025学年高二数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

山东省济南三中2024-2025学年高二数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A． B． C． D．2．利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与离好阅读是否有关，随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，可得正确的结论是（）A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”3．设地球的半径为R，在纬度为的纬线圈上有A,B两地，若这两地的纬线圈上的弧长为，则A,B两地之间的球面距离为（）A． B． C． D．4．复数在复平面上对应的点不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若身高和体重的回归模型为，则下列叙述正确的是（）A．身高与体重是负相关 B．回归直线必定经过一个样本点C．身高的人体重一定时 D．身高与体重是正相关6．设，则的值为()A．2 B．2046 C．2043 D．－27．已知,则下列结论中错误的是（）A．B．．C．D．8．已知集合，，若，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．45° D．90°10．某市通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列联表：做不到能做到高年级4510低年级3015则下列结论正确的是（）附参照表：0.100.0250.012.7065.0246.635参考公式：，其中A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”B．在犯错误的概率不超过的前提下，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”C．有以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”D．有以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”11．若，则（）A． B． C． D．12．设复数（是虚数单位），则（）A．i B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知下列命题：①若，则“”是“”成立的充分不必要条件；②若椭圆的两个焦点为，且弦过点，则的周长为16；③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；④若命题：，则：其中为真命题的是__________（填序号）．14．选修4-5：不等式选讲设函数，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围．15．已知某运动员每次投篮命中的概率都为.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出到之间取整数值的随机数，指定，，，表示命中，，，，，，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了组随机数：据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________.16．北纬圈上有A，B两点，该纬度圈上劣弧长为（R为地球半径），则A，B两点的球面距离为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）随着共享单车的蓬勃发展，越来越多的人将共享单车作为短距离出行的交通工具.为了解不同年龄的人们骑乘单车的情况，某共享单车公司对某区域不同年龄的骑乘者进行了调查，得到数据如下：年龄152535455565骑乘人数958065403515（1）求关于的线性回归方程，并估计年龄为40岁人群的骑乘人数；（2）为了回馈广大骑乘者，该公司在五一当天通过向每位骑乘者的前两次骑乘分别随机派送一张面额为1元，或2元，或3元的骑行券.已知骑行一次获得1元券，2元券，3元券的概率分别是，，，且每次获得骑行券的面额相互独立.若一名骑乘者五一当天使用了两次该公司的共享单车，记该骑乘者当天获得的骑行券面额之和为，求的分布列和数学期望.参考公式：，.参考数据：，.18．（12分）如图，在中，，点在线段上.过点作交于点，将沿折起到的位置（点与重合），使得.（Ⅰ）求证：.（Ⅱ）试问：当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由.19．（12分）一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率.20．（12分）2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？（2）在不喜爱足球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.21．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的直线距离最大的点的直角坐标.22．（10分）已知抛物线：上一点到其准线的距离为1．（1）求抛物线的方程；（1）如图，，为抛物线上三个点，，若四边形为菱形，求四边形的面积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】如图所示，直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得.所以内切圆的面积为，所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C．本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误．2、A【解析】

根据题意知观测值，对照临界值得出结论.【详解】利用独立性检验的方法求得，对照临界值得出：有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”．故选A项．本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．3、D【解析】

根据纬线圈上的弧长为求出A,B两地间的径度差，即可得出答案。【详解】设球心为O，纬度为的纬线圈的圆心为O´，则∠O´AO=,∴O´A=OAcos∠O´AO=Rcos,设A,B两地间的径度差的弧度数为，则Rcos=,∴=,即A,B两地是⊙O´的一条直径的两端点，∴∠AOB=,∴A,B两地之间的球面距离为．答案：D．本题涉及到了地理相关的经纬度概念。学生需理解其基本概念，将题干所述信息转换为数学相关知识求解。4、C【解析】

把复数化为形式，然后确定实部与虚部的取值范围．【详解】，时，，对应点在第二象限；时，，对应点在第四象限；时，，对应点在第一象限．或时，对应点在坐标轴上；∴不可能在第三象限．故选：C．本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．解题时把复数化为形式，就可以确定其对应点的坐标．5、D【解析】

由线性回归直线方程可得回归系数大于0，所以正相关，且经过样本中心，且为估计值，即可得到结论．【详解】可得，可得身高与体重是正相关，错误，正确；回归直可以不经过每一个样本点，一定过样本中心点，，故错误；若，可得，即体重可能是，故错误．故选．本题考查线性回归中心方程和运用，考查方程思想和估计思想，属于基础题．6、D【解析】分析：先令得，再令得，解得结果.详解：令得令得=0因此，选D.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.7、C【解析】试题分析：，当时，，单调递减，同理当时，单调递增，，显然不等式有正数解（如，（当然可以证明时，）），即存在，使，因此C错误．考点：存在性量词与全称量词，导数与函数的最值、函数的单调性．8、D【解析】

由已知可得，则.【详解】由，得或又由，得，则，即故选：D本题考查了集合的并集运算，属于基础题.9、B【解析】分析：由题意可得，，进而得到与，再由，可得结论.详解：，，，并且，，与的夹角为，故选B.点睛：本题主要考查空间向量夹角余弦公式，属于中档题.解决此类问题的关键是熟练掌握由空间点的坐标写出向量的坐标与向量求模.10、C【解析】分析：根据列联表中数据，利用公式求得，参照临界值表即可得到正确结论.详解：由公式可得，参照临界值表，，以上的把握认为，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”，故选C.点睛：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.11、A【解析】

根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得，即可求解．【详解】由题意，可得，故选A．本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12、D【解析】

先化简，结合二项式定理化简可求.【详解】，，故选D.本题主要考查复数的运算和二项式定理的应用，逆用二项式定理要注意配凑出定理的结构形式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①③【解析】逐一分析所给的各个说法：①∵a，b，c∈R，∴“ac2>bc2”⇒“a>b”，反之，当时，由不成立。若，则“”是“”成立的充分不必要条件；故①正确；②若椭圆的两个焦点为F1,F2,且弦AB过点F1，则△ABF2的周长为4a=20，故②不正确；③若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则p是假命题，所以命题q一定是真命题，故③正确；④若命题p:∃x∈R,x2+x+1<0，则¬p:∀x∈R,x2+x+1⩾0，故④错误。故答案为：①③。14、（1）；（2）.【解析】试题分析：（I）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为；（II）由（I）值，函数的最小值为，即，由此解得.试题解析：（I），当，，，当，，，当，，，综上所述.（II）易得，若，恒成立，则只需，综上所述.考点：不等式选讲．15、0.25【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.共5组随机数，∴所求概率为.答案为：0.25.16、【解析】

先求出北纬圈所在圆的半径，是、两地在北纬圈上对应的圆心角，得到线段的长，设地球的中心为，解三角形求出的大小，利用弧长公式求、这两地的球面距离．【详解】解：北纬圈所在圆的半径为，它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于为地球半径），是、两地在北纬圈上对应的圆心角），故，线段，，、这两地的球面距离是，故答案为：．本题考查球的有关经纬度知识，球面距离，弧长公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）大致为55人（2）分布列见解析，【解析】分析：（1）根据题意求得，代入公式求得回归直线方程，令代入方程可估计年龄为40岁人群的骑乘人数；（2）由题意．的所有可能取值为．分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．详解：（1）由题意可知，代入公式可得，，，所以线性回归方程为，令可得，，故年龄为40岁人群的骑乘人数大致为55人.（2）由题意可知的所有可能取值为，其相应概率为：，，，，，所以的分布列为：X23456P.点睛：本题考查回归直线方程的求法及其应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18、(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析.【解析】分析：（1）由已知条件，结合线面垂直的判定定理和性质定理，即可得到.（2）过点作，则，，两两垂直，以B为坐标原点，以，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，应用空间向量，分别求得两平面的法向量，计算两平面法向量夹角，证明点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值，且定值为.详解：证明：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以，，又因为，平面，所以平面.又因为平面，所以.（Ⅱ）在平面内，过点作于点，由（Ⅰ）知平面，所以，又因为，平面，所以平面.在平面内过点作直线，则平面.如图所示，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，又因为，所以，.在中，，所以，，所以，所以，，.从而，.设是平面的一个法向量，所以，即，所以，取，得是平面的一个法向量.又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则.因此当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值，且定值为.点睛：点睛：用空间向量求二面角问题的解题步骤：右手定则建立空间直角坐标系，写出关键点坐标设两平面的法向量，两法向量夹角为，求法向量及两向量夹角的余弦；当两法向量的方向都向里或向外时，则二面角；当两法向量的方向一个向里一个向外时，二面角为.19、（1）见解析；（2）【解析】

（1）抛掷5次的得分可能为，且正面向上和反面向上的概率相等，都为，所以得分的概率为，即可得分布列和数学期望；（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面．，因为“不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有，即，所以是以为首项，以为公比的等比数列，即求得恰好得到分的概率．【详解】（1）所抛5次得分的概率为，其分布列如下（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面．因为“不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有，即．于是是以为首项，以为公比的等比数列．所以，即．恰好得到分的概率是．此题考查了独立重复试验，数列的递推关系求解通项，重点考查了学生的题意理解能力及计算能力．20、(1)答案见解析；(2).【解析】分析：读懂题意，补充列联表，代入公式求出的值，对照表格，得出结论；（2）根据古典概型的特点，采用列举法求出概率。详解：（1）补充列联表如下：由列联表知故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关.（2）由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取6人，其中男性有人，女性有人.记男性观众分别为，女性观众分别为，随机抽取2人，